本文綜述了面向金屬增材制造技術的結構拓撲優化設計研究進展，從優化拓撲算法的角度，歸納了基于單元網格與邊界演化的拓撲優化方法改善結構連續性與可制造性的有效措施；從金屬增材制造約束的角度，總結了考慮幾何約束、成形約束、材料性能約束的拓撲優化方法，并結合金屬增材制造與拓撲優化技術的發展趨勢進行了展望。

關鍵詞  拓撲優化；金屬增材制造 ； 拓撲算法 ； 增材制造約束

1.引言

隨著我國航空航天事業的持續發展，航空結構件需滿足輕質高效、長航時、高機動性等要求，因此，進一步降低結構質量系數，是結構優化設計領域面臨的一項嚴峻挑戰。傳統輕量化設計大多是基于經典結構的等效替換，通過新工藝、新材料等精益改善和挖掘結構潛能，現已趨近“天花板”。

拓撲優化技術作為結構優化設計的重要分支，通過定義材料屬性、載荷工況與約束條件，尋求給定設計域內材料的最優分布形式，是結構輕量化設計、獲得高性能創新構型的有效設計方法，現已廣泛應用于航空航天、汽車制造等領域。例如，應用填充微觀點陣結構的衛星支架多尺度拓撲優化設計，使衛星支架減重 17% ，動態響應減少 25% ；考慮切口、保持傳統鈑金輪廓的渦輪發動機支架的拓撲優化設計，使發動機支架減重2 5 %，考慮增材制造工藝，擴大設計空間的拓撲優化設計，使發動機支架減重6 6 %，最大位移減少約5 0 %；由3 0 多個單獨部件組成的穩定器前翼梁支架，應用拓撲優化一體化設計，成功實現前翼梁支架減重3 0 %，顯著改善結構性能，提升加工效率。

然而拓撲構型通常較為復雜，受制于傳統制造工藝限制，設計人員往往需要簡化最優拓撲構型，而不能充分體現拓撲優化的結構優勢。增材制造技術使用高能束熱源，采用“自下而上”材料逐層熔化沉積的疊加方式，無需模具，可實現復雜拓撲構型的快速“自由制造”，解決了結構優化存在的“制造決定設計”的問題，極大地拓寬了設計空間。但金屬增材制造技術并不是完全“自由制造”技術，仍存在特有的制造約束，如拓撲構型最小尺寸小于設備精度，則會出現打印失敗現象；受制于設備成型腔與結構熱變形限制，增材制造大型構件，需進行分塊與連接處理；增材制造零件有時會沿構建方向存在 20%-40% 的強度損；對于粉末床增材制造技術，在制造含有封閉孔洞的拓撲結構時存在內部粉末與支撐難以去除等。因此在拓撲優化設計中考慮增材制造約束，發展面向金屬增材制造的拓撲優化設計與研究具有較為廣闊的應用前景。

本文首先介紹了連續體結構拓撲優化的常用方法與特點，對比了不同方法的拓撲優化結果，從算法優化的角度，總結了改善拓撲構型連續性的有效措施。隨后，闡述了金屬增材制造技術的原理、加工特點與適用范圍，歸納了考慮金屬增材制造幾何尺寸約束、結構成形約束、材料性能約束的拓撲優化方法。最后，討論了現有拓撲優化與金屬增材制造領域的發展方向，為學者們深入研究面向金屬增材制造的拓撲優化技術提供參考。

2.連續體結構拓撲優化常用方法與特點

根據優化算法迭代與更新的不同形式，連續體結構拓撲優化可分為：基于單元網格的拓撲優化方法，如均勻化法、變密度法、漸進結構法等；基于邊界演化的拓撲優化方法，如水平集法、移動可變形組件法、特征驅動結構拓撲優化法等。

2.1  基于單元網格的拓撲優化方法

均勻化方法 通過調整單胞結構的幾何尺寸與空間方位函數，尋求結構最優拓撲形式，但是所采用的較為復雜的數學模型限制其普遍應用。變密度法 通過定義每個單元的“偽密度”在 0-1 之間變動，建立了偽密度與彈性模量的關聯函數，通過調整懲罰因子 p ，減少中間密度，獲得較為清晰的拓撲結構。該方法設計變量較少，計算效率較高，應用更為廣泛（圖 1a ）。漸進結構法根據單元靈敏度及應力值等參數，評估并逐步刪除低效能材料單元，輸出最優拓撲結構，但沿結構邊界存在鋸齒效應（圖 1b ）。

