方程的案例
偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
偏微分方程的起源
如果一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。
在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐標也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。
應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，只能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的，介質的溫度也是這樣。這樣就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。
微積分方程這門學科產生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨后不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。
展開 泊松方程和拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場滿足的方程為
式中為傳導電流密度第一式表明靜磁場可引入磁矢勢A描述：
在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度[134-1]0的區域里，磁矢勢滿足的方程為
選用庫侖規范，·A=0，則得磁矢勢A滿足泊松方程
式中純數 為媒質的相對磁導率， 真空磁導率 =1.257×10(亨／米。在傳導電流密度=0的區域里,上式簡化為拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。
展開 計算流體力學 | 控制方程
內容結構指引
計算流體力學概述 | 流體力學的一些基本概念 | 流體力學的控制方程
粘性流動的控制方程（納維-斯托克斯方程） | 無粘流的控制方程（歐拉方程）
適合CFD的控制方程 | NS方程的無量綱化 | 簡化NS方程
主要名詞檢索
計算流體力學（CFD） | 離散化 | 連續介質假設 | 流動微團 | 控制體 | 流動模型 | 物質導數
當地導數 | 遷移導數 | 速度散度 | 拉格朗日描述 | 歐拉描述 | 控制方程 | 連續性方程 | 動量方程
能量方程 | 守恒型 | 非守恒型 | 納維-斯托克斯方程 | 歐拉方程 | 守恒型方程的向量形式
通向量 | 源項 | 解向量 | 無量綱量 | 特征量 | 無量綱化 | 定常流方程 | 不可壓流方程
邊界層方程 | 小擾動方程
計算流體力學概述
a. 定義
計算流體力學（CFD）是 通過數值方法求解流體力學控制方程，得到流場的離散定量描述，并以此預測流體運動規律的學科。
實際問題的流動控制方程復雜，解析解難以獲得，我們通常采用數值方法求解，值得一提的是，在計算機產生之前，數值方法已然產生。
離散化分為流場的離散化（網格生成）與方程的離散化（計算格式）
流體力學研究的三種方法
CFD與試驗相比各有千秋，CFD不能完全替代真實試驗
b. CFD常用方法
CFD常用方法
c.
展開 固體波動方程和流體波動方程推導的區別，聲速和體積模量的關系。
其實沒法定義到底是哪一類量會按照聲速傳播，比如說按照熱力學中的廣延量和強度量來劃分吧，那強度量中壓強擾動會按聲速傳播，溫度這種強度量發生擾動就不會按照聲速傳播，它有自己的熱傳導方程；按照力學參量/幾何參量等來劃分吧，那力學參量中的部分量也不會這樣。當然這是題外話了，也可能我還沒學到。
關于絕熱等熵，就是說擾動前后熵不變，比如聲音傳播經過空中某個點前后，該點的熵不變。激波的傳播就會造成壓強、速度等間斷面，也不會是等熵的了。固體中絕熱等熵過程典型的就是彈性小變形，彈性動力學就是研究聲波在固體中的傳播；聲波在流體中的傳播的研究是建立在無黏可壓流模型基礎上的，必須要考慮流體的可壓縮性，因為如果將流體當成不可壓縮物質，波速將無限大。另外，吳望一P527也說明了高速空氣邊界層外中的小擾動仍然可以采用無黏等熵假設。
聲音的傳播遵循波動方程，但是固體力學的波動方程和流體力學的波動方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當然這也分別是固體力學和流體力學慣用的描述方式。
二、 固體波動方程
固體波動方程的推導可以見吳家龍P233，我們在這里對關鍵推導 如果彈性介質的位移場是無旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個拉梅常數都有關，而畸變波的波速只和拉梅常數中的剪切模量G有關。
三、流體的波動方程
