常微分方程
關注創建者：SimPC 創建時間：2022-10-14
常微分方程的視頻教程
Matlab求解常微分方程/偏微分方程/復雜邊值問題
復雜邊界問題如何求解，邊界條件同時包含初始時刻和終止時刻; 4.常微分方程和偏微分方程的擬合問題等等。 但凡遇到比較特殊的，有意思的，值得分享的微分方程求解案例，我都會做成課程分享給大家。
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張量分析與連續介質力學
課程內容簡介: 張量部分: 基礎回顧:微積分，線性代數，矢量分析和常微分方程 掌握指標記法、不變性記法、張量定義、度量張量、置 換張量、連并和縮并、二階張量的特征值、不變量、張 量分量與物理分量、Christoffel符號、協變導數、 Hamilton算子、張量的梯度、散度、旋度, 連介部分: 掌握物質導數
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基于ANSYS的桿縱向振動分析
連續體的振動要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。在物理本質上，連續體系統和多自由度系統沒有什么差別，連續體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統是完全類似的。 2、?? 說明 (1)??? 本章討論的連續體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內服從虎克定律。 (2)??? 材料均勻連續；各向同性。
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常微分方程的實例教程
許多學科都在用數學方程表達其領域內部各個因素量之間的關系，這種關系最簡單的是代數方程。由于關系的復雜性，會存在由多個代數方程所組成的代數方程組。使用線性代數的方法，很容易求解代數方程組，從而得到我們所需要的量。
但是客觀世界的很多關系卻表現為微分方程。微分方程分為常微分方程和偏微分方程，本篇先說明常微分方程。
對于機械系的學生而言，材料力學中用積分法求解彎曲變形的整個過程非常具有啟發性，它對于理解CAE中的有限元法具有重要的意義，這里以它為例，讓我們一起來品味常微分方程的工程背景以及其解法。
如圖所示的懸臂梁，在自由端施加一個豎直向下的集中力，則梁會變彎曲，彎曲后的曲線在圖中用紅色曲線表示，該曲線稱為撓曲線。現在的問題是，如何根據受到的力來求出撓曲線的方程呢？
這樣的問題乍看上去無從下手。如果從整體上考慮問題，很難得到答案。我們知道，梁整體之所以發生彎曲，是因為受到了外力。每一微段之所以發生變形，也是因為該微段受到了力的作用。所以，我們可以從任一微段出發，得到該微段的受力與其變形的關系，然后看看是否可以通過積分得到整根梁的撓曲線方程。
任取一個dx程度的微段，在該段的左右兩邊施加彎矩而發生變形如下圖的右部
取ab這根短纖維，變形后為a’b’,對該纖維使用正應變的定義，有
根據胡克定律，應變與應力之間有關系。而應力與內力的關系也已經由彎曲應力的關系式給出，所以有
基于上述兩種應變的計算方法，消去應變，得到
這樣就知道了內力M與該微段的曲率半徑ρ的關系式。可見，彎矩的確決定了該微段的曲率。
而從高等數學知道曲率半徑與該點的撓度之間的關系
把該曲率代入前式，得到
此即梁的撓曲線微分方程。這是一個常微分方程。
展開 通常來說，求解一個系統的話采用常微分方程組去做。前面也有采用scipy進行了常微分方程組的求解簡單介紹，當然需要用到Python。其實完全可以不用任何代碼，只用一些simulink模塊以搭積木的形式完成這個過程，而且還會方便很多。下面就介紹一下相關的方法。
所用到的核心模塊其實就是integrate模塊，只需要啟動matlab打開simulink然后脫出一個該模塊就可以了。
首先以如下方程為例，假設初始值為0，求解區間為【0-10】
采用如下的方式搭建
simulink中的模塊求解的結果
當然這個有點簡單，來一個稍微復雜一點的
計算過程的模塊搭建如下
simulink中的模塊
計算結果如下
simulink中求解結果
當然完全完全可以求解更加復雜的問題，比如以下面的一個方程組為例
那么他的搭建模塊如下所示
方程組越大，則模塊會越復雜，一般可以把一部分單獨拿出來做一些封裝，然后把這個作為自己的模塊老使用，作為演示，我這里也有一個例子，就是pemfc燃料電池的例子，方程組的關系如下。
pemfc的系統所用到的方程
那么對應的模塊搭建如下，可見對于較大的模型搭建還是比較難得
展開 另一方面，在結構動力學中，單自由度系統的振動微分方程起著至關重要的作用，可以說是理解結構動力學的基石。在這門學科中，比較注重方程的解，相關理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。
-----LTI系統響應的分類-----
傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