 

圖1 懸臂梁連續體結構拓撲優化。（a）基于HyperWorks的變密度法；

（b）漸進結構法；（c）水平集法；（d）移動可變形組件法；（e）特征驅動法

相對于邊界演化的拓撲優化方法（圖1c-e），基于單元網格的拓撲方法存在著灰度單元、棋盤格式、網格依賴性及局部極值等數值不穩定現象 。棋盤格式和灰度單元的存在為拓撲構型的特征提取和制造增加難度；網格依賴性使拓撲構型中的桿狀單元數量增加，可靠性下降；局部極值使拓撲構型難以得到全局最優解。因此，消除拓撲優化結果中的數值不穩定現象，提升拓撲構型的可制造性尤為重要。

如圖 2 所示，改善灰度單元，可 通過 調節材料插值模型的 懲罰因子p 與灰度過濾函數 ，減少中間密度值 ，獲得收斂性較好的拓撲結構。棋盤格式和網格依賴性總是同期出現、同時消失，棋盤格式是網格依賴性的另一種表現方式 。   一般改善網格依賴性的方式 , 也能有效減少結構中的棋盤格式。常采取八節點與九節點等高階單元法 、非協調元法 、周長約束法 及梯度約束 法 一定程度上抑制棋盤格式。或采取基于卷積的濾波方法 , 如靈敏度過濾法 、密度過濾法 ，通過修改目標函數的單元相對密度與靈敏度分析，改善數值不穩定現象。該方法無需增加額外的約束，收斂性較好，計算效率較高，應用更為廣泛。此外抑制棋盤格式的方法,可選擇 更加穩定的有限元模式 ，或對拓撲結構進行形狀優化、采用光順處理法 及 靈敏度再分配 技術 等，以抑制棋盤格式的產生。改善局部極值可以 從 兩方面考慮 , 一方面，可以優化拓撲算法 ， 尋求更 適 用 于非凸優化問題的 全局優化方 法， 規避一些局部最優解，以輸出 全局最優解 。另一方面，可采用完善迭代初始值與多起點優化加以改進，選取更多組的初始變量，則更有可能找到全局最優解，從而獲得更好的優化效果。但該方法效率較低，僅適用于簡單模型的參數優化，仍有較大發展空間。

 

圖2 基于單元網格的拓撲優化方法數值不穩定現象與改善措施

2.2 基于邊界演化的拓撲優化方法

水平集法 使用零值水平集函數描繪結構邊界，使用 Hamilton-Jacobi 方程更新水平集函數，結合形狀導數與靈敏度分析技術，尋求最佳拓撲結構。移動可變形組件法 與移動可變形孔洞法 通過優化設計域中一系列組件輪廓/孔洞邊界的尺寸、位置等顯式幾何信息，得到不同工況下的最優承力路徑。相對于傳統水平集方法， MMC/MMV 所采用的設計變量顯著減少，計算效率較高，可與 CAD/CAE 軟件無縫連接。特征驅動結構拓撲優化方法 結合隱式水平集函數描述結構輪廓工程特征，通過基于梯度的優化方式控制特征結構的移動、縮放等，實現結構特征與拓撲優化的有效融合。

水平集法具有清晰的結構邊界，無數值無穩定現象，但該類方法高度依賴于初始參數值，存在不能自主開孔 （圖 3 ）與弱收斂等問題。針對僅能實現孔洞融合而不能自主開孔的問題，應用拓撲導數（圖 4a） 、基于反應擴散方程 ，可有效解決自主開孔問題。針對初始依賴性，可利用共軛法計算二維與三維線彈性模型的形狀導數 ，或采用最速下降法更新設計變量 ，或結合基于全局與局部元胞分割框架的遺傳算法 ，改善優化結果初始依賴性。

圖3 水平集法初始依賴性與不能自主開孔問題 (a) 2個初始孔洞；（b）9個初始孔洞；(c)40個初始孔洞

針對弱收斂問題， Luo 等 提出基于緊支撐徑向基函數，采用更穩定、更高效的積分形式，實現 Hamilton-Jacobi 方程在時間與空間解耦，改善傳統水平集法求解困難等弱收斂問題。 Guirguis 等 基于 Kriging （圖 4 b ） 與 RBF 插值模型，提出一種無導數的水平集方法，使用模式搜索的算法，減少有限元分析時間，改善結構初始依賴性及邊界震蕩等弱收斂問題。Dunning等 提出一種求解多約束問題與優化非水平集設計變量的新方法，獲得平滑的速度函數，改善計算穩定性與收斂性。Yaji等 提出對流水平集方法，將符號距離函數映射為光滑的雙曲正切函數，將初始化過程嵌入時間演化方程中，減少額外的計算過程，獲得結構穩定、收斂性較好的拓撲結構。Q u 等 提出拉格朗日乘子直接與間接控制法，減少迭代過程中拉格朗日乘子的振蕩現象，有效改善優化結果收斂性。此外，采用優化形狀導數 、擴展有限元方法 、有限胞元方法 、等幾何分析法 和協調網格 等方法，可有效限制迭代步長，提升計算精度與穩定性，改善水平集法的弱收斂問題。