流體的波動方程在好幾個著作中都有提到。比如汪志誠的《熱力學與統計物理》（高教社第五版）P26，但只是推導了牛頓聲速公式，并未將擾動過程看成等熵的。關于牛頓對聲速的測量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
展開 
CFD理論|湍流運動方程
導讀：本文討論用以解決湍流問題的基本方程。首先應用時均法建立湍流的時均的和脈動的連續方程及運動方程；隨后討論湍流的能量方程與渦量方程
連續方程
粘性流體的運動方程（N-S）方程及連續方程同樣也適用于湍流運動。湍動運動中，物理量可以分為兩部分：時均物理量和脈動物理量。時均流動的連續方程為：
應用平均運算法則：
由此可見，連續方程中多了一項 : 這是湍流運動的附加項。當流體不可壓時，平均速度及脈動速度的散度為0：
動量方程
N-S方程可以表示為：
將瞬時值帶入，并對其做時間平均后，可以得到：
簡化后，該方程可以寫為：
方程的封閉性
從前面推導的連續性方程（一個標量方程）和動量方程（三個標量方程）所構成的方程組中，共有4個偏微分方程10個自變量，包括4個平均量 ,6個湍流應力，因此無法直接從中得到確定解，因此需要找到足夠的方程，使方程組封閉，這部分內容，我們下一次討論。
能量方程
（1）時均能量方程
采用質量加權平均：
但密度和壓力不能采用質量平均：
根據組分輸運方程可以導出：
其中 ，對于溫度、總焓推導類似。
（2）平均動能方程
動量方程兩側同乘速度，并利用連續方程可得：
方程右側第二項表示控制體內平均動能的變化率；第三項表示控制面上平均壓力所做流動功(含勢能變化)。
對于不可壓流動，方程可以改寫為：
方程右邊第一項為平均動能局部變化率，第二項為對流輸運項，第三項為湍流應力功，第四項為變形功耗散項，第五項為粘性應功，第六項為粘性耗散項。
展開 CFD學習：使用有限差分法求解泊松方程
要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續場問題替換為有限正則模態的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領域，工程師必須應對各種物理情況。大多數情況都可以使用數學方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現象的數學建模很常見。大多數物理現象（當進行數學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關的、與時間相關的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數學模型導出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學溶質的量和擴散率 (k) 表示。穩態擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數來表示。
展開 LS-DYNA的狀態方程模型
狀態方程模型
17.1 狀態方程形式1：Linear Polynomial
這個多項式狀態方程，單位初始體積的內能呈線性，E由
（17.1.1）
其中C0，C1，C2，C3，C4，C5和C6是用戶定義常數。
（17.1.2）
V是相對體積，在膨脹單元中，的系數設為零，即：
線性多項式狀態方程可用伽馬定律狀態方程來模擬氣體。這可以通過設置來實現：
和
其中是比熱的比率。壓力則由下式給出：
請注意，E的單位是壓力的單位
17.2 狀態方程形式2：JWL High Explosive
JWL狀態方程將壓力定義為相對體積，V，以及單位初始體積的內能，E，的函數：
（17.2.1）
其中，ω、A、B、R1和R2為用戶定義的輸入參數。這個狀態方程通常用于在涉及金屬加速度的應用中確定烈性炸藥的爆轟產物的壓力。該方程的輸入參數由Dobratz [1981]給出了各種高爆炸材料的輸入參數，該狀態方程與爆炸燃燒（材料模型8）材料模型一起使用，該模型決定了爆炸單元的點火時間。
17.3 狀態公式形式3：Sack “Tuesday” High Explosives
爆轟產物的壓力根據相對體積V和單位初始體積的內能E給出，如[Woodruff 1973]：
（17.3.1）
其中A1、A2、A3、B1、B2為用戶定義的輸入參數
該狀態方程與爆炸燃燒（材料模型8）材料模型一起使用，該模型決定了爆炸單元的點火時間。
展開 OpenFOAM中的能量方程
在材料點趨于無限小時有
（7）
2 內能
內部能量的方程是通過簡化機械功得到的，表示為
（8）
結合動量方程
（9）
以減少對的機械貢獻。這樣方程7可以表示為
（10）
項表示機械功率對內能的貢獻，因此，顆粒的隨機運動。因此，表達式（??σ）?U必須表示由于顆粒的整體運動引起的功率。
3 總能量/焓，局部導數
我們可以用局部導數（或偏導數，空間導數，...）表示我們的方程，其中
