參考文獻:《A novel concurrent multiscale method based on the coupling of Direct FE2 and CPFEM》

文章doi：10.1016/j.tws.2024.112610

Direct FE2（Finite Element Square）多尺度模擬方案是一種常用于材料科學中的數值模擬方法，特別適用于研究復雜的材料行為（如晶體塑性、微觀結構演化等）。它結合了微觀和宏觀兩個尺度的有限元分析，能夠在多尺度上捕獲材料的細觀力學響應。

Direct FE2 的原理：

Direct FE2 是一種強耦合多尺度方法，其核心思想是在每個宏觀積分點處嵌套一個細觀有限元模型，以實現宏觀響應與微觀行為之間的直接相互作用。

1. 宏觀有限元（FE）模型：

• 描述宏觀結構的整體變形和力學行為。
• 宏觀模型的單元中積分點的材料行為由微觀模型提供。
• 宏觀模型中的應力、應變是由微觀模型的細觀響應直接計算得到。

1. 微觀有限元（RVE）模型：

• 微觀模型（通常為代表性體積單元，Representative Volume Element, RVE）用于描述材料微觀結構，如晶粒、裂紋、孔洞等。
• 通過微觀有限元模擬，計算微觀應力和應變場，以及其等效宏觀響應。
• 微觀模型會受到來自宏觀模型的邊界條件（如位移或應力）的驅動。

1. 宏微耦合：

• 宏觀積分點傳遞的變形梯度作為邊界條件輸入到微觀模型。
• 微觀模型計算得到的等效應力或切線剛度返回到宏觀模型，用于更新宏觀求解。
• 這種雙向耦合的計算流程在每個加載步中反復迭代。

Direct FE2 的計算流程

1. 在宏觀有限元模型中，計算每個單元的變形梯度 FFF。
2. 將變形梯度 FFF 傳遞到對應的微觀RVE模型中，作為其邊界條件。
3. 在微觀RVE模型中，通過有限元分析計算微觀應力 σ\sigmaσ 和剛度矩陣 CCC。
4. 將等效的微觀響應（如應力）返回宏觀模型，完成宏觀求解。
5. 更新宏觀位移場，進入下一加載步，重復以上步驟。

Direct FE2 的特點

• 強耦合性：
•  微觀模型直接嵌套于宏觀積分點，顯式耦合微觀和宏觀響應。
• 細觀精度：
•  可以捕獲復雜的微觀行為（如晶粒滑移、孿晶、位錯等），并傳遞到宏觀層面。
• 高計算成本：
•  由于每個宏觀積分點都需要運行一個獨立的微觀模型，計算代價顯著增加。
• 并行化潛力：
•  微觀模型計算可以通過并行計算加速。

具體實現過程可以參考作者的原始文章和下圖的流程框圖

使用作者的文章思路，分別測試了二維和三維的FE2多尺度晶體塑性模型。通過耦合積分點和多晶RVE模型實現尺度的模擬效果，宏觀模型的積分點提供變形梯度用于微觀RVE模型的邊界條件，微觀模型通過邊界條件計算應力，狀態變量，并返回一致性雅可比矩陣，模擬效果如下：

Direct FE2 對應的二維模型和三維模型如下圖所示

施加X方向的單軸拉伸，二維和三維的變形結果如下圖所示：

二維模擬效果：

三維模擬效果：