  圖4 MBB梁水平集拓撲優化。(a)拓撲導數；(b)PS-Kriging插值

盡管顯式拓撲框架的移動可變形組件/孔洞法，設計變量較少，計算效率較高，優化設計結果邊界清晰，可與 CAD/CAE 技術實現無縫銜接。但該方法存在一定的初始依賴性 及結構低連續性（圖 1d ），引入卷積算子與 KS 函數 ，構建基于 R 函數和格雷維爾配點策略的顯式拓撲框架 ，兼顧超彈性與有限變形的顯式拓撲框架 ，可有效改善迭代收斂性與結構低連續性。

現有拓撲優化方法往往僅考慮提升結構力學性能，而忽視了拓撲結構工程特征屬性，往往采取先性能后特征的設計模式，可能難以同時滿足結構力學性能與工程特征的設計要求。特征驅動結構拓撲優化方法，將結構工程特征貫穿于模型構建、有限元分析與拓撲優化整個流程，設計變量規模較小, 求解大型工程問題時具有明顯優勢。然而,其優化結果對特征數目與布局有較強的依賴性。借助拓撲導數可以改善與消除結構初始依賴性，結合一階符號距離函數與 KS 函數，可獲得結構清晰的優化模型 。

3. 金屬增材制造技術原理與特點

增材制造技術是制造業的“革命性”飛躍，顛覆傳統制造技術的局限，解決產品研發存在的“制造決定設計”問題。金屬增材制造技術作為重要分支，已成為當前實施技術創新、提振本國制造水平的關鍵著力點 。如圖 5 所示，主流的金屬增材制造熱源形式有激光、電子束與電弧，依據預先鋪粉或同步送粉/送絲的不同材料進給方式，金屬增材制造包括粉末床熔融 技術和定向能量沉積 技術兩類 , 基于粉末床熔融技術主要有激光選區熔化技術 和電子束選區熔化 技術；基于定向能量沉積技術主要有激光金屬沉積 技術、電子束自由成形制造 技術、電弧增材制造 技術。

 

圖5 金屬增材制造技術。（a）激光選區熔化；（b）電子束選區熔化；

（c）激光金屬沉積；（d）電子束自由成形制造；（e）電弧增材制造

3.1  粉末床熔融增材制造技術

粉末床熔融技術通過對三維模型進行分層切片處理以提取每層輪廓信息，規劃熱源（激光、電子束）掃描路徑與打印方向，逐層熔化預先鋪放的金屬粉末，實現自下而上的材料逐層疊加的零件快速制造。成形件精度較高、表面質量較好，結構復雜性基本不受限。但成形效率較低，成形尺寸受限，故主要應用于小批量、中小尺寸、結構較為復雜的零件加工與模具制造。

3.1.1激光選區熔化技術

激光選區熔化（ Selective Laser Melting, SLM ）技術基于惰性氣體的工作環境（圖 5a ），使用激光高能束有選擇性的逐層熔化金屬粉末，實現復雜結構“凈成形”制造。 SLM 技術粉末粒徑較小，分層層厚較薄，可實現粉末完全熔化與快速凝固。激光功率與光斑直徑較小，成形材料晶粒細小，成形件尺寸精度和表面質量優于其他增材制造技術 ，對于飛機柵格、發動機噴油嘴等復雜構件制造，具有明顯優勢。但成形尺寸受限，成形效率較低，材料與設備成本較高，加工過程易出現翹曲、粉末未熔合與球化等現象。這項技術主要適用于具有復雜內腔結構的中小尺寸零件制造 。

