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-----前言-----

單位脈沖函數（Dirac函數）在一般的數學物理方法書籍中有詳細的介紹。對于該函數的工程應用，在自動控制原理中，可以通過一個系統對單位脈沖激勵的響應（脈沖響應）的表現，來判斷系統的時域穩定性等性質。但是直接求一個系統的脈沖響應不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換，才能表示出系統的脈沖響應。單位脈沖激勵能有這個應用，在于其自身的拉氏變換為常數1，所以系統脈沖響應的拉氏變換就是系統的傳遞函數，在時域用脈沖響應評價系統，相當于直接評價系統的傳遞函數。當然，這是后話，后續筆者擬總結一下拉氏變換。

在信號與系統中，單位脈沖函數的最大的作用是引出了卷積積分的定義。筆者是通過鄭君里的《信號與系統》了解這一點的，但是我覺得該書相關推導過于復雜，不易理解。另一方面，在結構動力學中，單自由度系統的振動微分方程起著至關重要的作用，可以說是理解結構動力學的基石。在這門學科中，比較注重方程的解，相關理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。

-----LTI系統響應的分類-----

傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：

鄭君里P63指出：

而疊加性和均勻性非常重要。

鄭君里P62給出了一個一階微分方程的解按齊次/非齊次、零狀態/零輸入分類的例子，為理解方便起見，我在其中略有備注：

-----二階方程的解：杜哈梅積分（卷積）-----

對于結構動力學中經典的彈簧振子系統，其具有二階微分方程：

直接求解該方程的完全解是很難的，只能寫出其齊次通解（王新敏P46式3-10），該通解的系數由初始條件決定：

杜哈梅解決了這個問題（我猜他這么解決的），并發展出了結構動力學中的杜哈梅積分，其實就是卷積。我們不妨以觀棋者的視角來理解下這個思路：由前所知，LTI系統的零狀態解是可疊加的，那么不妨認為該方程的解可以由無數個特定的零狀態解疊加而成。如果將F(t)當成成無數個單位脈沖激勵的疊加，那么只要求出方程在單位脈沖激勵下的零狀態解，就可以按照一定方式將它們加起來（積分）即可。單位脈沖激勵下的零狀態方程為（王新敏P206）：

然而，要求出該方程的解仍然是困難的，其實難度沒變，只是現在激勵變成單位脈沖激勵了，性質上仍然是求二階非齊次常微分方程。好在現在有兩個有利條件：1）由前述可知，方程的零輸入解只需要將初始條件代入齊次通解即可得到；2）最為關鍵的是，單位脈沖的特性允許我們將該方程改造成零輸入（非零狀態）方程。王新敏P206給出了這個過程：

現在我們得到了激勵為單位脈沖載荷時的零狀態解。當系統激勵為F(t)（或者下圖中的p(t)）的時候，就可以將系統的脈沖零狀態相應疊加起來，如下圖：

可以看出，該圖也完全闡述了卷積積分的內涵。

總結（通俗理解）：假設系統的任意激勵為u(t)，需要求其響應x(t)，則x(t)=u(t)*h(t)=∫u(τ)h(t-τ)，積分范圍[0,t]，h(t)是系統對單位脈沖函數δ(t)的響應（會衰減）。其實h(t-τ)表示系統在積分域的τ時刻（0時刻為起點，t時刻為當前時刻，0≤τ≤t）被作用單位脈沖激勵，經過t-τ時程后在t時刻的響應。τ時刻作用的是u(τ)個單位脈沖激勵，根據線性系統的疊加原理，這u(τ)個單位脈沖激勵在t時刻的響應為u(τ)h(t-τ)。站在t時刻（當前時刻）觀察到的響應是從0時刻開始到當前這期間所有作用的單位脈沖激勵在當前的響應的疊加，所以就需要對u(τ)h(t-τ)從0到t進行積分。由此推廣到一般情形，任意兩個函數卷積時，其積分表達式表示其中一個函數在積分點τ的值乘以另一個函數在t-τ的值。任意兩個函數f(t)*g(t)的卷積對應著一個系統，該系統在單位脈沖激勵下的響應為f(t)（或g(t)），而卷積f(t)*g(t)就表示該系統在g(t)（或f(t)）為激勵時下響應。

參考資料：

王新敏《ANSYS結構動力分析與應用》人民交通出版社，2014.

鄭君里《信號與系統上》第三版，高等教育出版社。