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溫度場通過初始溫度以及塑性產(chǎn)熱計算，同時忽視局部的熱傳導(dǎo)，準(zhǔn)靜態(tài)加載速率下的泰勒-昆尼系數(shù)η為0.0，1000 s加載速率下為0.95?1及以上(塑性功轉(zhuǎn)化為熱的比例)通過經(jīng)典的熱激活模型，將溫度效應(yīng)引入流動方程，并考慮溫度對剛度的退化位錯密度模型演化遵循經(jīng)典的KM模型，同時考慮位錯之間的相互作用，即考慮了位錯的產(chǎn)生和湮滅，以及湮滅半徑與溫度的關(guān)系。

，統(tǒng)計位錯密度演化表示為其中dαβ是位錯增殖相互作用張量，kc和knc分別作為控制共面和非共面滑移系統(tǒng)相互作用系數(shù)大小的常數(shù)。

作者的理論框架：基于亞彈性的運動學(xué)框架其中流動模型為經(jīng)典的冪律流動模型硬化模型基于taylor位錯理論模型與傳統(tǒng)Km位錯密度不同的是，為了更全面理解位錯產(chǎn)生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯模型概念，將總位錯密度進一步細(xì)分為固定位錯密度和可移動位錯密度，其演化遵循其中G_sour表示由于位錯導(dǎo)致的移動位錯密度增加的系數(shù)，g_minter

，法向唯象的模型預(yù)測結(jié)果顯著高于位錯密度的模型，說明宏觀變形預(yù)測對硬化模型十分敏感，并進一步比較兩種方法在織構(gòu)演化預(yù)測方面的差異，發(fā)現(xiàn)結(jié)果無明顯差異，因此可以認(rèn)為織構(gòu)演化對硬化模型不敏感對作者分析感興趣的可對huang程序進行簡單修改，并根據(jù)對應(yīng)參數(shù)復(fù)現(xiàn)作者的研究結(jié)果

作者的本構(gòu)框架使用超彈性框架，流動方程使用busso等人提出的熱激活模型：模型中各個參數(shù)含義可以參考原始文獻，作者對各個參數(shù)范圍以及影響進行了詳細(xì)說明?；谱枇Φ?em>演化基于經(jīng)典的位錯理論，并由Ke-Shen Cheong等人進行了擴展，即將位錯密度細(xì)化為刃位錯和螺位錯。

本構(gòu)理論分成晶體塑性和再結(jié)晶兩部分，其中晶體塑性部分公式如下：流動方程（經(jīng)典的唯象流動）：硬化方程使用的taylor位錯模型位錯密度的演化使用經(jīng)典的KM方程：再結(jié)晶部分公式包含形核和晶界遷移兩部分，其中形核的理論公式是晶界遷移速度為：整體數(shù)值實現(xiàn)框架示意圖如下：作者以O(shè)FHC銅為研究對象，對775K和875K的熱壓縮進行了研究

，統(tǒng)計位錯密度演化表示為其中dαβ是位錯增殖相互作用張量，kc和knc分別作為控制共面和非共面滑移系統(tǒng)相互作用系數(shù)大小的常數(shù)。

類型二：應(yīng)變率修正的單晶唯象本構(gòu)方程（類似于JC的修改形式，考慮溫度和應(yīng)變率）類型三：考慮熱激活和位錯密度的物理本構(gòu)模型作者詳細(xì)探討了三種模型的差異性和預(yù)測能力，并對物理模型的參數(shù)給出了大概的區(qū)間以及參數(shù)的影響，對于使用位錯密度模型提供了很好的范例三類模型的預(yù)測結(jié)果如下所示：模型一的預(yù)測結(jié)果模型二的預(yù)測結(jié)果

通過位錯密度的演化來表現(xiàn)材料的硬化，即：對于大多數(shù)（FCC）金屬，材料的剪切流動應(yīng)力與拉伸流動應(yīng)力比值為1：3.06?？?em>位錯密度分為兩類（幾何必須位錯密度和統(tǒng)計位錯密度）：應(yīng)變梯度與幾何必須位錯密度之間存在線性關(guān)系，其斜率為burger矢量的大小。

同時新版本引入了重結(jié)晶和更通用的位錯密度的本構(gòu)框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯密度變化的本構(gòu)模型，通過計算位錯密度的變化和流動，來預(yù)測材料的宏觀塑性變形行為。Dynamic recovery model：這是一種描述動態(tài)回復(fù)過程的本構(gòu)模型，通過考慮位錯密度、晶粒尺寸和應(yīng)變速率等因素，來預(yù)測材料的塑性變形行為。

