原始文獻：《An elasto-viscoplastic formulation based on fast Fourier transforms for the prediction of micromechanical fields in polycrystalline materials》

DOI：10.1016/j.ijplas.2011.12.005

  在計算微觀力學領域，如何高效預測多晶體內部的異質應力場量一直是核心難題。自 1990 年代 Moulinec 和 Suquet 提出基于 FFT 的線性解析法以來，譜方法憑借其無需網格劃分、直接處理微觀圖像的優勢，迅速成為挑戰傳統有限元法（FEM）的利器。

  然而，早期的 FFT 框架大多局限于剛塑性或線性彈性。2012 年，Ricardo A. Lebensohn 等人在 International Journal of Plasticity 上發表了具有里程碑意義的工作。該研究提出了一套嚴謹的彈性-黏塑性（EVP-FFT）公式，能夠同時處理晶體的彈性各向異性與非線性滑移演化，為預測多晶材料在復雜載荷下的局部力學響應奠定了理論基礎。

Lebensohn 等人的文章重點解決了以下幾個力學與數值上的關鍵問題：

增廣拉格朗日迭代 (Augmented Lagrangian)

  針對 EVP 本構中極強的非線性，文章引入了增廣拉格朗日迭代程序。這種方法通過在傅里葉空間平衡相容性（Compatibility）與在實空間平衡本構關系，極大地提高了求解高對比度異質材料時的收斂穩健性。

有限應變運動學 (Finite Strain Kinematics)

  在有限變形框架下，總變形梯度被分解為彈性和塑性兩部分。文章強調了在參考構型下求解第一類 Piola-Kirchhoff 應力平衡的重要性，這確保了在大旋轉、大應變工況下計算的物理準確性。

應力共軛與本構更新

  為了保證能量守恒，文章在晶體本地坐標系下采用 Mandel 應力作為滑移驅動力，并配合隱式時間積分更新塑性變形梯度。

文章的模擬效果如下：

需要注意的是當前的這代積分方案和damask的快速傅里葉變化方案計算效果基本保持一致，整體也是使用fortran語言編寫，并使用vtk格式用于輸出，使用paraview可視化。

使用類似的思想，我們可以根據文章的公式實現對應的CPFFT的計算方案。這里展示使用matlab實現對應的CPFFT方案，matlab的顯著優勢可以很容易和相場和再結晶去結合，因此后續非常容易擴展。

使用FFT作為邊值問題的求解器，使用固定點迭代完成內部的晶體塑性迭代。使用經典的位錯密度模型計算硬化和熱激活流動方程計算滑移系的剪切變形。

初始RVE模型使用neper建模，建立一個包含100個晶粒的多晶模型：

matlab導入幾何模型網格：

并沿著X方向進行1.0%的拉伸變形，所有量綱使用m-s-pa。

拉伸變形結束后的累計剪切滑移結果：

拉伸變形結束后的統計儲存位錯密度分布結果：

拉伸變形結束后的幾何必須位錯密度分布結果：