3.1.2 電子束選區熔化技術

電子束選區熔化 （Electron Beam Selective Melting, EBSM） 技術使用電磁線圈精準且快速的驅動電子束逐層熔化金屬粉末（圖 5b ），實時調節束流參數控制零件表面溫度，減少缺陷與變形。真空環境下，材料無污染、無反射，預熱溫度可達到 1000K 以上以消除殘余應力、抑制變形 ，加工精度與表面質量較高，成形件力學性能較好 。電子束能量密度高，成形速度快，是 SLM 技術的數倍 ，但掃描速度更快而導致表面質量不如 SLM 。真空環境限制了零件制造空間，設備成本高，故更適合裂紋傾向較高的鈦、鋁等硬脆金屬材料的快速加工 。

3.2 定向能量沉積增材制造技術

定向能量沉積技術選用金屬粉末/絲材為原材料，依據三維模型分層切片與輪廓提取規劃沉積路徑，使用高能束（激光、電子束、電弧）為熱源，逐層熔化與沉積，實現零件快速制造。相比粉末床熔融技術，定向能量沉積技術具有成形效率更高、成形結構尺寸更大的技術優勢 ，但成形復雜度較低 , 成形精度較差，需結合后處理技術改善零件表面質量。

3.2.1  激光金屬沉積技術

激光金屬沉積（ Laser M etal  Deposition,  LMD）技術在惰性氣體的工作環境下，利用激光逐層熔化金屬粉末，實現結構零件的“近凈成形”（圖 5c ）。 LMD 技術沉積速率可達 0.5kg/h ，材料利用率較高，成形尺寸基本不受限制，可實現與鍛件力學性能相當的復雜結構的快速制造 、多種材料復合及梯度材料制備與修復 。但結構零件成形精度較低(毫米級) ，表面質量較差 ，故適合大尺寸金屬零件毛坯的加工及薄壁形狀整體構件的快速成形 。

3.2.2  電子束自由成形制造技術

電子束自由成形制造（ Electron Beam Freeform Fabrication, EBF）技術基于真空環境下，運用高能量密度的電子束沖擊并熔化金屬絲材，依據預設軌跡移動與逐層累積，實現零件的快速加工與制造（圖 5d ）。電子束掃描系統對熔池進行旋轉攪拌，殘余應力較小，結構內部質量較好，沉積速率較高 。 EBF 技術可實現鈦、鋁合金等材料的加工與制造,特別適合在太空微重力真空環境下的零件成形，對航天器維修與維護及深空探測領域具有重要現實意義 。但 EBF 技術需要較高真空度，設備造價高，零件成形精度較低，表面質量較差，故主要應用于大型非關鍵件的制造。

3.2.3  電弧增材制造技術

電弧增材制造(Wire and Arc Additive Manufacturing, WAAM)技術利用熔化極惰性氣體保護焊、非熔化鎢極惰性氣體保護焊及等離子弧焊等焊接方法產生的電弧作為熱源（圖5e），以金屬焊絲為原材料，在惰性氣體的環境下，通過逐層熔化與沉積的方式，實現零件快速成形。WAAM技術沉積速率高,成 形件具有較好的強度與韌性 ，采用電弧為熱源，可用于加工銅合金與鋁合金等高反射率的金屬材料 。設備成本低，材料利用率較高，成型尺寸幾乎不受限制 。但熱影響區較大，易受到多重因素影響導致缺陷累積 ，成形件尺寸精度與表面質量相對較差，主要應用于較大尺寸的中低復雜度零件的高效、快速、經濟加工。

4. 面向金屬增材制造的拓撲優化設計研究進展

金屬增材制造技術雖有效解決復雜拓撲結構的可制造性差的問題 , 但仍存在某些制造約束，如結構最小尺寸小于束斑直徑時，零件實際打印輪廓會超出設計輪廓；激光選區熔化技術所能制造的零件成形幾何尺寸受限；懸垂角度選擇不當時，會產生零件裝配孔材料塌陷（圖 6a ）、結構支撐斷裂（圖 6b ）等現象；采用粉末床增材制造技術時，制造含有封閉孔洞的結構存在內部粉末與支撐無法去除 等問題（圖 6c ）。因此，在拓撲優化設計中需同時考慮結構幾何約束、成形約束、材料性能約束等多種增材制造約束（圖 7 ），從產品拓撲優化設計源頭改善制造工藝局限性，以實現結構設計制造一體化 。

 

圖6 增材制造打印失效。(a)裝配孔材料塌陷；(b)支撐結構斷裂；(c)內部支撐無法去除

圖7 面向金屬增材制造的拓撲優化設計

4.1 考慮結構幾何約束的拓撲優化方法

拓撲構型往往會產生細小的桿狀分支，若桿狀最小尺寸小于高能束的束斑直徑、結構最大幾何尺寸大于設備成型腔尺寸，則存在無法制造的難題。因此合理設計結構構型、分塊與連接方式，考慮增材制造成形件幾何約束的拓撲優化方法，可有效降低加工難度，減少結構熱變形。學者們主要從最大、最小尺寸約束兩個方面出發。

