計算流體力學(xué) | 控制方程
內(nèi)容結(jié)構(gòu)指引
計算流體力學(xué)概述 | 流體力學(xué)的一些基本概念 | 流體力學(xué)的控制方程
粘性流動的控制方程（納維-斯托克斯方程） | 無粘流的控制方程（歐拉方程）
適合CFD的控制方程 | NS方程的無量綱化 | 簡化NS方程
主要名詞檢索
計算流體力學(xué)（CFD） | 離散化 | 連續(xù)介質(zhì)假設(shè) | 流動微團 | 控制體 | 流動模型 | 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)
當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) | 遷移導(dǎo)數(shù) | 速度散度 | 拉格朗日描述 | 歐拉描述 | 控制方程 | 連續(xù)性方程 | 動量方程
能量方程 | 守恒型 | 非守恒型 | 納維-斯托克斯方程 | 歐拉方程 | 守恒型方程的向量形式
通向量 | 源項 | 解向量 | 無量綱量 | 特征量 | 無量綱化 | 定常流方程 | 不可壓流方程
邊界層方程 | 小擾動方程
計算流體力學(xué)概述
a. 定義
計算流體力學(xué)（CFD）是 通過數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場的離散定量描述，并以此預(yù)測流體運動規(guī)律的學(xué)科。
實際問題的流動控制方程復(fù)雜，解析解難以獲得，我們通常采用數(shù)值方法求解，值得一提的是，在計算機產(chǎn)生之前，數(shù)值方法已然產(chǎn)生。
離散化分為流場的離散化（網(wǎng)格生成）與方程的離散化（計算格式）
b. CFD常用方法
c. CFD流程
問題定義（確定模擬目的、確定計算域）
前處理和求解（創(chuàng)建幾何實體、設(shè)計劃分網(wǎng)格、設(shè)置物理問題、定義求解器、求解監(jiān)控）
后處理過程（查看計算結(jié)果、修訂模型）
流體力學(xué)的一些基本概念
1）連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：流體連續(xù)地充滿整個空間
2）流體微團：微觀充分大，宏觀充分小的流體“質(zhì)點”
控制體：在流動區(qū)域內(nèi)劃出一塊有限的封閉區(qū)域
3）密度：
其中 
4）流動模型
為了將物理規(guī)律（方程）更方便地應(yīng)用到流體上，我們定義以下四種流動模型
5）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)
物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是流體力學(xué)專有概念，在物理上是指跟蹤一個運動的流體微團的時間變化率，在數(shù)學(xué)上可理解為物理量的全導(dǎo)數(shù)，定義式如下
即物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) 
6）速度散度
利用運動的控制體模型，經(jīng)過簡單推導(dǎo)可得
其中 
根據(jù)這個式子，我們可以歸納出速度散度的物理意義實際上是 每單位體積運動的流體微團，體積相對變化的時間變化率
7）流動的描述方法及其對應(yīng)CFD處理方法：
歐拉描述：給出每個時刻每個空間點上的物理量（計算網(wǎng)格不動，求解NS方程）
拉格朗日描述：跟蹤每個流體質(zhì)點，記錄物理量隨時間的變化（計算網(wǎng)格跟蹤流體質(zhì)點）
另外CFD中還有計算網(wǎng)格運動，但不完全跟蹤流體質(zhì)點的方法，如ALE（動網(wǎng)格）
流體力學(xué)的控制方程
無論是多么復(fù)雜的流動情況，其流動都由三個基本的物理原理控制，即質(zhì)量守恒定律、牛頓第二定律、能量守恒定律。這三個基本的物理原理分別對應(yīng)三個控制方程，即流體力學(xué)的控制方程（連續(xù)性方程、動量方程、能量方程），這三個方程即是相應(yīng)物理原理的數(shù)學(xué)描述。
對應(yīng)于不同的流動模型，這些方程又有不盡相同的形式。值得一提的是，對于流體力學(xué)本身，這些不同形式的控制方程是沒有本質(zhì)上區(qū)別，但是對于CFD而言，方程的形式將直接決定求解的結(jié)果，不適宜的方程也許我們將得不到收斂的解。
流體力學(xué)的控制方程在數(shù)學(xué)上大多是由非線性偏微分方程藕合而成的方程組，到目前為止，我們還沒有找到它們封閉的通解（也許是僅僅還沒有找到而已）。
下面我們將對于三個物理原理及其對應(yīng)的三個控制方程分別討論：
a. 質(zhì)量守恒定律---連續(xù)性方程
對于不同的流動模型，連續(xù)性方程的形式如下
（控制體的）有限體積是方程具有積分形式的原因，而空間位置的固定是方程稱之為守恒型的原因
b. 牛頓第二定律---動量方程
由連續(xù)性方程的推導(dǎo)可以看出，不同形式的方程之間可以相互轉(zhuǎn)化（運用斯托克斯公式可以推導(dǎo)），為篇幅原因，我們可以省去一些不必要的重復(fù)，下面僅給出一種流動模型的相關(guān)方程
對于隨流體運動的微團
c. 能量守恒定律---能量方程
對于隨流體運動的微團
粘性流動的控制方程（納維-斯托克斯方程）
從歷史的角度來講，NS方程（納維斯托克斯方程）僅指粘性流動的動量方程，但是當(dāng)代的文獻(xiàn)把NS方程的范圍擴大，將粘性流動的控制方程統(tǒng)稱為NS方程（歐拉方程也有相似的歷史）。
一般情況下，非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程如下
1）連續(xù)性方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
2）動量方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
3）能量方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
無粘流的控制方程（歐拉方程）
1）連續(xù)性方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
2）動量方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
3）能量方程
a. 非守恒形式
b. 守恒形式
適合CFD的控制方程
從歷史發(fā)展的角度，理論流體力學(xué)并沒有在意守恒型與非守恒型方程的區(qū)別；
將控制方程區(qū)分為守恒形式和非守恒形式，來源于計算流體力學(xué)；對于算法設(shè)計和編程計算，選擇守恒性的方程可以減輕不少工作量。
守恒形式的連續(xù)方程、動量方程和能量方程能用一個通用形式來表達(dá)，這樣有助于計算程序的簡化和程序結(jié)構(gòu)的組織。
我們可以把守恒形式的三個控制方程寫成向量形式，即尋求簡潔的表達(dá)形式：
如果將每一個參量看作列向量，我們可以得到
其中列向量 
列向量 
列項量 
N-S方程的無量綱化
無量綱量：物理量與特征量之比
特征量：對于某物理量，人為設(shè)定的值（可任意），可如下引入特征量
將NS方程相關(guān)參數(shù)用無量綱量替換即可得到無量綱化的NS方程
其中出現(xiàn)的無量綱參數(shù)有
簡化NS方程
a）空間上的簡化
一維無粘流動（非守恒形式）
一維無粘流動（守恒形式）
二維流動（ 
b）時間上的簡化（定常流）
c）忽略粘性（歐拉方程）
忽略NS方程右端項即可
d）忽略壓縮性（不可壓流）
二維不可壓流（守恒形式）
二維不可壓流（非守恒形式）
e）邊界層方程
f）小擾動方程
文章來自：闌珊離索
工程師必備
- 項目客服
- 培訓(xùn)客服
- 平臺客服
TOP
