方程
關(guān)注創(chuàng)建者：科技蟲(chóng) 創(chuàng)建時(shí)間：2021-01-16
方程的視頻教程
Matlab求解常微分方程/偏微分方程/復(fù)雜邊值問(wèn)題
本專題視頻是關(guān)于Matlab求解微分方程、偏微分方程、復(fù)雜邊界值問(wèn)題的微分方程、橢圓形微分方程、雙曲線型微分方程、拋物線型微分方程、ode45、bvp4c、pdepe等內(nèi)容！實(shí)際課程數(shù)不局限于7節(jié)課，會(huì)一直更新，把我科研過(guò)程中遇到的比較特殊有意思的微分方程求解案例做成課程分享給大家，而且包含所有案例的matlab源文件，方便大家下載學(xué)習(xí)！！！
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1/4懸架二自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)方程——通過(guò)狀態(tài)方程的方法在Simulink里面構(gòu)建模型
本節(jié)課主要是在前兩節(jié)課的基礎(chǔ)上，通過(guò)狀態(tài)方程的方法，在simulink里面構(gòu)建1/4懸架二自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后對(duì)懸架的幅頻特性進(jìn)行分析。以車身加速度對(duì)路面位移響應(yīng)的幅頻特性為例，進(jìn)行闡述，保姆級(jí)教學(xué)。。。附帶simulink模型以及matlab求解幅頻特性的方法，歡迎大家一起學(xué)習(xí)探討并進(jìn)行指正。
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Comsol的PDE入門(mén)-雙溫方程模擬單個(gè)飛秒激光脈沖
本次分享一個(gè)Comsol的PDE方程案例，雙溫方程模擬飛秒激光。 參考相關(guān)的雙溫方程論文，根據(jù)論文的描述一步步使用comsol的PDE模塊復(fù)現(xiàn)了論文的核心方程，其中對(duì)論文做了一點(diǎn)完善。 學(xué)習(xí)本課程可以幫助同學(xué)們更快熟悉PDE模塊。
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方程的實(shí)例教程
偏微分方程的起源
如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡(jiǎn)稱微分方程；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。
在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中，人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函數(shù)來(lái)描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問(wèn)題有多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。比如，從物理角度來(lái)說(shuō)，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)表示。
應(yīng)該指出，對(duì)于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個(gè)變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實(shí)際上“在一點(diǎn)”的密度是不存在的。而我們把在一點(diǎn)的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當(dāng)體積無(wú)限縮小的時(shí)候的極限，這就是理想化的，介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。
微積分方程這門(mén)學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門(mén)學(xué)科。
展開(kāi) 靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場(chǎng)滿足的方程為
式中為傳導(dǎo)電流密度第一式表明靜磁場(chǎng)可引入磁矢勢(shì)A描述：
在各向同性、線性、均勻的磁媒質(zhì)中，傳導(dǎo)電流密度[134-1]0的區(qū)域里，磁矢勢(shì)滿足的方程為
選用庫(kù)侖規(guī)范，·A=0，則得磁矢勢(shì)A滿足泊松方程
式中純數(shù) 為媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率， 真空磁導(dǎo)率 =1.257×10(亨／米。在傳導(dǎo)電流密度=0的區(qū)域里,上式簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程
靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個(gè)直角分量滿足的方程與靜電勢(shì)滿足的方程有相同的形式。對(duì)比靜電勢(shì)的解，可得矢勢(shì)方程的解。
展開(kāi) 內(nèi)容結(jié)構(gòu)指引
計(jì)算流體力學(xué)概述 | 流體力學(xué)的一些基本概念 | 流體力學(xué)的控制方程
粘性流動(dòng)的控制方程（納維-斯托克斯方程） | 無(wú)粘流的控制方程（歐拉方程）
適合CFD的控制方程 | NS方程的無(wú)量綱化 | 簡(jiǎn)化NS方程
主要名詞檢索
計(jì)算流體力學(xué)（CFD） | 離散化 | 連續(xù)介質(zhì)假設(shè) | 流動(dòng)微團(tuán) | 控制體 | 流動(dòng)模型 | 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)
當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) | 遷移導(dǎo)數(shù) | 速度散度 | 拉格朗日描述 | 歐拉描述 | 控制方程 | 連續(xù)性方程 | 動(dòng)量方程
能量方程 | 守恒型 | 非守恒型 | 納維-斯托克斯方程 | 歐拉方程 | 守恒型方程的向量形式
通向量 | 源項(xiàng) | 解向量 | 無(wú)量綱量 | 特征量 | 無(wú)量綱化 | 定常流方程 | 不可壓流方程
邊界層方程 | 小擾動(dòng)方程
計(jì)算流體力學(xué)概述
a. 定義
計(jì)算流體力學(xué)（CFD）是 通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場(chǎng)的離散定量描述，并以此預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。
實(shí)際問(wèn)題的流動(dòng)控制方程復(fù)雜，解析解難以獲得，我們通常采用數(shù)值方法求解，值得一提的是，在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前，數(shù)值方法已然產(chǎn)生。
離散化分為流場(chǎng)的離散化（網(wǎng)格生成）與方程的離散化（計(jì)算格式）
流體力學(xué)研究的三種方法
CFD與試驗(yàn)相比各有千秋，CFD不能完全替代真實(shí)試驗(yàn)
b. CFD常用方法
CFD常用方法
c.
