變形梯度
關注創建者：KG_3613 創建時間：2021-12-29
變形梯度的視頻教程
選擇積分與 Abaqus 梁單元內核
接著深入 Abaqus 梁單元理論，介紹中心線描述、變形梯度分解、四元數大轉動更新及虛功方程。最后說明普通梁、開口薄壁梁與混合梁單元的選型邏輯，并引入張量分析基礎。
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張量分析與連續介質力學
、連續介質有限運動的變形張量及應變張 量、運動學關系、變形梯度、速度梯度、應力張量、質 量守恒、動量守恒、動量矩守恒、能量守恒與熵不等式 Piola-Kirchhoff應力張量、本構方程原理、簡單物質、 彈性物體、牛頓粘性流體、粘彈性物質。
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變形梯度的實例教程
比如說在做熱-變形耦合分析時，溫度（在三角形單元中線性分布）和應變（在三角形單元中均勻分布）計算精度帶來的誤差。
對于該問題的進一步解釋建議參看文獻[2]，在哪里給出了通俗和準確的解釋。
1.2 如何減輕鎖死
可以通過單元技術來減輕鎖死的影響。如Selective reduce integration, Incompatible，Assumed strain，Mixed formulation，MITC等等。對于近似不可壓縮材料的體積鎖死，最常見的對應方法是采用B-bar單元，這種單元的新式變種是F-bar單元，這是本文下面要講的內容。
2. B-bar單元[3,4]
一般的，單元內任意一點的應變ε表為單元節點i的位移u的函數。在B-bar單元中，將應變分解，其中為單元的平均體積應變或單元中心的體積應變值為偏差應變值。相應地，單元內任意一點的應變用下式計算
這里將體積應變做平均計算的方法緩和了體積鎖死。這種方法實現起來非常簡單，計算費用不高，效果也不錯，因此得到非常廣泛的應用。但是這種方法視乎不能滿足LBB條件[5]。
3. F-bar單元[6,7]
相應于B-bar單元對應變的加法分解，單元中的任意一點的變形梯度（deformation gradient）可以分解為體積變形梯度和偏差變形梯度兩個部分 F=Fs Fv。 理論上來說這種分解方式是嚴密的，而B-bar單元中的應變加法分解是一種近似，只是在應變很小時與變形梯度的乘法分解相近。因此把B-bar單元推廣到 F-bar單元是非常自然的，在變形較大時采用F-bar單元精度更好。
在F-bar單元中，單元中的任意一點的變形梯度表述為，J=detF. 其中
可以是單元中Jocobian J的平均值 ，也可以指單元中心的Jocobian值。
展開 通過耦合積分點和多晶RVE模型實現尺度的模擬效果，宏觀模型的積分點提供變形梯度用于微觀RVE模型的邊界條件，微觀模型通過邊界條件計算應力，狀態變量，并返回一致性雅可比矩陣，模擬效果如下：
Direct FE2 對應的二維模型和三維模型如下圖所示
施加X方向的單軸拉伸，二維和三維的變形結果如下圖所示：
二維模擬效果：
三維模擬效果：
（一）taylor均勻化方案
Taylor均勻化模型在abaqus實現時，通常一個積分點包含多個晶粒，其中積分點響應由晶粒響應的體積平均響應給出，積分內的各個晶粒的變形梯度均等于宏觀變形梯度。通過變形梯度計算各個晶粒的應力響應，晶粒彼此之間不存在應力平衡關系，但應變協調，計算得到各個晶粒的得到柯西應力，之后得到體平均柯西應力，更新積分點響應。以及整體的織構，使用該模型通常用于反應多晶聚集體整體的響應，以及織構演化分析。并且由于等應變假設，Taylor模型通常相較于有限元方法，整體的應力響應會更高，織構演化預測更加鋒銳。但計算成本顯著低于有限元離散。
以FCC軋制軋制模擬為例子（并行過程織構演化以及應力應變響應情況）
（二）粘塑性自洽方案（VPSC）
VPSC 全稱 Visco Plastic Self Consistent，指的是特定的機械狀態 (VP) 和使用的方法 (SC)。VPSC 是為應用于低對稱材料（六邊形、三角形、正交、三角形）而開發的，理論的基本出發點與前述的晶體塑性本構一致，不同的是在于處理晶粒之間相互作用時，不適用taylor等應變假設，而是將晶粒視為無限大基體的夾雜，基體的應力與應變響應等于各個晶粒的平均響應，滿足應變協調，并通過制定晶粒之間相互作用方案（切線，仿射，割線……）滿足晶粒與基體的應力平衡，特別適用于大規模成型過程中的取向演化分析，尤其是hcp對稱性較差的結構，但無法考慮晶粒與晶粒之間以及晶粒內部的響應情況分析，往往用于定性分析滑移系統開動情況，孿晶演化，宏觀應變硬化等。
展開 特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
（4）雜交單元：
應用：當材料行為是不可壓縮（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮（泊松比>0.475）時，如橡膠材料，采用雜交單元。
特點：對于具有不可壓縮材料性質的任何單元，一個純位移的數學公式是不適宜的，壓應力不能由節點位移計算。雜交單元包含一個可以直接確定單元壓應力的附加自由度，節點的位移場則主要用來計算偏應變和偏應力。
在選取單元類型時需要綜合考慮以下幾方面的問題：
1）如果需要得到的是節點應力，盡量不要選用線性減縮積分單元；
2）如果使用線性減縮積分單元，應注意避免出現沙漏模式，常采用網格細化來解決；
