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一、為什么要在復域對LTI系統進行分析：傳遞函數的定義

工程中遇到的大部分系統都是LTI系統，一個LTI系統對應著一個線性常系數微分方程。對于這樣一個系統，我們通常需要研究其在特定輸入作用下的輸出性質，其實就是研究常微分方程的解的特點。然而，盡管可以通過卷積計算求出一個LTI系統的零狀態解，即：系統的零狀態響應等于系統輸入與系統單位階躍響應的卷積，見：

數峰青，公眾號：數峰青 單位脈沖函數及卷積（杜哈梅積分）——從常微分方程的解出發理解

然而，要通過卷積公式計算系統響應仍然是比較費勁的事兒。另外，在這樣的方法中，我們也對如何改變、優化系統無從下手。

借助于拉普拉斯變換這個強有力的工具，對信號和系統的研究就變得容易起來。拉氏變換的特點是，可以將常微分方程中的微積分環節變為復數域的代數環節（分式的加減乘除），所以在復數域來理解、研究微分方程就簡單得多。更重要的是，時間域的卷積經過拉氏變換就變成了復域的乘積，這使得我們可以定義單純反映系統性質的傳遞函數，相當于將系統單獨拎出來評價、優化。這在設計系統的過程中無疑會大大降低難度、加快設計進程。

以一個彈簧振子系統代表的二階LTI系統為例。其方程可以寫為：

這是一個二階常系數非齊次線性微分方程。可以通過卷積積分（也叫作杜哈梅積分）來得到方程在零初始狀態下的解。然而當F的表達式比較復雜的時候，卷積積分可能會很困難甚至無法得到真正的解析結果。如果對方程兩邊進行拉氏變換，可以得到：

該式體現了拉氏變換到復域的好處：1、微分環節變成復變量與函數的拉氏變換之間的乘積——一種代數運算；2、可以進行多項式合并。系統的傳遞函數定義為：

將上上式表示的F(s)代入，并考慮多項式合并，即可得到系統的傳遞函數為：

依據傳遞函數，就可以在復數域單獨評價、研究系統了。

另外，由于單位脈沖函數δ(t)的拉氏變換為常數1（收斂域為整個復平面），可以得出：系統的傳遞函數等于系統對單位脈沖激勵的響應（單位脈沖響應）的拉氏變換。將L(δ(t))=1替換G(s)=U(s)/F(s)中的F(s)即可得。

二、從增益角度理解傳函

但是本文想從拉普拉斯變換的定義出發，以增益的角度來理解傳遞函數的內涵。我們在對拉氏變換的總結中，將拉普拉斯變換的本質理解為：

拉氏變換是對函數在t>0域進行指數衰減后的傅里葉變換，就是將原函數f(t)乘以一個單位階躍函數（使其限定在t>0域）和一個指數衰減函數exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換

數峰青，公眾號：數峰青 拉普拉斯變換總結

我們在對傅氏變換的總結中，理解傅氏變換F(iw)本質上是復振幅密度隨頻率的變化（在諧波的復數形式下討論）。F(iw)是一個復函數，其幅值（模）表示信號中各頻率分量的相對大小，其幅角表示信號中各頻率諧波之間的相位關系，通常習慣上也可以將F(iw)叫做復振幅頻譜（鄭君里P117）。見（或見鄭君里P114）：

數峰青，公眾號：數峰青 傅里葉變換總結

本文第一部分已述，系統的傳遞函數等于系統單位脈沖響應的拉氏變換。結合上面對拉氏變換本質的理解，可以知道，無論是激勵和響應的拉氏變換，還是系統的傳遞函數，都是定義在復域（s=β+iw）的復函數。現在以復數運算規則來審視傳遞函數的公式：U(s)=G(s)F(s)，可以認為：G(s)本質上是一種對輸入信號（定義在s上的）復振幅密度的幅值增益和幅角移動（需要指出，雖然G(s)在計算上等于單位脈沖響應的拉氏變換，但它本質上并不具有響應的拉氏變換的“量綱”，也即不能說G(s)是某個信號在s處的復振幅密度）。為了更好理解G(s)，可以類似上面理解拉普拉斯變換的本質一樣，認為它是原系統經過β“衰減”后的“復增益”頻譜（瞎丁日扯的啊）。

參考資料：

鄭君里《信號與系統上》第三版，高等教育出版社。