展開(kāi) 其實(shí)沒(méi)法定義到底是哪一類量會(huì)按照聲速傳播，比如說(shuō)按照熱力學(xué)中的廣延量和強(qiáng)度量來(lái)劃分吧，那強(qiáng)度量中壓強(qiáng)擾動(dòng)會(huì)按聲速傳播，溫度這種強(qiáng)度量發(fā)生擾動(dòng)就不會(huì)按照聲速傳播，它有自己的熱傳導(dǎo)方程；按照力學(xué)參量/幾何參量等來(lái)劃分吧，那力學(xué)參量中的部分量也不會(huì)這樣。當(dāng)然這是題外話了，也可能我還沒(méi)學(xué)到。
關(guān)于絕熱等熵，就是說(shuō)擾動(dòng)前后熵不變，比如聲音傳播經(jīng)過(guò)空中某個(gè)點(diǎn)前后，該點(diǎn)的熵不變。激波的傳播就會(huì)造成壓強(qiáng)、速度等間斷面，也不會(huì)是等熵的了。固體中絕熱等熵過(guò)程典型的就是彈性小變形，彈性動(dòng)力學(xué)就是研究聲波在固體中的傳播；聲波在流體中的傳播的研究是建立在無(wú)黏可壓流模型基礎(chǔ)上的，必須要考慮流體的可壓縮性，因?yàn)槿绻麑⒘黧w當(dāng)成不可壓縮物質(zhì)，波速將無(wú)限大。另外，吳望一P527也說(shuō)明了高速空氣邊界層外中的小擾動(dòng)仍然可以采用無(wú)黏等熵假設(shè)。
聲音的傳播遵循波動(dòng)方程，但是固體力學(xué)的波動(dòng)方程和流體力學(xué)的波動(dòng)方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當(dāng)然這也分別是固體力學(xué)和流體力學(xué)慣用的描述方式。
二、 固體波動(dòng)方程
固體波動(dòng)方程的推導(dǎo)可以見(jiàn)吳家龍P233，我們?cè)谶@里對(duì)關(guān)鍵推導(dǎo) 如果彈性介質(zhì)的位移場(chǎng)是無(wú)旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見(jiàn)，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個(gè)拉梅常數(shù)都有關(guān)，而畸變波的波速只和拉梅常數(shù)中的剪切模量G有關(guān)。
三、流體的波動(dòng)方程
流體的波動(dòng)方程在好幾個(gè)著作中都有提到。比如汪志誠(chéng)的《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》（高教社第五版）P26，但只是推導(dǎo)了牛頓聲速公式，并未將擾動(dòng)過(guò)程看成等熵的。關(guān)于牛頓對(duì)聲速的測(cè)量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
展開(kāi) 導(dǎo)讀：本文討論用以解決湍流問(wèn)題的基本方程。首先應(yīng)用時(shí)均法建立湍流的時(shí)均的和脈動(dòng)的連續(xù)方程及運(yùn)動(dòng)方程；隨后討論湍流的能量方程與渦量方程
連續(xù)方程
粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程（N-S）方程及連續(xù)方程同樣也適用于湍流運(yùn)動(dòng)。湍動(dòng)運(yùn)動(dòng)中，物理量可以分為兩部分：時(shí)均物理量和脈動(dòng)物理量。時(shí)均流動(dòng)的連續(xù)方程為：
應(yīng)用平均運(yùn)算法則：
由此可見(jiàn)，連續(xù)方程中多了一項(xiàng) : 這是湍流運(yùn)動(dòng)的附加項(xiàng)。當(dāng)流體不可壓時(shí)，平均速度及脈動(dòng)速度的散度為0：
動(dòng)量方程
N-S方程可以表示為：
將瞬時(shí)值帶入，并對(duì)其做時(shí)間平均后，可以得到：