3）在定義了接觸和彈塑性材料的區域后，不要使用C3D20、C3D8R、C3D10等二次單元；
4）完全積分單元容易出現剪切閉鎖和體積閉鎖問題，一般情況下盡量不要使用；
5）對于ABAQUS/Standard分析，如果能夠劃分四邊形(Quad)或六面體(Hex)網格，建議盡量使用非協調單元(如C3D8I)，同時注意保證關鍵部位的單元形狀是規則的。
6）如果無法劃分六面體(Hex)網格，則應使用修正的二次四面體單元(C3D10M)，它適用于接觸和彈塑性問題，只是計算代價較大；
7）有些適用于ABAQUS/Standard分析的單元類型不能用于ABAQUS/Explicit分析中(例如非協調單元)。
展開 特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
（4）雜交單元：
應用：當材料行為是不可壓縮（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮（泊松比>0.475）時，如橡膠材料，采用雜交單元。
特點：對于具有不可壓縮材料性質的任何單元，一個純位移的數學公式是不適宜的，壓應力不能由節點位移計算。雜交單元包含一個可以直接確定單元壓應力的附加自由度，節點的位移場則主要用來計算偏應變和偏應力。
基于ABAQUS中如此豐富詳細的實體單元劃分，在使用時應尤其注意。
對于三維問題應盡量地采用六面體單元(磚型)。它們會以最低的成本給出最好的結果。當幾何形狀復雜時，可采用四面體單元和楔形單元。這些單元C3D4和C3D6的一階模式是較差的單元(需要細化網格以取得較好的精度)。
某些前處理包含了自由劃分網格算法，用四面體單元劃分任意幾何體的網格。對于小位移無接觸的問題，在ABAQUS/Standard中的二次四面體單元(C3D10)能夠給出合理的結果。這個單元的另一種模式是修正的二次四面體單元(C3D10M)，它適用于ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit，對于大變形和接觸問題，這種單元是強健的，展示了很小的剪切和體積自鎖。但是，無論采用何種四面體單元，所用的分析時間都長于采用等效網格的六面體單元。
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在網格畸變前，通過插值算法將織構（取向）、晶粒形狀（變形梯度）等信息轉移到新網格。
這保證了材料“記憶”的連續性。同時論文采用了應力驅動的自協調迭代，并引入了兩級并行計算（MPI + OpenMP），這在 2026 年依然是非常經典的設計。
作者成功捕捉到了 ARB 厚度方向上的織構梯度（中心 S 組分與表面剪切組分）。
有限應變運動學 (Finite Strain Kinematics)
在有限變形框架下，總變形梯度被分解為彈性和塑性兩部分。文章強調了在參考構型下求解第一類 Piola-Kirchhoff 應力平衡的重要性，這確保了在大旋轉、大應變工況下計算的物理準確性。
因此，總變形梯度被分解為彈性/剛體轉動部分、熱變形部分和塑性變形部分。
在本構層面，作者保留了 FCC 晶體的 12 個 {111}<110> 滑移系，并采用冪律型滑移率方程描述率相關塑性流動。
結構清晰：包含 CommonFiles 庫調用、形狀張量（Shape Tensor）計算、變形梯度（Deformation Gradient）提取等核心 PD 算子。</p>
這意味著：
裂紋尖端的內部功主要由高階微觀變形（應變梯度項）貢獻，而非傳統宏觀變形。因此，宏觀應變被約束在有限值，奇異性被自然消除。
這一結果與經典內聚力模型（CZM）有本質區別——CZM通過人為引入"過程區"長度參數來消除奇異性，而新理論從能量均勻化的物理本質出發，無需額外假設即可得到非奇異解。
幾何非線性意味著需要考慮變形梯度、應力的客觀性以及應變與位移關系的高階項。總切線剛度矩陣通常由材料剛度矩陣和幾何剛度矩陣構成。附件是算法的研究報告及子程序測試情況。
參考文獻：《Physically based crystal plasticity FEM including geometrically necessary dislocations: Numerical implementation and applications in micro-forming》
GND 演化方程依賴依賴于剪切應變率的梯度或者塑性變形梯度的旋度，而標準FEM/VUMAT
0px 7px;"><p class="ql-table-cell-inner" data-table-id="5mbthzatnvg" data-row-id="f34o2f9ftm" data-col-id="xwb6t2gzcje" data-rowspan="1" data-colspan="1"><p><span style="color: rgb(0, 0, 0);">該增量步開始時刻的變形梯度向量
任務描述
編程一個變形曲面（高度）
編程一個變形曲面（梯度）
文件信息
幾何非線性處理的局限性
現有非線性固體殼單元多基于連續體變形梯度的極分解處理幾何非線性，該方法不僅計算量大，且在 Cartesian 坐標系下難以保證旋轉描述的準確性。在大變形、大轉動問題中，極分解可能導致切線剛度矩陣奇異，影響迭代收斂性。此外，傳統單元在處理不規則網格或畸變網格（如C3D8I）時，精度衰減明顯，難以滿足工程對復雜結構分析的需求。