鄭君里P62給出了一個一階微分方程的解按齊次/非齊次、零狀態/零輸入分類的例子，為理解方便起見，我在其中略有備注：
-----二階方程的解：杜哈梅積分（卷積）-----
對于結構動力學中經典的彈簧振子系統，其具有二階微分方程：
直接求解該方程的完全解是很難的，只能寫出其齊次通解（王新敏P46式3-10），該通解的系數由初始條件決定：
杜哈梅解決了這個問題（我猜他這么解決的），并發展出了結構動力學中的杜哈梅積分，其實就是卷積。我們不妨以觀棋者的視角來理解下這個思路：由前所知，LTI系統的零狀態解是可疊加的，那么不妨認為該方程的解可以由無數個特定的零狀態解疊加而成。如果將F(t)當成成無數個單位脈沖激勵的疊加，那么只要求出方程在單位脈沖激勵下的零狀態解，就可以按照一定方式將它們加起來（積分）即可。單位脈沖激勵下的零狀態方程為（王新敏P206）：
然而，要求出該方程的解仍然是困難的，其實難度沒變，只是現在激勵變成單位脈沖激勵了，性質上仍然是求二階非齊次常微分方程。好在現在有兩個有利條件：1）由前述可知，方程的零輸入解只需要將初始條件代入齊次通解即可得到；2）最為關鍵的是，單位脈沖的特性允許我們將該方程改造成零輸入（非零狀態）方程。
展開 常微分方程與振動基本理論
Scipy求解常微分方程組有scipy.integrate.solve_ivp和scipy.integrate.odeint，后者是較老的版本主要是采用 FORTRAN 的odepack庫里面的lsoda 方法，而前者是后面更新的函數，支持的方法也更多，按照官方的文檔介紹大致有如下的方法。
常微分方程的相關專題、標簽、搜索
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多體系統仿真
常微分方程組數值求解
順序性強、規模相對較小、對CPU頻率敏感
CPU多核為主，CPU單核為輔
對CPU主頻要求高，GPU加速應用較少。
軌道動力學
常微分方程組數值積分
單軌道計算順序性強；多軌道/蒙特卡洛可高度并行
CPU多核 ≈ GPU
單軌道看CPU單核；星座/大規模分析看CPU多核和GPU。
一期一會 | 什么是顯式動力學？6個月前
有限元法
FEM是一種用于求解常微分方程或偏微分方程（PDE）的數學方法。對物理系統進行仿真時，用戶會將整體區域劃分成離散的小單元（稱為有限元），然后仿真軟件對每個單元分別應用PDE進行求解。然后，軟件工具會組合這些單元方程，并使用數值求解器來求解未知量。這種使用FEM對物理系統進行建模的過程，被稱為有限元分析（FEA）。
</p><p><strong>（4）常微分方程：</strong>常微分方程是描述自變量、未知函數及其導數之間關系的方程。它在物理學、工程學、經濟學等領域有廣泛應用。</p><p><strong>（5）指標記法、不變性記法</strong></p><ul><li>指標記法：一種用數字表示矢量或張量的分量的方法；</li><li>不變性記法：一種強調物理量在不同坐標系下保持不變的表示方法。
而間接法依賴于 Pontryagin 極大值原理，將問題改寫成一組具有初始邊界條件和最終邊界條件的常微分方程,也稱兩點邊值問題(TPBVP)。
? 在最優控制問題中需要關注一些問題。首先隨著模型復雜程度如自由度、非線性程度的增加，最優控制問題變得愈加復雜。加之離散步長，控制量的變化以及控制量之間的耦合，收斂變得更為困難。
一、為什么要在復域對LTI系統進行分析：傳遞函數的定義
工程中遇到的大部分系統都是LTI系統，一個LTI系統對應著一個線性常系數微分方程。對于這樣一個系統，我們通常需要研究其在特定輸入作用下的輸出性質，其實就是研究常微分方程的解的特點。
本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。
-----LTI系統響應的分類-----
傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
例如，對于一個（單自由度單位質量）亞粘滯阻尼系統，其自由振動的方程是一個二階齊次線性常微分方程：
其通解可以用一個復指數諧波表示。將該復指數通解代入方程后，可以發現基于復指數的加減和微分運算會很方便，最終該問題變成一個特征值問題（本征值），求解會更方便，具體看曹樹謙P6。
3、FMI2.0和FMI3.0
FMI2.0包括：
帶有事件的常微分方程（ODEs），這些方程描述了系統的動態行為，需要通過數值求解器來進行求解；
連續和離散變量，即FMI的模型中，變量可能是隨時間變化，也可以是在特定時間點發生變化；
時間概念，或可以理解為更廣泛的獨立變量，或是自變量，比如可以是一個角度，從而表述系統的動態變化。
在數學上，這些方程可以是常微分方程或者偏微分方程，依賴于問題的性質。
3）施加外部荷載
在動態分析中，我們考慮結構受到的外部動態荷載，比如地震力、風力、機械沖擊等。這些荷載的特性通常由相關標準或者實測數據提供。在數學模型中，這些荷載將被建模為隨時間變化的函數。
4）時間積分
動態分析通常涉及到對時間的積分。這是因為我們關心的是結構在一段時間內的運動狀態。