簡(jiǎn)化后，該方程可以寫(xiě)為：
方程的封閉性
從前面推導(dǎo)的連續(xù)性方程（一個(gè)標(biāo)量方程）和動(dòng)量方程（三個(gè)標(biāo)量方程）所構(gòu)成的方程組中，共有4個(gè)偏微分方程10個(gè)自變量，包括4個(gè)平均量 ,6個(gè)湍流應(yīng)力，因此無(wú)法直接從中得到確定解，因此需要找到足夠的方程，使方程組封閉，這部分內(nèi)容，我們下一次討論。
能量方程
（1）時(shí)均能量方程
采用質(zhì)量加權(quán)平均：
但密度和壓力不能采用質(zhì)量平均：
根據(jù)組分輸運(yùn)方程可以導(dǎo)出：
其中 ，對(duì)于溫度、總焓推導(dǎo)類似。
（2）平均動(dòng)能方程
動(dòng)量方程兩側(cè)同乘速度，并利用連續(xù)方程可得：
方程右側(cè)第二項(xiàng)表示控制體內(nèi)平均動(dòng)能的變化率；第三項(xiàng)表示控制面上平均壓力所做流動(dòng)功(含勢(shì)能變化)。
對(duì)于不可壓流動(dòng)，方程可以改寫(xiě)為：
方程右邊第一項(xiàng)為平均動(dòng)能局部變化率，第二項(xiàng)為對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng)，第三項(xiàng)為湍流應(yīng)力功，第四項(xiàng)為變形功耗散項(xiàng)，第五項(xiàng)為粘性應(yīng)功，第六項(xiàng)為粘性耗散項(xiàng)。
展開(kāi) 
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方程的最新內(nèi)容
模態(tài)分析——給輪轂做場(chǎng)“性格測(cè)試”
提到仿真，很多人第一反應(yīng)是“反人類”的偏微分方程。別怕，我們今天不講那種硬核理論。
想象一下，你正在敲一口大鐘
固有頻率： 你敲一下輪轂，它發(fā)出的“當(dāng)——”的一聲長(zhǎng)音，那個(gè)固定的音調(diào)，就是它的固有頻率。
性格測(cè)試： 做模態(tài)分析，其實(shí)就是摸清這個(gè)金屬疙瘩的“底牌”，看它在什么頻率下會(huì)“失控”。
智能補(bǔ)償：應(yīng)對(duì)復(fù)雜工況的“自適應(yīng)”能力
真正的自動(dòng)調(diào)節(jié)，不僅要能響應(yīng)設(shè)定值的變化，更要能抵抗外部環(huán)境的干擾，布瑯軻鍶特的MFC產(chǎn)品具備強(qiáng)大的自動(dòng)補(bǔ)償能力，進(jìn)一步提升了調(diào)節(jié)的智能化水平：
溫度與壓力自動(dòng)補(bǔ)償（TPC）：環(huán)境溫度和壓力的波動(dòng)是影響流量測(cè)量精度的主要因素，Bronkhorst的MFC內(nèi)置高精度傳感器，可實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)工況，并依據(jù)理想氣體狀態(tài)方程自動(dòng)校正流量讀數(shù)，確保輸出的是標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的質(zhì)量流量
考慮熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)有限元求解器5小時(shí)前
當(dāng)時(shí)那個(gè)控制方程沒(méi)有考慮熱源，邊界條件中只涉及溫度、熱流、對(duì)流。然而在很多問(wèn)題中，熱源才是最關(guān)鍵的邊界條件，比如電發(fā)熱、化學(xué)反應(yīng)生熱。
熱源的處理
熱源是體熱，相對(duì)應(yīng)的熱流是面熱。兩者處理方式類似，都是根據(jù)單位熱功率值和幾何尺寸計(jì)算熱功率，然后加到控制方程矩陣的右側(cè)，承擔(dān)類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的“載荷”的功能。