。應用質量守恒，以下關系適用于任何張量Q：
（11）
結合方程7和11，以及分解應力張量，給出：
(12)
焓是內能和運動壓力的總和，即 。將其與等式12結合，給出：
(13)
總能量可以定義為。將其與等式12相組合給出：
(14)
4 OpenFOAM求解器中的能量方程
能量方程的求解在OpenFOAM中被包括在多個求解器中，用于可壓縮流動，燃燒，熱傳遞，多相流和粒子跟蹤。可以在OpenFOAM的$FOAM_SOLVERS目錄（包括可壓縮，熱傳導，燃燒，多相和拉格朗日子目錄）的子目錄中的文件中找到這些解算器的源代碼。
能量方程通常以在方程12和13中表示的總能量的形式實現，而沒有機械源項和。假設熱通量
，其中有效熱擴散率
是層流和湍流熱擴散率的總和。每個能量方程的實現包含關于特定求解器的熱源項ρr。
例如，sonicFoam求解器包含等式12的能量方程通過以下方式實現。
sonicFoam按順序求解方程，因此在更新上述能量方程的比動能場K = | U | 2/2之前解出U的動量方程。更常見的是，能量方程是根據內部能量e和焓h來實現的，如等式12和13，允許用戶在運行時選擇解變量e或h。
展開 CFD理論|基本方程（2）
可以構成一個二階對稱張量:
動量方程
（1）微元體受力
動量方程是動量守恒原理在流體運動中的表達方式，其中運動的流體微團的動量表達式為：
動量守恒的原理是要求流體系統的動量變化率等于該系統上的全部作用力之和，也就是牛頓第二定律,，即：
（2）動量方程
動量方程方程的表達式為：
此為拉格朗日積分形式的動量方程，右側第一項為體積力，第二項為表面力。可以進一步改寫為歐拉形式的動量方程：
同樣根據高斯公式將面積分改為體積分，并且在歐拉方法中V是任取的控制體體積，因此可以得到微分形式的歐拉型動量方程：
將方程左側的隨體導數展開：
結合連續方程整理可以得到：
其中 稱為動量通量的張量，為對稱張量，所以方程又可以寫為：
由于技術鄰對公式的排版比較有難度，想看比較友好的排版，文末有排版較好的文章截圖，并且文章同時也同步更新在微信公眾號及知乎號上。
微信公眾號：CFD控
知乎號：CFD控制
文章截圖：
展開 對NS方程的重新思考
數學家和物理學家相信，對納維葉-斯托克斯方程的理解，可以找到對風和湍流的解釋和預測。雖然這些方程在19世紀就被提出，但我們對它們仍知之甚少。我們面臨的挑戰是在數學理論做出實質性的進步，從而揭開隱藏在納維葉-斯托克斯方程背后中的秘密。
——克雷數學研究所
○ 當兩種流體以不同的速度越過彼此時，會出現復雜的不穩定性。數學家想要證明Navier-Stokes方程可以預測在每種情況下會發生什么。 | 圖片來源：Quanta Magazine
納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（簡稱NS方程）在流體力學界就相當于經典力學中的牛頓三大運動定律，它們描述的是氣體和液體的運動在不同的環境里會如何演化。正如牛頓第二運動定理描述一個物體的速度在外力作用下會如何改變一樣，NS方程描述了流體的流動速度是如何受到壓力、黏度等內力以及重力一類的外力所影響的。這些方程的歷史可追溯到19世紀的20年代，現已被廣泛的用來模擬從海流、到飛機起飛后的湍流、再到流經心臟的血液流動等各個領域。
當物理學家認為這些方程的可靠性就如實錘一樣實時，數學家卻對它們投以十分謹慎的目光。在數學家眼中，這些方程的運作似乎并不對。他們想要證明的是這些方程是真的可靠的：無論是什么流體，也無論對其流動的預測發生在多遠的未來，這些方程的數學仍保持正確。而這種愿望已被證明是非常難以達到的。因此，NS問題被列為七個千禧年大獎數學難題之一。
為了解決這個問題，數學家嘗試發展了許多方法。 在去年9月，普林斯頓大學的數學家 Tristan Buckmaster 和 Vlad Vicol 在網上提交了一篇論文，引發了大家對一個問題的思考，即多年來數學家用來探尋NS方程問題的一種主要方法，是否有成功的可能性。
展開 基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程的起源
如果一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。
在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐標也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。
應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，只能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的，介質的溫度也是這樣。這樣就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。
