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要點 FDTD技術直接離散化麥克斯韋方程的時域偏微分形式。 頻域有限差分（FDFD）源自FDTD。 時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組的最先進方法，尤其是在復雜幾何形狀中。 FDTD方法可以解決與天線相關的問題 我們經常使用基于電流、電荷和場變化產生的電場和磁場的電器或設備。

以自由度數為41w的如下分布的稀疏矩陣為例， 該稀疏矩陣形成的系數方程組在matlab中采用直接求解為1.5s,采用一定預處理下的PCG求解時間為0.55s。 用筆者自行開發的稀疏矩陣PCG求解器運行此算例，方程組求解時間為0.628s。 此時，整個程序的運行時間瓶頸實際上并不在方程求解，而在于從文件中讀取稀疏矩陣對應的數據。

Scipy求解常微分方程組有scipy.integrate.solve_ivp和scipy.integrate.odeint，后者是較老的版本主要是采用 FORTRAN 的odepack庫里面的lsoda 方法，而前者是后面更新的函數，支持的方法也更多，按照官方的文檔介紹大致有如下的方法。

一、背景 在工業仿真領域，對各種現實世界的問題進行數值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結構力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經過不同方法的隱式離散之后最終都可轉化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。

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想求解一個微分方程，用dsolve得到的結果是下邊這樣，看不懂，向各位大神求救！

前面講過當我們處理一個常微分方程組（一般對應于一個物理系統的求解）的時候，可以直接采用matlab中的ode函數比如ode15s和ode45，python的scipy中也有對應的函數像odeint和odebvp。

偏微分方程理論屬于第一類理論基礎，對于研發來說，可能并不需要我們研究的太深，但是理解偏微分方程的特點卻能很好的幫助求解器開發：目前大部分偏微分方程都為二階，即最高偏導兩次，在構造形函數時，二階多項式性價比往往最好；在多物理場耦合仿真中，往往首先需要明確不同物理場構成的偏微分方程組，偏微分方程組的強耦合求解仍然是世界難題，實際工程中一般使用弱耦合求解。

有限差分法將求解域離散化為網格，然后使用差分近似來近似偏微分方程中的導數項。通過將離散的方程轉化為一個線性代數方程組，我們可以使用matlab中的線性代數求解器來求解該方程組，從而得到數值解。求解過程： 在求解過程中，我們首先需要確定求解域的大小和網格的劃分。然后，我們可以根據所給的初始和邊界條件來初始化數值解。

您還可以使用“一維繪圖組”下的“點圖”節點繪制點上位移隨時間變化的曲線，或者隨參數化掃描中的參數變化的曲線。創建存儲在輸出中的目標變量如果您感興趣的是一個標量，便只需要一個表示輸出中該物理量的單個自由度（變量）。您可以通過“全局常微分和微分代數方程”接口來定義全局方程，隨之創建作為簡單代數方程求解量的變量。

有多種數值模擬和競爭算法可用于求解泊松方程。然而，有限差分法是最簡單的方法。 有限差分法 由于泊松方程僅適用于少數簡單的工程模型，因此采用計算算法來獲得近似數值解。在數值技術中，有限差分法是求解泊松方程最古老、最簡單、最直接的方法。 有限差分法將偏微分方程轉換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。在 FDM 中，偏微分方程直接從連續函數和算子轉換為離散采樣對應項。

而有約束系統建立的拉格朗日方程為微分代數方程（DAE），求解時有積分誤差，在求解算法上可以采用鮑姆加特修正算法，但是對參數的確定沒有準確的選擇方法。也可以采用指數縮減（Index reduction）的方法，將微分代數方程化簡為常微分方程，并且在求解上多采用隱式算法，例如隱式龍格-庫塔算法。在拉格朗日動力學中利用廣義位移和廣義速度描述系統的行為。