4.1.1 考慮最小尺寸約束的拓撲優化設計

基于單元網格的最小尺寸優化方法主要有投影濾波函數、魯棒公式、功能梯度函數等。 Guest等使用節點體積分數為設計變量，投影到由單元質心和最小允許半徑確定的單元空間，提出線性投影函數和使用正則化Heaviside階躍函數的非線性投影函數，實現最小尺寸控制 。但線性投影函數沿邊界存在衰落效應(圖 8 a ) ，拓撲構型存在單節點鉸鏈問題。 Sigmund 提出基于三場映射的魯棒公式模型 , 該方法收斂穩定、結果清晰且尺寸特征可控(圖 8b) ，但隱式表述的模型不能準確控制結構尺寸，計算量較大。隨后Wang等 提出改進魯棒公式，消除數值偽影，改善單節點鉸鏈問題，實現拓撲結構局部與全局收斂。Zhou等 基于濾波閾值和正則化物理場，定義結構指標函數與幾何約束，提出一種計算成本低、易于應用的最小尺寸控制新方法(圖 8c) 。隨后Y ang等比較不同梯度算子， 在魯棒公式中施加最小尺寸約束， 提出新的結構指標函數， 更準確的捕捉結構拐點區域與空間梯度信息，優化結構最小尺寸。 Rong 等 使用兩組協調設計變量的密度過濾器及Heaviside函數，實現了固相與空相最小尺寸控制。

 

圖8 考慮最小尺寸約束的拓撲優化。(a)節點設計變量與投影函數dmin=2.0mm，dmin=1.0mm；(b)魯棒公式dmin=1.4/100，dmin=1.4/200；（c）空間梯度算子r=10mm，r=5mm；（d）骨架提取與最小特征優化

基于邊界演化的拓撲方法，學者們提出一系列最小尺寸約束函數。 Chen 等 在目標函數中引入二次能量泛函，將幾何特征尺寸信息引入水平集框架，實現梁狀柔性機構最小尺寸優化。隨后 Luo 等 將二次能量泛函引入無鉸鏈柔性機構，對原始目標函數進行增廣，采用半隱式算法，避免傳統水平集方法存在的數值求解困難問題，實現更為高效的結構最小特征尺寸控制與優化，但該方法未提供明確的幾何信息，無法實現結構最小尺寸的精確控制。 Liu等 提取拓撲優化結果骨架（圖 8d ），采用濾波函數優化尺寸較小的精細結構，提出一種自適應b樣條曲線擬合方法，獲得邊界點云密度更大、更為平滑的參數化拓撲結果，實現結構最小特征尺寸控制與優化。 Dunning 提出 基于參數化隱式函數的 顯式最小尺寸約束函數,實現固相與空相的最小尺寸控制。 Zhang 等 基于移動變形組件法，通過設置一組顯式幾何參數下限，直觀、明確的控制結構最小尺寸。Liu等 應用符號距離函數及計算邊界曲率建立粗加工與精加工最小尺寸約束函數，實現兩種加工狀態的最小尺寸控制。

4.1.2 考慮最大尺寸約束的拓撲優化設計

Guest 以映射方法 為基礎，構建基于局部區域體積比的最大尺寸約束，Jin 基于雙向漸進結構法定義最大尺寸約束，皆實現了結構最大尺寸控制。Zhang等 基于固體各向同性材料懲罰模型，提取拓撲結構骨架，實現結構最大/最小尺寸控制。

Guo 等 基于水平集框架提出顯式幾何尺寸控制方法，通過限制符號距離函數的最大/最小值，同時實現結構最大/最小尺寸精確控制。Xia等 引入內切圓的概念，通過約束結構邊界到骨架的距離，實現結構最大/最小尺寸控制。 Wang 等 將結構邊界與水平集輪廓曲線進行偏移，建立基于偏移距離的顯式特征尺寸約束函數，實現結構最大/最小尺寸精確控制，該方法不需要提取幾何骨架，可有效提升計算效率。B ai 等 構造映射新模型與全局約束函數，對違反最大尺寸約束的單元實行“挖孔”處理，結合魯棒公式，實現結構最大/最小尺寸協同控制。 Niu 等 基 于移動可變形組件 方法，通過 調整 組件寬度 的 上下限，實現 結構最大/最小尺寸控制。Liu 通過識別與分割結構骨架，提出基于分段長度尺度控制與濾波方法，實現結構動態極限尺寸控制。

