偏微分方程
關注創建者：sniper_5292 創建時間：2021-05-15
偏微分方程的視頻教程
Matlab求解常微分方程/偏微分方程/復雜邊值問題
復雜邊界問題如何求解，邊界條件同時包含初始時刻和終止時刻; 4.常微分方程和偏微分方程的擬合問題等等。 但凡遇到比較特殊的，有意思的，值得分享的微分方程求解案例，我都會做成課程分享給大家。
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八分鐘掌握PINN方法求解偏微分方程超詳細講解（python代碼詳解）
講解了使用一個特殊的python庫，使用pINN方法求解burgers方程，歡迎大家有問題在評論區討論。
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Comsol在能源行業仿真中的應用 ——基于PDE的多物理場耦合
在仿真工作中，comsol軟件內置的方程如有不適用于實際工況，可利用comsol的PDE模塊寫入用戶自定義的方程，從而達到仿真的目的。 本課程主要內容為： 1.利用系數形式偏微分方程（PDE自寫方程）的流-熱固多物理場耦合； 2.利用comsol復現相關文獻能源多物理場耦合問題。
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偏微分方程的實例教程
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
展開 偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
展開 在之前的文章中有提到，客觀物理世界中的各種現象，都可以使用偏微分方程來描述。
使用比較普遍的是二階偏微分方程。高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
展開 MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱.part1.rar
偏微分方程工具箱.part2.rar
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偏微分方程的最新內容
模態分析——給輪轂做場“性格測試”
提到仿真，很多人第一反應是“反人類”的偏微分方程。別怕，我們今天不講那種硬核理論。
想象一下，你正在敲一口大鐘
固有頻率： 你敲一下輪轂，它發出的“當——”的一聲長音，那個固定的音調，就是它的固有頻率。
性格測試： 做模態分析，其實就是摸清這個金屬疙瘩的“底牌”，看它在什么頻率下會“失控”。
今日16:00，Ansys官方『Ansys高校系列專題：方程式賽車的智能化仿真設計』研討會研討會將基于Mechanical、Fluent、Discovery講解賽車結構與熱流體核心仿真，建立從概念驗證到詳細分析的完整研發流程。感興趣的下滑預約學習??
時間：5月13日（星期三），16:00-17:00
內容簡介：
1、基于Ansys Mechanical、Fluent、Discovery
2025賽季，吉林大學吉速車隊在Ansys仿真技術的助力下，以927.61分斬獲中國大學生方程式汽車大賽冠軍，并以864.34分成功衛冕中國大學生電動方程式大賽冠軍，成就耀眼 “雙冠” 。這一成績不僅刷新了燃油車車隊 “八年七冠六連冠” 的紀錄，更再次印證：仿真是驅動賽車性能躍遷與工程創新的關鍵。
2026年，Ansys將繼續攜手中國大學生方程式大賽，作為官方仿真設計軟件合作伙伴，延續十余年的深度支持
虛擬設計真實馳騁：
VI-grade 2026 虛擬大學生方程式大賽
開啟你的賽車工程師生涯
屏幕前點擊幾下鼠標，賽道上疾馳而過的方程式賽車正通過你的設計變得越來越快。
“我們的賽車彎心速度始終上不去，懸架調校方案已經試了十幾次，還是找不到最優解。”在車隊的車間里，車隊成員們圍著底盤調教方案爭論，實物測試消耗的時間與資源卻總讓他們望而卻步。
現在，一個不需要物理原型就能完整測試賽車設計的舞臺已經到來
虛擬設計真實馳騁：
VI-grade 2026 虛擬大學生方程式大賽
開啟你的賽車工程師生涯
屏幕前點擊幾下鼠標，賽道上疾馳而過的方程式賽車正通過你的設計變得越來越快。
“我們的賽車彎心速度始終上不去，懸架調校方案已經試了十幾次，還是找不到最優解。”在車隊的車間里，車隊成員們圍著底盤調教方案爭論，實物測試消耗的時間與資源卻總讓他們望而卻步。
現在
關鍵詞：CFD，有限元，三角形單元，罰函數，粘性流動
最近工作室有流體有限元求解器的開發需求，我在前面講飛機結冰的文章提到過，差不多10年前瞎搗鼓過這個東西。
好多東西都記不清了，先從一些簡單的流動模型入手，做一些恢復性訓練。考慮到我是結構力學出身，在進行流體有限元開發的時候，我會代入結構有限元的視角進行分析。
流體也好，固體也好，CFD也好，FEM也好，有很多開源工具、源代碼可以用。
一期一會 | 什么是電磁學？4個月前
這個統一過程在19世紀60年代達到頂峰，當時，蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）建立了一組著名的四個偏微分方程，從而提供了對電磁波的完整數學描述。
麥克斯韋進一步假設了自持電磁波的存在，同時還提出光即是這種電磁波的一個代表。
2025中國大學生方程式系列賽事已于11月圓滿完賽，覆蓋中國大學生方程式汽車大賽（FSCC）、中國大學生電動方程式大賽（FSEC）、以及中國大學生無人駕駛方程式大賽（FSAC）三項賽事。
中國大學生方程式汽車大賽由中國汽車工程學會于2010年主辦，至今已連續舉辦十六屆，作為大賽的官方合作伙伴，Ansys已是第15年贊助本項賽事，每年參賽的眾多車隊都會運用Ansys工具進行賽車仿真設計
摘要
平面波對于任意半徑和折射率的球形粒子的吸收和散射問題，米氏解是嚴格的麥克斯韋求解器。其得到的散射效應十分依賴于粒子的大小。根據其特性，散射可以分為瑞利散射、米氏散射和幾何光學散射。VirtualLab Fusion中包含了完整的米氏解。該案例研究了不同半徑的球形粒子散射。
模擬任務
03/先進技術與未來發展方向
1.跨域融合與效率躍升：融合AI與物理驅動建模，利用神經網絡替代部分偏微分方程求解，突破基于曲線的表示中光柵化離散化瓶頸；探索網格與曲線表示的統一數學框架，實現復雜偏振效應的高效精準計算。
