首先對上一篇CAE系列博文的基本觀點做個小結。

  許多學科都在用數學方程表達其領域內部各個因素量之間的關系，這種關系最簡單的是代數方程。由于關系的復雜性，會存在由多個代數方程所組成的代數方程組。使用線性代數的方法，很容易求解代數方程組，從而得到我們所需要的量。

  但是客觀世界的很多關系卻表現為微分方程。微分方程分為常微分方程和偏微分方程，本篇先說明常微分方程。

  對于機械系的學生而言，材料力學中用積分法求解彎曲變形的整個過程非常具有啟發性，它對于理解CAE中的有限元法具有重要的意義，這里以它為例，讓我們一起來品味常微分方程的工程背景以及其解法。

  如圖所示的懸臂梁，在自由端施加一個豎直向下的集中力，則梁會變彎曲，彎曲后的曲線在圖中用紅色曲線表示，該曲線稱為撓曲線。現在的問題是，如何根據受到的力來求出撓曲線的方程呢？

  這樣的問題乍看上去無從下手。如果從整體上考慮問題，很難得到答案。我們知道，梁整體之所以發生彎曲，是因為受到了外力。每一微段之所以發生變形，也是因為該微段受到了力的作用。所以，我們可以從任一微段出發，得到該微段的受力與其變形的關系，然后看看是否可以通過積分得到整根梁的撓曲線方程。

  任取一個dx程度的微段，在該段的左右兩邊施加彎矩而發生變形如下圖的右部

  取ab這根短纖維，變形后為a’b’,對該纖維使用正應變的定義，有

  根據胡克定律，應變與應力之間有關系。而應力與內力的關系也已經由彎曲應力的關系式給出，所以有

  基于上述兩種應變的計算方法，消去應變，得到

  這樣就知道了內力M與該微段的曲率半徑ρ的關系式。可見，彎矩的確決定了該微段的曲率。

  而從高等數學知道曲率半徑與該點的撓度之間的關系

  把該曲率代入前式，得到

  此即梁的撓曲線微分方程。這是一個常微分方程。要得到撓曲線方程，需要對該方程進行積分。積分一次得到曲線上任意一點的轉角方程

  再積分一次得到撓曲線方程

  該方程中含有待定系數c和d,具體是多少，這依據不同的邊界條件（即該梁如何與外界連接）來確定。例如，對于本文最前面給出來的懸臂梁，其固定端點既沒有撓度，也不會有轉角，也就是說

  代入上式就可以得到兩個方程，這兩個方程中含有c和d。兩個方程，兩個未知數，是可以求解的，從而可以完全確定c和d.這樣，該梁的撓曲線方程就完全確定了。

  上述方法的基本思想是：要想知道整根梁的變形是很困難的，于是從一個微元出發來考察受力與變形的關系。對于每一個微元而言，所給出的彎矩與撓度的關系式一個微分方程。這個微分方程具有普適性，就是說，無論是懸臂梁，還是簡支梁，還是外伸梁，或者是實踐中任意的一段微梁，它都適用。

  既然該方程對于任意的微梁都適用，那么為什么不同的梁其撓曲線不同呢？從物理上來說，是因為不同的梁幾何尺寸不用，其邊界條件不同。而從數學上來說，如果不給定邊界條件，則只能根據微梁得到含有待定系數C和D的積分方程。既然含有待定系數，則撓曲線是一簇曲線，具體是什么未知。而一旦給定邊界條件，則可以確定待定系數，從而撓曲線就成為定解。

  上述方法總結為下面幾個步驟：

（1）      取微段

（2）      根據該微段所滿足的幾何，物理，平衡關系推出微段滿足的力-位移關系的方程。該方程是常微分方程。

（3）      對上述微分方程積分得到含有待定系數的積分方程。

（4）      代入具體梁的邊界條件，得到積分方程中的待定系數。從而完全確定撓曲線方程。

  上述方法稱為微元分析法。該方法在很多工程領域得到了廣泛應用。它表明，一個物體雖然貌似復雜，但是每一個微元所滿足的規律卻是一致的，這是共性。對于微元的規律分析，一般可以得到微分方程。這種微分方程對于復雜結構的任何一點都滿足。要得到某實際物體的宏觀規律，則需要對該微分方程積分，而這種積分是不定積分，必然含有待定系數。這些待定系數則是由該物體與外界發生關系，被外物所約束來確定的。

  微元分析法，從哲學的角度而言，意味著一個連續體的內部相似性。正是因為這種連續性，導致可以使用數學的微分方式來進行分析。從這個層面來說，只要物體是連續的，那么我們就可以取微元來研究其規律。然后使用高等數學的微積分的方式來得到其宏觀規律。由于每一客觀物體都有空間的廣延性，從而具有連續性，從而可微，可以對微段分析來列微分方程。這就是為什么微元分析法具有如此廣泛應用的原因所在。

來源：宋博士的博客，版權歸作者所有。