總體來說，考慮結構幾何尺寸約束的研究較為完善，幾何尺寸約束現已集成到Opti S truct等商用軟件。但引入濾波器與非線性投影函數，沿結構邊界存在灰度單元，需結合適當的后處理技術加以完善。引入梯度約束、幾何尺寸約束，計算量較大，計算效率與穩定性有待提升。因此，研究結構清晰、穩定收斂、便于數值實現與精確特征尺寸控制的新方法具有一定發展空間。此外，針對多噴頭打印、打印方向精度等特定增材制造工藝的特征尺寸控制新方法仍有待完善。

4.2 考慮結構成形約束的拓撲優化方法

增材制造逐層加工的特征，大懸垂結構需調整懸垂角度與長度及添加支撐結構防止材料坍塌；增材制造過程中存在較大的溫度梯度，支撐結構可以將上層熱量傳遞到基板，減少熱應力與變形，提升結構精度與表面質量，但成形完成后支撐結構的添加與去除，會增加材料成本與打印時間。此外，若結構內部存在封閉孔洞，粉末床增材制造技術易出現內部粉末與支撐無法去除等問題。因此，考慮結構成形約束的拓撲優化方法備受關注。

4.2.1 考慮懸垂角度與懸垂長度的拓撲優化設計

考慮懸垂角度與長度的結構自支撐優化設計，可有效提升結構可制造性與經濟性。學者們主要從懸垂角度與長度約束進行深入研究。 Leary 等 通過改變結構幾何形狀、角度等參數及適當的后處理技術，避免了大懸垂結構的材料坍塌現象。B rackett 等 基于雙向漸進結構法，通過設定懸垂角度與懸垂長度成正比，實現自支撐優化。Langelaar 提出三維增材制造濾波器，嚴格將違反懸垂角約束的幾何形狀排除在設計空間之外，實現三維結構的自支撐設計。Qian 提出基于投影周長約束和密度灰度約束的懸垂角度控制新方法，應用Heaviside投影積分函數，協同優化中間密度，引入基于側區的投影周長約束，避免邊界不可打印現象。Gaynor等 在Heaviside投影中嵌入懸垂角度約束，實現最小長度尺度與懸垂角度控制（圖 9 a），但引入濾波函數會使結構邊界存在中間密度，相對于其他方法（圖9b-d），結構性能犧牲較大。

 

圖9 MBB梁自支撐優化。(a)懸垂投影約束，柔度+18.9%；(b)優化懸垂角度與打印方向，柔度+1%； (c)多邊形特征孔，柔度+9.2%；(d)非線性虛擬溫度場，柔度+2.8%

Wang等 提出一種水平集函數梯度積分域的懸垂約束形式，使用單域積分代替點約束，利用水平集函數符號距離性質，簡化懸垂約束形狀導數，避免因懲罰參數值過大而導致的弱收斂問題，獲得相對平滑、自然的結構邊界。Guo等 提出基于移動可變形組件/孔洞的顯式拓撲優化框架，協同考慮懸垂角度與工作平面傾斜角度，結構性能犧牲小，可以以更明確、更自然的幾何處理方式實現結構自支撐優化（圖 9 b）。Zhang等 基于固定網格和高階 B 樣條曲線，引入多邊形特征孔作為設計源語，通過定義比率設計變量控制懸垂角度，自動檢查并逐步優化V形不可打印區域，實現結構懸垂角度控制（圖 9 c）。Liu等 基于熔融沉積制造技術，指出自支撐結構與懸垂角度、懸垂長度等多個因素相關，提出一種基于骨架提取的結構分解法，綜合考慮懸垂長度與懸垂角度，實現結構自支撐優化設計。

總而言之，采用基于單元網格投影與過濾的自支撐拓撲方法，優化后結構性能損失較大，存在邊界震蕩等不足，研究結構清晰、收斂性好的三維空間濾波器有待完善。采用基于邊界演化的懸垂約束控制方法，結構性能損失較小，但存在V形不可打印區域，結構連續性有待完善。現有方法多是引入全局懸垂角度約束，針對支撐去除較為容易的外輪廓，可采取優化支撐質量與數量，以減少結構性能損失。此外，考慮特定增材制造工藝、協同優化懸垂長度與傾角的拓撲優化具有一定發展前景。