區(qū)別在于，熱源是作用在體上的，單位是W/m3，熱流是作用在面上，單位是W/m2。
模型與實(shí)驗(yàn)對(duì)標(biāo)；(a) 電池溫度對(duì)標(biāo)；(b) 反應(yīng)與質(zhì)量對(duì)比
機(jī)理：LFP電池泄壓降溫是：定容過(guò)程下的過(guò)熱電解液在定壓狀態(tài)下發(fā)生了沸騰與蒸發(fā)導(dǎo)致；
模型：提出了電池內(nèi)壓-溫度實(shí)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式以及電解液沸騰蒸發(fā)吸熱方程。前者用于預(yù)測(cè)電池內(nèi)部氣壓，后者用于計(jì)算三維的電解液吸熱行為；
設(shè)計(jì)：電解液在卷芯內(nèi)局部滲透性不宜過(guò)差，過(guò)差可能導(dǎo)致熱失控提前。
5/13 | Ansys高校系列專題：方程式賽車的智能化仿真設(shè)計(jì)
講師簡(jiǎn)介：
鄭麗堃 | 神州數(shù)碼技術(shù)經(jīng)理
孟棟棟 | 神州數(shù)碼流體工程師
主題簡(jiǎn)介：本次報(bào)告將從三方面進(jìn)行闡述：1.
核心技術(shù)原理
基于拉格朗日方程與牛頓 - 歐拉方程，采用變步長(zhǎng)剛性積分算法 + 稀疏矩陣技術(shù)，高效求解大規(guī)模非線性動(dòng)力學(xué)方程；支持剛?cè)狁詈稀⒎蔷€性接觸、摩擦、疲勞、振動(dòng)等多物理場(chǎng)耦合分析，兼顧計(jì)算精度與效率。
二、核心優(yōu)勢(shì)
1.
通過(guò)求解聲波方程（如線性歐拉方程）或采用聲類比方法（如FW-H方程），模擬由湍流邊界層分離、旋渦脫落、氣流沖擊等引起的噪聲產(chǎn)生與傳播過(guò)程。
4.疲勞仿真
建筑物在其全生命周期內(nèi)會(huì)承受數(shù)萬(wàn)甚至數(shù)十萬(wàn)次風(fēng)荷載循環(huán)作用。這種隨機(jī)、往復(fù)、幅度變化的風(fēng)致應(yīng)力會(huì)對(duì)關(guān)鍵受力構(gòu)件（如焊縫、螺栓節(jié)點(diǎn)、支撐結(jié)構(gòu)）造成累積損傷，可能導(dǎo)致材料在遠(yuǎn)低于靜力強(qiáng)度的應(yīng)力水平下發(fā)生疲勞斷裂。
此時(shí)，spatial_vary_#.txt 文件中的每個(gè)方程后都必須跟隨如下內(nèi)容：
; min, max, interval
這些數(shù)值分別指定該參數(shù)的下限、上限和采樣間隔。
示例：
p# = v0*(1 + y/150 + v1); -10, 10, 2.5
當(dāng)一條光線打到光柵上時(shí)，系統(tǒng)會(huì)先根據(jù)所定義的方程計(jì)算交點(diǎn)處的參數(shù)值。
將結(jié)構(gòu)劃分為若干層后，在每一層的傅里葉域中，麥克斯韋方程組被解析求解。這些傅里葉模式的波矢量被稱為 k 矢量。由于結(jié)構(gòu)的周期性，僅允許存在離散的 k 矢量。增加 k 矢量的數(shù)量可以提高計(jì)算精度，但代價(jià)是仿真時(shí)間的增加。
隨后，對(duì)每個(gè)區(qū)段的求解結(jié)果進(jìn)行雙向傳播，以計(jì)算整個(gè)器件的 S 矩陣。一旦 S 矩陣計(jì)算完成，即可將入射平面波的光通過(guò)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳播。
使用經(jīng)典的位錯(cuò)密度模型計(jì)算硬化和熱激活流動(dòng)方程計(jì)算滑移系的剪切變形。
初始RVE模型使用neper建模，建立一個(gè)包含100個(gè)晶粒的多晶模型：
matlab導(dǎo)入幾何模型網(wǎng)格：
并沿著X方向進(jìn)行1.0%的拉伸變形，所有量綱使用m-s-pa。
