1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運動時指出：在引力體系中，每一質點的質量 除以它們到任意觀察點P的距離 ,并且把這些商加在一起，其總和 即P點的勢函數，勢函數對空間坐標的偏導數正比于在 P點的質點所受總引力的相應分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函數滿足偏微分方程： ,叫做勢方程，后來通稱拉普拉斯方程 1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質的區域內部,則拉普拉斯方程應修改為 ，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質的密度。文中要求重視勢函數 V在電學理論中的應用,并指出導體表面為等熱面。
　靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程　若空間分區充滿各向同性、線性、均勻的媒質，則從靜電場強與電勢梯度的關系E=- 和高斯定理微分式[ ，即可導出靜電場的泊松方程：
，式中 為自由電荷密度，純數 為各分區媒質的相對介電常數，真空介電常數 =8.854×10(法／米。在沒有自由電荷的區域里， ＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程
。在各分區的公共界面上， 滿足邊值關系

式中 ， 指分界面兩邊的不同分區， 為界面上的自由電荷密度， 表示邊界面上的內法線方向。
　邊界條件和解的唯一性　為了在給定區域內確定滿足泊松方程以及邊值關系的解，還需給定求解區域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷[835-04] ,叫做諾埃曼邊界條件。
　邊界幾何形狀較簡單區域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數，稍復雜的須用計算機求數值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
　除了靜電場之外，在電學、磁學、力學、熱學等領域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。各類物理本質完全不同的勢場如果具有相似的邊界條件，則因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一個勢場的解，或該勢場模型中實驗測繪的等熱面或流線圖，經過對應物理量的換算之后，可以通用于其他的勢場。
　靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程　在SI制中，靜磁場滿足的方程為
式中 為傳導電流密度 第一式表明靜磁場可引入磁矢勢A描述：

　在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度 [134-1] 0的區域里，磁矢勢滿足的方程為
選用庫侖規范， ·A=0，則得磁矢勢A滿足泊松方程
式中純數 為媒質的相對磁導率， 真空磁導率 =1.257×10(亨／米。在傳導電流密度 =0的區域里,上式簡化為拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。