4.2.2 考慮連通性約束的拓撲優化設計

考慮結構連通性約束的拓撲優化設計，主要從消除孔洞、構建孔洞與邊界連接隧道及實現孔洞自支撐入手。 Liu 等 提出一種虛擬溫度場,將含有封閉孔洞的連通性約束轉為最大溫度梯度約束,實現熔化粉末流動與水溶性支撐去除(圖1 0 a ) 。 Xiong 等 基于雙向漸進結構法 ，生成連接封閉孔洞與結構邊界的最短隧道，結構性能犧牲較少（圖 10b ）。 Zhou 等 提出將孔洞特征的中心點限制在設計域之外的邊約束方法（圖1 0 c），改善結構連通性，但相關參數的選擇直接影響靈敏度計算精度。 Wang 等 提出了基于泊松方程的靜電場物理模型，協同考慮結構強度與封閉孔洞連通性，可有效改善結構應力集中與連通性（圖1 0d ）。

圖10 考慮連通性約束的拓撲優化。(a)虛擬溫度場，柔度+26.0%及+53.2%；(b)最短連接隧道，柔度+0.6%；(c)邊約束，柔度+19.8%；(d)應力最小化，柔度+136.2%

Luo等 使用非線性虛擬溫度場 識別封閉孔洞（圖 9 d），應用多重濾波與投影函數識別懸垂界面，應用基于對數函數的約束，控制懸垂角度，在結構性能犧牲較少的前提下實現封閉孔洞自支撐優化設計。Gaynor等 考慮到增材制造逐層加工的工藝特點，結合空相投影法與懸垂結構投影法，連接封閉孔洞與零件外表面，以消除結構封閉孔洞。

考慮結構連通性約束的拓撲優化設計可有效提升結構可制造性，但消除封閉孔洞往往以犧牲柔度為代價。構建孔洞與邊界的最短連接隧道、實現封閉孔洞自支撐等方法可有效減少結構性能損失，具有重要參考價值。此外，現有方法往往是基于單一特征的優化，協同考慮結構強度、構建方向、尺寸約束與成形約束具有重要現實意義。

4.3 考慮材料性能約束的拓撲優化方法

相對于傳統制造技術，金屬增材制造技術制備的零件存在材料各向異性、殘余熱應力與變形、翹曲與開裂等材料性能缺陷與不足，因此，考慮材料性能約束的拓撲優化方法具有重要現實意義。

4.3.1 考慮材料各向異性的拓撲優化設計

增材制造逐層疊加的成形方式，使顯微組織與力學特性具有一定的方向性，呈現出材料各向異性，因此合理規劃沉積路徑與構建方向，設計考慮材料各向異性的拓撲結構，可有效提高結構的承載能力與使用壽命。

Liu 等 通過提取等值水平集輪廓來計算沉積路徑，消除了域積分項，簡化了靈敏度分析結果，實現大部分沉積路徑與主應力方向保持一致；針對固定幾何形狀，提出一種多步方法，實現優化結果快速光滑收斂。Liu等 采用多個水平集函數表示每層切片輪廓，提出基于輪廓偏移和骨架提取的沉積路徑優化模式，實現材料各向異性與自支撐約束的協同優化。Mirzendehdel等 提出一種基于廣義失效準則 (Tsai-Wu) 的各向異性強度靈敏度分析方法，考慮了沿構建方向拉伸強度低于其他方向的各向異性強度設計準則，提升了沿構建方向的極限承載能力（圖 11 a）。Dapogny等 引入地殼模型與偏移模型，模擬增材制造過程中分層切片與打印路徑所導致的材料各向異性，假設結構邊界地殼材料和內部填充區域存在不同的力學性能，并將模型擴展到沿輪廓偏移的路徑規劃模型，兩種簡化模型僅依賴于形狀幾何參數，優化結果更加貼近真實打印路徑。Li等 提出一種增材制造驅動拓撲優化的方法，量化打印參數與材料各向異性相關函數，將各向異性實驗數據引入彈性矩陣，協同優化構建方向及拓撲結構（圖1 1b ）。W ang 等 基于各向異性 Helmholtz 方程，實現封閉孔洞連通性約束與材料各向異性協同優化。

現階段考慮材料各向異性的拓撲模型過于簡化。結合增材制造過程，建立多元工藝參數下的各向異性精準三維模型、構建特定增材制造工藝參數與材料性能的定量相關性、提升數值穩定性與計算效率等方面仍有待完善。

