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• 本文是從結(jié)構(gòu)動力學(xué)（振動力學(xué)）出發(fā)做的筆記，相關(guān)參考為結(jié)構(gòu)動力學(xué)資料。
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-----想先區(qū)分一下諧振和波。諧振是考察一點的位移u隨時間的變動，是一個一元函數(shù)，變量是t，參數(shù)是振幅、頻率和初相。諧波是考察一個場中，任何一點在任何時間的位移隨時間變動，所有點在某時刻的位移是一個二元函數(shù)，該值會隨著時間變化，在時間域觀察這個變化情況就是波動，參數(shù)是波幅（振幅）、頻率、波長（或者波數(shù)、波數(shù)），變量是場位置x和時間t。

-----簡諧信號用復(fù)指數(shù)表示。簡諧波可以使用余弦、正弦函數(shù)或復(fù)數(shù)表示，不過使用復(fù)數(shù)形式(根據(jù)歐拉公式推導(dǎo))表達、運算、求解更簡潔。一個諧信號最重要的是振幅A和頻率w，然后是初相位θ。根據(jù)歐拉公式A*cos(wt+θ)+i*A*sin(wt+θ)，復(fù)指數(shù)中同時含有余弦和正弦信號，但正弦和余弦同樣都只含有振幅A、頻率w、初相位θ這三種信息，所以可以看做是兩個相同的信號（重復(fù)項）。實際上sin和cos之間只差了π/2的相位，所以不妨將其改為A*cos(wt+θ)+i*A*cos(wt+θ-π /2)，就得到兩個一樣的信號。所以我們既可以采用實部也可以采用虛部來表達我們的真實信號，但是運算的時候，用復(fù)指數(shù)表達式會更方便，用復(fù)指數(shù)計算時它會將兩個信號（一般需要將信號加減或求導(dǎo)，根據(jù)歐拉公式，復(fù)指數(shù)實際表示一個以cos為實部以sin為虛部的復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法和求導(dǎo)法則得出，復(fù)指數(shù)的加減和求導(dǎo)都是實部和虛部的同時操作）同時處理的。

例如，對于一個（單自由度單位質(zhì)量）亞粘滯阻尼系統(tǒng)，其自由振動的方程是一個二階齊次線性常微分方程：

其通解可以用一個復(fù)指數(shù)諧波表示。將該復(fù)指數(shù)通解代入方程后，可以發(fā)現(xiàn)基于復(fù)指數(shù)的加減和微分運算會很方便，最終該問題變成一個特征值問題（本征值），求解會更方便，具體看曹樹謙P6。但是在具體寫出并討論解的時候，我們可以取該復(fù)指數(shù)形式的實部或者虛部，例如曹樹謙P6采用的虛部：

而曾攀P307采用的實部：

而Chopra P38采用實部虛部和的形式：

實際上，取實部和虛部都可以，例如王新敏P48這樣說:

但有一點必須指出，取不同的表達式，其對應(yīng)的系數(shù)是不同的。它們的系數(shù)由初始條件決定。

-----可以看出，復(fù)指數(shù)表示法的方便性在于同頻信號加減和求導(dǎo)。如果表示成三角函數(shù)，那么多個信號的加減會很麻煩，表示成復(fù)指數(shù)后，所有同頻信號的初相（不含t）被移動到前面和它們的振幅合在一起形成復(fù)振幅，該復(fù)振幅是各個信號的振幅和初相通過復(fù)數(shù)加減規(guī)則合起來的一個復(fù)常數(shù)，復(fù)數(shù)加減規(guī)則就比三角函數(shù)加減方便得多。復(fù)振幅包含了合成信號的實振幅和初相位，根據(jù)復(fù)平面的法則，合成信號實振幅|Fn|=[實部平方+虛部平方]再開方，合成信號初相位ψn=[虛部除以實部]再求反正切。除了信號的加減外，有的地方需要對信號求導(dǎo)，復(fù)指數(shù)的求導(dǎo)需要將頻率和i提到前面，而這在復(fù)數(shù)里面表示振幅擴大并且初相位移動π/2，這在信號處理和通信中用比較多。另外，在利用傅里葉變換求系統(tǒng)的頻響函數(shù)時，復(fù)指數(shù)表示法的方便性就很明顯（曹樹謙P7頻響函數(shù)求法）。

-----在通信學(xué)科中，復(fù)指數(shù)表示兩個信號，因為通信科學(xué)中初相位比較關(guān)鍵（陳愛軍P40），筆者對通信了解不多，不再多言；在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，更多關(guān)心結(jié)構(gòu)的振幅，而初相位并不是所關(guān)心的，所以復(fù)指數(shù)表示一個信號，真正使用的時候取實部虛部皆可。

參考資料：

曹樹謙《振動結(jié)構(gòu)模態(tài)分析：理論、試驗與應(yīng)用》第二版，天津大學(xué)出版社。

曾攀《有限元分析及應(yīng)用》，清華大學(xué)出版社，2004.

Anil.K.Chopra（謝禮立等譯）《結(jié)構(gòu)動力學(xué)：理論及其在地震工程中的應(yīng)用》，第二版，高等教育出版社。

陳愛軍《深入淺出通信原理》，清華大學(xué)出版社，2018.