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因此作者以應變梯度為橋梁，搭建了材料微觀位錯密度演化與材料屈服面演化的關系，建立了考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型。作者將該理論編寫了umat子程序。其數值實現流程為：其模型的基本參數共11個，作者還系統討論了GTN模型參數的獲取方法，及參數影響，讀者可以參考原始文獻。

，結果如下所示：局部和非局部不同網格密度下的當前孔洞體積分數分布示意圖：可以看到不同網格密度下，nonlocal模型的孔隙度幾乎保持不變幾種不同網格密度下，局部和非局部模型的力位移曲線如下：非局部模型的不同網格密度下的斷裂行為的一致性也顯著高于局部模型。

相反，在基于位錯密度的模型中，GND概念可以很容易地作為本構框架的一部分進行整合（Nye，1953），目前通用的一類將幾何必要位錯（GND）引入本構模型的方式是通過Nye的位錯張量將應變梯度引入到GND之中GND幾何必要位錯張量的演化表示為其中：得到統計位錯密度和幾何必要位錯密度后，根據經典的taylor理論得到滑移系統當前時刻的臨界分切應力其中G為剪切模量

顆粒密度為2460kg/m3，直徑為0.9mm，顆粒層固含率為0.36；左側通入沖擊波馬赫數為1.66的高壓氣體；顆粒層右側是常壓靜止氣體；上下壁面設置為無滑移壁面條件。模擬中氣相為理想氣體。2.結果與討論(1)沖擊波演化圖2給出了沖擊過程中氣體壓力、氣體速度和固含率隨時間的演化。圖2（a）和（b）中的黃色垂直虛線表示顆粒層左右自由面，箭頭所指為顆粒層右側邊緣。

同時新版本引入了重結晶和更通用的位錯密度的本構框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯密度變化的本構模型，通過計算位錯密度的變化和流動，來預測材料的宏觀塑性變形行為。Dynamic recovery model：這是一種描述動態回復過程的本構模型，通過考慮位錯密度、晶粒尺寸和應變速率等因素，來預測材料的塑性變形行為。

溫度場通過初始溫度以及塑性產熱計算，同時忽視局部的熱傳導，準靜態加載速率下的泰勒-昆尼系數η為0.0，1000 s加載速率下為0.95?1及以上(塑性功轉化為熱的比例)通過經典的熱激活模型，將溫度效應引入流動方程，并考慮溫度對剛度的退化位錯密度模型演化遵循經典的KM模型，同時考慮位錯之間的相互作用，即考慮了位錯的產生和湮滅，以及湮滅半徑與溫度的關系。

為了能夠精確描述孿晶激活演化及其與位錯交互作用對宏觀塑性行為的影響，來自于天津理工大學的郭祥如和申俊杰兩人基于晶體塑性理論建立描述孿晶形核、增殖和長大的位錯密度基晶體塑性本構模型，揭示了不同晶體取向Cu單晶拉伸變形過程中位錯滑移、孿生激活及其交互作用下的宏觀塑性行為演化規律，進一步分析了Cu多晶拉伸變形過程中晶粒間交互作用對孿生軟化、應變硬化等宏觀塑性行為的影響。

依據建立的隨機源概率分布模型，進行基本隨機變量的 概率空間剖分 ，生成一系列代表性點及其賦得概率； 3. 在每個代表性點下，對顆粒材料代表性體積元進行 確定性離散元分析 ，獲得其關鍵力學響應隨應變的演化曲線； 4.

作者的理論框架：基于亞彈性的運動學框架其中流動模型為經典的冪律流動模型硬化模型基于taylor位錯理論模型與傳統Km位錯密度不同的是，為了更全面理解位錯產生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯模型概念，將總位錯密度進一步細分為固定位錯密度和可移動位錯密度，其演化遵循其中G_sour表示由于位錯導致的移動位錯密度增加的系數，g_minter

，統計位錯密度演化表示為其中dαβ是位錯增殖相互作用張量，kc和knc分別作為控制共面和非共面滑移系統相互作用系數大小的常數。

，法向唯象的模型預測結果顯著高于位錯密度的模型，說明宏觀變形預測對硬化模型十分敏感，并進一步比較兩種方法在織構演化預測方面的差異，發現結果無明顯差異，因此可以認為織構演化對硬化模型不敏感對作者分析感興趣的可對huang程序進行簡單修改，并根據對應參數復現作者的研究結果

作者的本構框架使用超彈性框架，流動方程使用busso等人提出的熱激活模型：模型中各個參數含義可以參考原始文獻，作者對各個參數范圍以及影響進行了詳細說明。滑移阻力的演化基于經典的位錯理論，并由Ke-Shen Cheong等人進行了擴展，即將位錯密度細化為刃位錯和螺位錯。

COMSOL Multiphysics提供了一個高效、便利、可行的工具，通過內置的模型和物理場，大大簡化了多場耦合復雜模型的建立，并可以自動解析偏微分方程，對于給定的物理現象、演化過程和邊界條件，進行定量化展現，最終將電池中的各種空間分布和時間演化的現象、多驅動力共同作用下的演變機理，可視化地呈現在人們眼前。

作者的理論框架：基于超彈性的本構框架建立的KM位錯密度模型流動模型為：其中硬化模型偽為：位錯密度的演化遵循經典的KM模型：L表示位錯的平均自由程：為了考慮晶界效應，作者為位錯的平均自由程進行修改Ks表示晶界處存儲系數。

，利用 UMAT 進行應力積分、在 UEXTERNALDB 中執行形核與晶界遷移，在 FE 網格上同步更新取向、位錯密度、等狀態變量，同一仿真中先熱壓縮（出現 DDRX 多循環與流動應力峰值震蕩），隨后“原地”退火，追蹤 SRX 繼續演化，避免傳統方法里變形場到顯微組織模型的跨尺度映射難題。

相場方法的核心思想是利用彌散的相邊界描述實際上較為尖銳的邊界，通過引入序參量，便可用連續函數描述斷裂模型，并通過相場控制方程控制序參量的演化，使得在模擬時不用顯式地追蹤裂紋面，而是通過序參量的自動演化獲取裂紋路徑及位置。

：在當前幾何模型下GND的量級接近甚至超過SSD，因此會顯著影響應力的演化。

2.1 基于單元網格的拓撲優化方法 均勻化方法 通過調整單胞結構的幾何尺寸與空間方位函數，尋求結構最優拓撲形式，但是所采用的較為復雜的數學模型限制其普遍應用。變密度法 通過定義每個單元的“偽密度”在 0-1 之間變動，建立了偽密度與彈性模量的關聯函數，通過調整懲罰因子 p ，減少中間密度，獲得較為清晰的拓撲結構。

文章doi：10.1016/j.mechmat.2021.103830推薦理由：文章采用晶體塑性有限元模擬，揭示了NiTi形狀記憶合金（SMA）在400℃罐裝壓縮下的塑性變形機制，將統計存儲位錯（SSD）和幾何必要位錯（GND）密度納入應變梯度的晶體塑性本構模型。在CPFE模擬的基礎上，獲得了織構演化、應力應變場、SSD和GND密度。

密度是質量與體積的比值，在碰撞仿真和NVH分析中尤為重要——不同單位制模型中，密度參數容易出現數量級錯誤，導致分析結果嚴重失真。屈服強度是材料從彈性變形進入塑性變形的臨界點。拉伸過程中，材料在屈服點之前僅產生彈性變形；過了屈服點則進入塑性階段，產生永久不可恢復的變形。