微積分方程這門學科產生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨后不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
展開 
伯努利方程的來龍去脈
一、伯努利方程的歷史
伯努利方程是流體力學最著名的方程之一。這個方程將流場中的壓強變化與速度變化聯系在一起，因此在流場分析中成為不可或缺的分析工具。丹尼爾●伯努利在1738年發表的Hydrodynamica一書中最早關注到速度與壓強之間的相關關系。在圖1所示的管道實驗中，丹尼爾發現流速高的地方液柱下降，流速低的地方液柱上升。丹尼爾的父親約翰●伯努利在1743年發表的Hydraulica一書中對壓強概念做了更深入的闡釋。丹尼爾認為壓強僅是與液柱高度有關的一個量，約翰則認為壓強是作用在流體上的力，并且是一個與流場中的點相關的變量。
圖1 丹尼爾●伯努利所做的管道實驗
這里有一個有趣的插曲，父親約翰●伯努利是個性格古怪、同時對名譽看得很重的人，為了抵消兒子丹尼爾的影響力，他把自己書的出版日期從1743年改為1728年，以顯示這個壓強-速度關系是他先提出的。
圖2 丹尼爾●伯努利、達朗貝爾和歐拉
丹尼爾●伯努利發現壓強與速度之間的關系后，并沒有將這個關系表述為我們熟悉的伯努利方程，因為在他發現這個關系的時候，偏微分方程還沒有作為數學工具引入流體力學的研究。將偏微分方程引入物理學研究的是達朗貝爾，達朗貝爾在1747年將偏微分方程引入物理學并建立了數學物理，并且在1749年寫出微分形式的流體力學連續方程。連續方程是質量守恒定律在流體運動中的數學表達。作為達朗貝爾的有力競爭者，歐拉在1757年利用偏微分方程描述理想流體流動，并寫出理想流體的動量方程。由此，丹尼爾●伯努利、達朗貝爾和歐拉成為理論流體力學的奠基人。歐拉將理想流體的動量方程積分后得到我們熟知的伯努利方程，因此，嚴格地說，伯努利方程也可以用歐拉的名字命名。
展開 CFD理論|能量方程形式（1）
能量方程形式1
首先給出熱力學能方程：
這個一個標量輸運方程的標準形式，方程左側第一項為非穩態項,通過速度場確定了
的對流項（左側第二項），右側第一項為
的擴散項，最后一項為源項。
《數學物理方程的MATLAB解法與可視化》
圖書簡介
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程并將結果可社內線。書中展示了在教材中難得一見的復變函數圖形、特殊函數圖形和各類本征函數圖形，還有拉普拉斯方程、熱傳導方程、熱傳導方程和波動方程的各種題型的數值求解與可視化的結果，內容新穎，方法獨特，讓枯燥的公式伴之以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像，是學習數學物理方法極有價值的參考書。本書也詳細地介紹了MATLAB的偏微分方程工具箱與解偏微分方程和本征值方程的其他指令，還介紹了差分方法和有限元方法。對學習數值計算或計算物理課程而言，這也是很實用的參考教材。本書的程序來之于教學實踐，有許多經驗心得體現在編程的技巧中，例如特殊函數的計算、矢量場線的畫法，這些技巧不僅實用，也很有特色。書中提供了全部例題的程序，可以將這些程序直接當作多媒體課件來使用。本書可供大學生、研究生和科技工作者使用。
展開 彈性力學基本方程及其張量表達（一）
一：平面問題
01 設應力為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
02 平衡方程（平衡微分方程）
應力與體力的關系：
03 設位移為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
04 幾何方程（幾何微分方程）
應變與位移的關系：
05 物理方程（非微分方程）
應力與應變的關系：
06 邊界條件
位移邊界條件：
應力邊界條件：
07 用位移表示的平衡微分方程
由物理方程
可得，
將幾何方程代入，可得，
代入到平衡方程，可得用位移表示的平衡微分方程：
08 用位移表示的應力邊界條件
09 用應變表示的相容方程
由幾何方程
可得，
10 用應力表示的相容方程
將物理方程代入到用應變表示的相容方程，可得
將平衡方程代入，可得，
11 位移邊界條件一般無法轉為應力邊界條件
12 艾里應力函數（平面問題的應力函數）
假設體力為常量，
平衡方程：
相容方程：
求解平衡方程的通解（特解+齊次方程的通解）：
無論艾里應力函數是什么樣的，應力分量總能滿足平衡方程。
13 用應力函數表示的相容方程
14 逆解法
首先假設滿足相容方程的應力函數；然后求出應力分量；最后校核應力分量滿足應力邊界條件。
15 半逆解法
首先假設滿足應力邊界條件的部分或全部應力分量；然后推出應力函數；最后校核應力函數滿足相容方程，以及其它應力分量滿足應力邊界條件。
展開 