參考文獻：《Physically based crystal plasticity FEM including geometrically necessary dislocations: Numerical implementation and applications in micro-forming》

GND 演化方程依賴依賴于剪切應變率的梯度或者塑性變形梯度的旋度，而標準FEM/VUMAT 只告訴你每個積分點本身的 γ˙a、Fp，不會直接給梯度。以往廣泛應用的數值方案通常是：先把 積分點的數據外推到節點，再用線性形函數求梯度，然而這類方案只能用特定單元（如 C3D8），對自適應網格、復雜接觸不友好。

該文章提出的一個mesh-free的方案，該方案的主要優勢是不改單元、不加 DOF，只在材料子程序內部，用鄰近積分點的數據做一次局部重構，就算出梯度，該策略對某個積分點 x，附近有一團“鄰居積分點” xI，作者把它們當成 mesh-free 的“節點”，對每個場變量 u(x)（可以是 γ˙a，Fp 的分量）做 MLS 擬合，如下圖所示：

權函數使用立方樣條，有緊支撐，距離越近權越大：

在實現上作者提到，立方支撐三個方向尺寸約為5個單元尺寸，最多取最鄰近60個（3D）或者30個（2D）積分點，作者指出：當鄰域尺寸比網格尺寸還小的時候，這個非局域模型就自然退化為傳統的局域模型。也就是說，鄰域尺寸本身就扮演了“材料內在長度標度”的角色。

為了提高計算效率秒作者使用了一個“時間滯后 + 公共塊”的策略對GND進行更新。

作者使用的方案對于顯示大變形分析計算效率非常高，使用標準的C3D8R單積分點即可正常運行，并將所提出的數值模型應用于銅箔拉伸和杯沖過程中的尺寸效應分析，模擬效果如下：

作者的研究證明：通過 MLS 在 VUMAT 里計算 GND，可以在 ABAQUS 中完整重現微成形的尺寸效應，并清晰揭示“GND 在晶界和局部剪切帶聚集”是強化的主要來源，同時保證數值方法可擴展、可工程化。詳細的數值實現策略可以參考原始文獻。

使用文章提到的策略，嘗試進行數值顯示，首先在umat隱式中進行實現，并在后續中修改為vumat即可。實現策略驗證使用包含200個晶粒的二維模型拉伸驗證。分別使用CPE6單元（二維多積分點，使用傳統的GND計算方案），CPE3單元（mesh-free策略），模型共包含27119，SSD計算使用經典的KM模型，流動方程使用唯象的冪律模型，取向隨機分配給不同晶粒

初始多晶模型和網格如下：

拉伸變形10%后應力分布：

傳統方案：

MLS方案：

拉伸變形10%后累計剪切分布：

傳統方案：

MLS方案：

拉伸變形10%后SSD分布：

傳統方案：

MLS方案：

拉伸變形10%后GND分布：

傳統方案：

MLS方案：

總的計算時間

傳統方案：60分鐘15秒

MLS方案：36分鐘12秒

可以看到MLS方案的計算策略計算效率通常會顯著高于傳統的GND計算策略，并且數值實現顯然更適合在vumat框架中（計算效率高，單元類型適應性強），而且可以抑制局部網格噪聲，因此在大變形，接觸分析，成型計算中是一種非常合適的選擇。感興趣的可以進行數值嘗試，也可以加入知識星球討論交流