圖5 Cu多晶拉伸變形過程中真應(yīng)力、位錯密度和孿晶體積分?jǐn)?shù)隨應(yīng)變的演化曲線圖6 不同取向Cu單晶和多晶變形過程中的應(yīng)變硬化演化曲線 為了直觀反映位錯滑移和孿生機制對Cu多晶變形過程中宏觀塑性行為影響，圖7給出了Cu多晶加載結(jié)束時對應(yīng)的位錯密度和孿晶體分布結(jié)果。，圖8給出了Cu多晶塑性變形過程中不同應(yīng)變時對應(yīng)的孿晶體積分布結(jié)果。

它負(fù)責(zé)求解每個晶粒、每個單元中的應(yīng)力、應(yīng)變、滑移量和位錯密度演化。第二層是介觀尺度模擬，用來處理普通 CP-FEM 很難直接描述的部分：位錯在晶粒內(nèi)部的重新分布、由位錯堆積產(chǎn)生的背應(yīng)力，以及位錯穿過晶界時受到的阻礙。這篇文章里，最值得關(guān)注的是它對晶界的處理。作者使用滑移傳遞準(zhǔn)則來判斷一個滑移系上的位錯是否容易穿過晶界進入相鄰晶粒。

作者的理論框架：基于超彈性的本構(gòu)框架建立的KM位錯密度模型流動模型為：其中硬化模型偽為：位錯密度的演化遵循經(jīng)典的KM模型：L表示位錯的平均自由程：為了考慮晶界效應(yīng)，作者為位錯的平均自由程進行修改Ks表示晶界處存儲系數(shù)。

其中流動方程使用經(jīng)典的唯象流動方程：硬化模型則使用了同時考慮SSD和GND的位錯密度硬化模型：作者構(gòu)建了包含 520 個晶粒的三維 RVE（NiTi 基體晶粒 442 個、β-Nb 晶粒 78 個），并在 ABAQUS 中進行單道次軋制變形20%的模擬。

拉伸變形結(jié)束后的累計剪切滑移結(jié)果：拉伸變形結(jié)束后的統(tǒng)計儲存位錯密度分布結(jié)果：拉伸變形結(jié)束后的幾何必須位錯密度分布結(jié)果：

文章doi：10.1016/j.mechmat.2021.103830推薦理由：文章采用晶體塑性有限元模擬，揭示了NiTi形狀記憶合金（SMA）在400℃罐裝壓縮下的塑性變形機制，將統(tǒng)計存儲位錯（SSD）和幾何必要位錯（GND）密度納入應(yīng)變梯度的晶體塑性本構(gòu)模型。在CPFE模擬的基礎(chǔ)上，獲得了織構(gòu)演化、應(yīng)力應(yīng)變場、SSD和GND密度。

如下圖所示原位的EBSD拉伸實驗結(jié)果示意圖作者數(shù)值研究使用的本構(gòu)模型流動方程（熱激活）：硬化模型（位錯理論）：其中SSD的演化為：gnd的計算：基于L2范數(shù)最小化計算得到唯一解材料參數(shù)為：數(shù)值模型與實驗結(jié)果為：研究得到的結(jié)論為：（1）晶界遷移顯著緩解了孔隙周圍的應(yīng)力集中

基本框架如下：硬化模型（Taylor（1938）的位錯模型）：其中μ是剪切模量，b是burger矢量，α是唯象的擬合系數(shù)區(qū)間（0.3，0.5），位錯密度由兩部分組成，即統(tǒng)計儲存位錯密度SSD和幾何必須位錯密度GND:幾何必須位錯密度與有效應(yīng)變梯度直接相關(guān)聯(lián)：其中r是nye因子，對于FCC結(jié)構(gòu)通常為1.90統(tǒng)計儲存位錯密度計算方程為：其中σref

在每個代表性點下，對顆粒材料代表性體積元進行 確定性離散元分析 ，獲得其關(guān)鍵力學(xué)響應(yīng)隨應(yīng)變的演化曲線； 4. 將代表性點下的賦得概率和確定性響應(yīng)信息代入 Li-Chen 方程 ，采用概率密度演化方法數(shù)值求解獲得關(guān)鍵響應(yīng)量和隨機源變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，進而積分獲得關(guān)鍵響應(yīng)量的概率分布。

一種結(jié)合方式，是通過實驗獲取方程中的參數(shù)，并應(yīng)用于COMSOL Multiphysics模擬，例如：通過交流阻抗測試和恒電壓測試可以獲得電解質(zhì)中鋰離子和陰離子的電導(dǎo)率，為Nernst-Planck方程提供不同載流子的電導(dǎo)率參數(shù)；恒電流測試可以提供電化學(xué)反應(yīng)中的動力學(xué)參數(shù)(如過電勢和交換電流密度)；斷裂韌性測試可以測定材料的平面應(yīng)變斷裂韌度和裂紋擴展速率等力學(xué)參數(shù)；原子力顯微鏡(Atomic Force