文章名稱《Simulation of polycrystal deformation with grain and grain boundary effects》

DOI：10.1016/j.ijplas.2011.03.001

做多晶材料模擬時，我們經常會遇到一個很現實的問題：晶粒尺寸明明會顯著影響強度，但在普通晶體塑性有限元模型里，這個效應并不會自然出現。

傳統 CP-FEM 可以很好地描述晶粒取向、滑移系活動、應力應變不均勻性，但如果不額外加入某種長度尺度，它通常很難預測“晶粒越小、強度越高”的 Hall–Petch 效應。于是很多模型會選擇加入一個經驗項，比如 (K/sqrtplyasp9)，這樣當然有效，但物理圖像多少有些不夠清楚：晶界到底是怎么影響位錯運動的？不同晶界為什么會產生不同的阻礙作用？滑移能不能從一個晶粒傳到另一個晶粒？

Simulation of polycrystal deformation with grain and grain boundary effects這篇文章最有意思的地方在于：作者并不是簡單把晶界當作一層“硬殼”，而是嘗試從位錯運動、晶界阻礙和滑移傳遞的角度，重新建立晶界強化的物理圖像。

作者提出的是一個“兩尺度模型”。第一層是我們熟悉的晶粒尺度模擬，也就是基于有限元的晶體塑性計算。它負責求解每個晶粒、每個單元中的應力、應變、滑移量和位錯密度演化。第二層是介觀尺度模擬，用來處理普通 CP-FEM 很難直接描述的部分：位錯在晶粒內部的重新分布、由位錯堆積產生的背應力，以及位錯穿過晶界時受到的阻礙。

這篇文章里，最值得關注的是它對晶界的處理。作者使用滑移傳遞準則來判斷一個滑移系上的位錯是否容易穿過晶界進入相鄰晶粒。簡單來說，如果入射晶粒中的滑移方向和相鄰晶粒中的某個出射滑移方向比較匹配，同時兩側滑移面在晶界上的跡線也比較匹配，那么這個晶界對該滑移系就是“比較通透”的；反之，它就更像一個強障礙。

于是，晶界不再只是一個統一的強化層，而變成了一個和晶界取向、兩側晶粒取向、入射滑移系、出射滑移系都有關的局部障礙。這個思想非常適合和晶體塑性模型結合，因為晶體塑性本來就是逐滑移系計算的。

在作者的模型中，晶界通透性可以進一步轉化為晶界障礙應力。通透性越高，障礙應力越小；通透性越低，障礙應力越大。這樣一來，晶界對塑性滑移的影響就可以直接進入滑移率方程：只有當有效分切應力足夠克服晶界障礙時，晶界附近的滑移才能繼續發展。

這篇文章的另一個重要部分是位錯重分配。作者把有限元單元中的位錯內容等效成“超位錯”，再根據塑性滑移活動對可動位錯進行重新分布，并計算由這些位錯分布產生的背應力。這個處理很有啟發性：它不是直接追蹤每一根真實位錯，那樣計算量太大；但它也不是完全經驗化地加一個強化項，而是在連續體模擬和位錯物理之間做了一個折中。作者的模型概念圖：

積分流程圖：

從結果來看，作者的模型能夠再現單個位錯塞積問題中的位錯密度分布；在二維和三維規則晶粒陣列中，也能預測出與實驗同量級的 Hall–Petch 斜率。對于粗晶鐵多晶拉伸響應，這個兩尺度模型比傳統 CP-FEM 或 Taylor 類模型給出了更好的預測。此外，作者還比較了 Fe-3%Si 柱狀晶樣品中的晶格曲率，模型預測的晶界附近曲率峰值與實驗結果基本一致。

作者發現模型可以非常準確的預測晶粒尺寸效應：

我認為這篇文章的價值不只是“提出了一個更復雜的模型”，而是提供了一種很清楚的建模思路：晶界強化不一定只能通過經驗晶粒尺寸項來描述，也可以從滑移傳遞、位錯通量和局部障礙應力出發，逐步把晶界的物理作用放進晶體塑性框架中。

我們可以作者提出的模型完整的構建一個考慮晶界多尺度模型，演示如何計算每個滑移系對應的晶界通透系數，并將其轉化為晶界障礙應力引入晶體塑性本構中。通過對比是否考慮晶界障礙項，可以觀察晶界附近滑移活動、位錯密度分布以及應變局部化特征的變化。

初始RVE模型如下：

一段固定一段沿著X方向施加位移載荷

變形結束后的應力分布：

等效塑性應變分布：

晶界通透系數（滑移系1）

晶界障礙強度（滑移系1）

總的位錯密度分布：