NS方程
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NS方程的視頻教程
深度學習與流體力學結合
目錄 主要內容 經典流體力學與OPENFOAM入門 一、經典流體力學 核心要點： 1、回顧經典流體力學理論，掌握NS方程的基本求解方法和模型 2、探索流體力學在工業領域的多元應用 3、運用開源軟件OpenFOAM進行流體計算模擬的基本操作 4、流體力學求解模型認知(RNAS, LES) 實操環節： 1、OpenFOAM學習： 2、掌握OpenFOAM后處理操作 3、通過OpenFOAM
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NS方程的實例教程
研究NS方程的數學家們擔心這種情況出現：假如我們正在運行NS方程，并觀察向量場會如何變化。過了一段時間后，方程顯示流體中的某個粒子正以無限快的速度移動——問題便來了。NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度等性質的變化進行測量，它們取這些量的導數。我們無法對無窮大的值進行求導，所以說如果這些方程里出現了一個無窮大的值，那么方程就可被認作為失效了。它們不再具有描述流體的后續狀態的能力。
同時，失效也是一個預示著方程中失去了某些應該描述卻沒能描述的物理世界。Buckmaster 說：“這也許意味著方程沒能捕獲到真實流體的所有效應，因為在真實流體中，我們不會看到粒子以無限快的速度運動。”
如果誰能找到NS方程絕不發生失效、或能確定讓其失效的條件，誰就解決了NS方程難題。數學家對著一問題的其中一個研究策略，就是首先放寬它們的解的一些要求。
從弱到光滑
當數學家研究像NS這樣的方程時，他們有時會從擴大對于解的定義開始。以NS方程為例來說，光滑解要求的是最大化信息量，它們要求在與流體相關的向量場內，每個點都存在一個向量。但如果我們放松這一要求，比如只需要能夠計算某些點上的向量，或者只需對向量的計算進行估算呢？這樣的解稱為“弱”解。它們讓數學家對一個方程的行為有個大致個把握，而不需要做找光滑解的所有工作。從某些角度來看，弱解比實際的解更容易描述，因為需要知道的信息更少。
弱解是以漸弱的狀態出現的。如果將光滑解看作是一張有著無限精細的分辨率的流體數學圖像，那么弱解就像是這張圖片的32位、16位或8位版本，取決于你想要的微弱程度。
1934年，法國數學家 Jean Leray 定義了一類重要的弱解。在Leray的解決方案中，與其使用精確的向量，他用的是向量場的小鄰域中的向量平均值。
展開 NS方程歷史的重要文章
NS方程歷史的重要文章1.pdf
NS方程歷史的重要文章2.pdf
我們可以把守恒形式的三個控制方程寫成向量形式，即尋求簡潔的表達形式：
如果將每一個參量看作列向量，我們可以得到
其中列向量 , , 稱為通向量（通量向量）；
列向量 代表源項（即當體積力和體積熱流可忽略是為零）；
列項量 代表解向量
N-S方程的無量綱化
無量綱量：物理量與特征量之比
特征量：對于某物理量，人為設定的值（可任意），可如下引入特征量
將NS方程相關參數用無量綱量替換即可得到無量綱化的NS方程
其中出現的無量綱參數有
簡化NS方程
a）空間上的簡化
一維無粘流動（非守恒形式）
一維無粘流動（守恒形式）
二維流動（ ）
b）時間上的簡化（定常流）
c）忽略粘性（歐拉方程）
忽略NS方程右端項即可
d）忽略壓縮性（不可壓流）
, , 為常數，能量方程單獨考慮
二維不可壓流（守恒形式）
二維不可壓流（非守恒形式）
e）邊界層方程
f）小擾動方程
文章來自：闌珊離索
展開 但千禧年大獎要求數學家解決的是更為謹慎且基礎的問題：證明方程的解永遠存在。換句話說，就是要探尋方程是否能從任何起始條件開始，對任意流體進行無限的描述。
普林斯頓大學的數學家 Charlie Fefferman 說：“第一步就是要試圖證明這些方程可以產生一些解。 雖然這并不能讓我們真正理解流體的行為，但如果沒有這一步，我們就什么都不知道。”
那么你如何證明解的存在？我們可以反過來，從思考什么能使方程解不存在開始。 正如在上文中所說，NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度這些量的變化。數學家擔心這種情況的出現：我們正在運行這些方程，在一段時間過后，方程出現一個正以無限快的速度移動的粒子。這就導致問題來了，因為我們無法計算出一個無限值的變化（換言之，我們無法對無窮大的值進行求導）。數學家把這種情況稱為“爆炸”（blowup），在爆炸的情況下，方程失效，解也不復存在。
證明爆炸沒有發生（且解決方案總是存在）等同于證明流體內的任意粒子的最大速度，需維持在有限的數量以下。其中在流體中最重要的量是動能。
當我們使用NS方程對流體進行建模時，流體會具有一定的初始能量。但是在一個湍流的流動中，這些能量可以發生集中——即動能不是均勻分布在河流上，而是可以在任意小的渦流中聚集，而理論上，那些在渦流中的粒子可以加速到無限快的速度。