圖11考慮材料各向異性的拓撲優化。(a)強度各向異性，構建方向極限承載+63.1%；(b)量化增材制造工藝參數α=0°，β=0°，Emin=61.53mJ；α=0°，β=90°，Emin=63.59mJ；α=0°，β=51.21°，Emin=65.06mJ

4.3.2 考慮殘余應力與變形等制造缺陷的拓撲優化設計

金屬增材制造技術在逐層快速加熱與迅速冷卻過程中，較大的溫度梯度易引起結構內部殘余熱應力累積,導致結構翹曲變形與開裂等問題。因此，考慮殘余應力與變形等制造缺陷的拓撲優化設計，可有效提升拓撲結構工藝性與可靠性。 Chen 等 基于固有應變法，通過熱電偶實驗修正熱源參數與熱邊界條件，提取固有應變作為熱膨脹系數，預測零件殘余應力與變形。Zhang等 提出密度拓撲優化與固有應變法的并行計算模型，設計僅在重力與殘余應力下剛性更好的支撐結構，改善結構殘余變形，提升計算效率。Takezawa等 提出基于逐層固有應變法的晶格結構分布優化方法，結合靈敏度分析技術，模擬增材制造逐層疊加的過程，輸出有效彈性模量，控制殘余變形。

該領域現有研究主要集中于固有應變法的分層變形研究，輪廓掃描對表面殘余應力的影響尚未量化，過程仿真模型僅模擬各層內部區域掃描，忽略了激光掃描速度較高、功率較低的邊界輪廓掃描。為提高零件殘余應力與變形的預測精度，應考慮零件幾何形狀對固有應變值的熱效應影響，不同高度層可能經歷不同的熱積累。此外，非均勻變形的固有應變精確模型，對提升預測精度與效率具有一定現實意義。

5.結論與討論

拓撲優化設計可以依據材料屬性、約束條件及載荷工況，在給定設計區域內尋求材料最佳分布形式與最優承力路徑，實現高性能輕量化設計。金屬增材制造技術基于高能束熱源，采用快速熔化與逐層疊加的成形方式，可實現復雜拓撲構型的快速原型制造與實體自由制造。本文將拓撲優化設計與金屬增材制造結合，歸納了基于單元網格與邊界演化的拓撲優化方法改善結構連續性與可制造性的有效措施，總結了考慮金屬增材制造幾何尺寸約束、成形約束及材料性能約束的拓撲優化方法，為學者們進一步研究面向金屬增材制造的拓撲優化設計提供參考。

（1） 拓撲優化設計存在設計變量巨大、計算效率較低、求解困難、弱收斂等不足，現有拓撲優化算法往往難以輸出可直接增材制造的結構性能最優解，學者們往往基于最優拓撲構型進行二次簡化設計，損失結構性能。因此，結合并行計算技術，開展設計變量較少、收斂性較好的算法研究，輸出可直接增材制造的最優拓撲結構具有重要現實意義。

（2） 宏觀拓撲優化與微觀點陣結構研究日趨完善，將宏觀拓撲優化設計與微觀點陣結構有效融合，建立多尺度結構之間的高度銜接性，充分利用拓撲優化的高性能構型及增材制造所提供的廣闊設計空間，追求高性能的輕量化設計具有廣闊發展前景。

（3） 考慮金屬增材制造約束的拓撲優化方法采用較為理想的材料模型，與金屬增材制造技術實際打印過程存在一定的差距，因此建立多元工藝參數下的材料各向異性精準拓撲模型、量化金屬增材制造設備工藝參數、模擬金屬增材制造加工過程及預測零件翹曲變形與開裂，可有效減少殘余應力與變形，改善成形精度與表面質量。

（4） 面向金屬增材制造的拓撲優化往往是基于單一材料的優化，將多材料、拓撲優化及金屬增材制造有效結合，研究功能梯度材料的拓撲優化設計與金屬增材制造技術，實現材料、結構、工藝、性能集成一體化設計，是追求高性能、多功能、輕量化的又一突破點。

原文： 劉博宇 , 王向明 , 楊光 , 邢本東 . 面向金屬增材制造的拓撲優化設計研究進展 [J]. 中國激光 , 2023, 50(12): 1202301. Boyu Liu, Xiangming Wang, Guang Yang, Bendong Xing. Research Progress on Topology Optimization Design for Metal Additive Manufacturing[J]. Chinese Journal of Lasers, 2023, 50(12): 1202301.

 

文章來源沈航增材