上篇文章中提到的數學家 Vlad Vicol 表示：“隨著我們的研究進入越來越小的尺度時，動能對解的控制作用會越來越小。我的解可以做任何想做的事情，但我也不知該如何去控制它。”
數學家們根據能在無限小的尺度上失效的程度來對像NS這樣的偏微分方程進行分類，NS方程就處于所有類型的極端。這個方程的數學難度在某種意義上是它們應該描述的湍流復雜性的一個精確反映。
展開 其實他更廣為人知的名字，就是玻爾茲曼方程。
是的，玻爾茲曼方程是比NS方程更底層的模型。NS方程以及拉格朗日方程都可以從GPBE方程推導出來。但是為什么工程上玻爾茲曼方程用得少？因為太底層，難以求解。同時，如果采用矩方法求解GPBE，我們大名鼎鼎的雙歐拉模型即對應的雙矩GPBE模型。總之，
GPBE這個可以在歐拉下求解，最簡單的就是雙歐拉模型，
也可以在拉格朗日下求解，演變成為MPPIC。
也可以在歐拉拉格朗日下混合求解，目前用的比較少。
還有更神的，對GPBE的分布函數采用特征線方程求解出來，并求矩來獲得宏觀方程，就是GKS類方法。
另外一個求解GPBE的方法就是矩方法，矩用的越多，越精確。雙歐拉模型就是最簡單的二階矩模型。矩方法這面相當復雜。沒準可以奮斗終身...
下面我們根據這三種不同的離散相模型，和連續相模型耦合。討論不同的結合情況。
歐拉歐拉模型
歐拉歐拉模型是最為人知的多相流模型，也就是雙歐拉模型。其中連續相使用NS方程，離散相還是使用NS方程。歐拉歐拉模型在目前的CFD代碼中已經被大量的植入了。在此我們不討論這個模型的方程，我個人對這個模型有一點評論：
歐拉歐拉模型相對于VOF模型非常便宜，在文獻中我見過模擬氣泡的如果采用VOF需要上千萬的網格，歐拉歐拉模型幾十萬網格就搞定；
歐拉歐拉模型界面力模型非常不完善，也就是方程中的。
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NS方程的最新內容
控制方程
二維斯托克斯方程的控制方程裝X寫法如下：
樸實點的寫法是這樣：
和NS方程比，它沒有對流項，適用于高粘度流體、低速流動等場景。
有限元思路
搞結構力學有限元和其他方向有限元最大的區別是：結構力學有限元發展的太成熟了，桿梁板殼，各種模型的剛度矩陣前輩都給你推導好了。
1.流體仿真求解器
HyperWorks 產品包里面包含了通用的 CFD 工具，也就是解 NS 方程的工具，用于解決常見的管路問題、外流問題。同時也有無網格 CFD 算法，適用于特殊的應用場景，比如空氣動力學、氣動噪聲，以及水管理。
聲音的傳播遵循波動方程，但是固體力學的波動方程和流體力學的波動方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當然這也分別是固體力學和流體力學慣用的描述方式。
1、采用NS方程的分析，可以獲得穩態下的最優流動路徑。但在瞬態分析中出現路徑不穩定、計算耗時的問題。
2、采用物質擴散，追蹤物理在空間的通量分布，不論穩態或者瞬態都可以做到快速收斂最優路徑。
這類方法在生物群落的宏觀行為上應用較多，如螞蟻、黏菌等。
</li></ul><p><br></p><p><strong>國產自主流體仿真軟件CFDPro</strong></p><p>CFDPro為基于有限體積法求解單相流/多相流NS方程的計算流體動力學仿真軟件，采用Level Set界面追蹤方法、具備領先的湍流模型、豐富的相變模型，配置燃燒模型和反應機理接口，更加適用于工程計算模擬，滿足航空、航天、船舶、兵器、能源等領域的流體仿真分析。
國產自主流體仿真軟件CFDPro
CFDPro為基于有限體積法求解單相流/多相流NS方程的計算流體動力學仿真軟件，采用Level Set界面追蹤方法、具備領先的湍流模型、豐富的相變模型，配置燃燒模型和反應機理接口，更加適用于工程計算模擬，滿足航空航天、船舶、兵器、能源、電子等領域的流體仿真分析。
利用WAVE霧化模型進行橫風霧化的仿真效果
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重力塔中的液滴過程
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【f'luet深度學習驅動流體力學專題】
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方腔流、圓柱繞流、小球入水的Fluent求解流程
梯度下降算法的Python實現
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方程的基本求解方法和模型
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探索流體力學在工業領域的多元應用
3、
運用開源軟件OpenFOAM進行流體計算模擬的基本操作
4、
流體力學求解模型認知(RNAS, LES)
實操環節：
基于OpenFOAM的矩形柱體
