梯度
關(guān)注創(chuàng)建者：海闊天空5 創(chuàng)建時間：2021-04-07
梯度的視頻教程
workbench靜力分析（三實例，學(xué)會梯度線荷載施加方法，鉸接點設(shè)置，梁桿單元轉(zhuǎn)換，共結(jié)點問題）
連續(xù)梁問題，實現(xiàn)workbench解決無法施加梯度線荷載問題，wb+命令流。對比線體和實體模型計算差別。 實現(xiàn)梁桿單元轉(zhuǎn)化，并解決鉸接點問題，wb+命令流。 Old North Park Bridge大橋wb求解，解決建模難點問題，及共結(jié)點問題。
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張量分析與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)
、連續(xù)介質(zhì)有限運動的變形張量及應(yīng)變張 量、運動學(xué)關(guān)系、變形梯度、速度梯度、應(yīng)力張量、質(zhì) 量守恒、動量守恒、動量矩守恒、能量守恒與熵不等式 Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量、本構(gòu)方程原理、簡單物質(zhì)、 彈性物體、牛頓粘性流體、粘彈性物質(zhì)。
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梯度的實例教程
在之前的文章【數(shù)值算法】共軛梯度法求解線性方程組中，我們指出，共軛梯度法是求解對稱正定系數(shù)的線性方程組的極為有效的方法，并且指出：對于n階線性方程組，通常最多n+1次迭代可以獲得收斂。在實際的有限元開發(fā)實踐中，需要求解的經(jīng)常是非常大，極端大的線性方程組，此時，采用共軛梯度法，有時可能需要上萬次的迭代才能收斂，雖然每次收斂的計算量并不大，但是整體求解也會花費較多時間。
實際上，共軛梯度法能否快速收斂與系數(shù)矩陣A密切相關(guān)。文獻(xiàn)【1】指出，對于共軛梯度法存在以下定理：
如果A=I+B為nxn的對稱正定矩陣，且rank（B）=r，則共軛梯度法至多r+1步收斂。其中I指單位矩陣，rank是矩陣的秩。
從該定理可知，共軛梯度法能否快速收斂，主要取決于“A”是否“接近于”單位矩陣。特別地，當(dāng)A就是單位矩陣時，rank(B)=0，此時一步即可收斂，當(dāng)然這是很顯然的。
基于上述定理，多種基于共軛梯度法法衍生的預(yù)處理共軛梯度法（PCG）得以廣泛地應(yīng)用。具體來說，實際過程如下：
假設(shè)要求解的方程是
預(yù)處理共軛梯度法的思想是求解
其中，
并且，C為對稱正定矩陣，且使得
是良態(tài)（即盡量“接近”于單位矩陣）。如果定義
結(jié)合原始的共軛梯度法，可以得到以下的預(yù)處理共軛梯度法（PCG）：
從上述算法中可以看出，其主要改動是需要首先求解
這一預(yù)處理方程，得到Zk的值后再代替原來的rk進(jìn)行運算。采用不同的M，當(dāng)然就會得到不同的Zk，最終影響共軛梯度法的收斂性。
展開 FGM概念
FGM是功能梯度材料（Functionally graded materials）的英文簡稱，也被稱為梯度功能材料。功能梯度材料(FGM)是一種新型非均勻復(fù)合材料,是由性能不同的兩種或多種材料復(fù)合成組分和結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)連續(xù)梯度變化的材料。它要求功能、性能隨內(nèi)部位置的變化而變化，以實現(xiàn)功能梯度的材料。
從本質(zhì)上來講，F(xiàn)GM是一種比較特殊的復(fù)合材料。
在自然界也有許多功能梯度材料的例子，如竹子、貝殼、骨骼等。
FGM構(gòu)建
本文采用COMSOL軟件進(jìn)行FGM模型的構(gòu)建，以下表現(xiàn)三種不同形式的功能梯度材料模型：
粒徑均勻變化
雙材料擴散
變粒徑分布
建模教程
在COMSOL內(nèi)建立功能梯度材料可以采用AutoCAD模型導(dǎo)入的方式，這里用到了CAD建模插件。
插件下載：
CAD 功能梯度材料（FGM）2D插件
展開 中國科學(xué)院金屬研究所研究員盧磊課題組和美國布朗大學(xué)教授高華健研究組合作，發(fā)現(xiàn)增加結(jié)構(gòu)梯度可實現(xiàn)梯度納米孿晶結(jié)構(gòu)材料強度——加工硬化的協(xié)同提高，甚至可超過梯度微觀結(jié)構(gòu)中最強的部分。梯度納米孿晶強化的概念結(jié)合了多尺度結(jié)構(gòu)梯度，進(jìn)一步提高了材料的強度極限，并為發(fā)展新一代高強度/延性金屬材料提供了新思路。相關(guān)成果11月2日在線發(fā)表于《科學(xué)》。
自然界中梯度結(jié)構(gòu)無處不在。近來，微觀結(jié)構(gòu)梯度的概念被越來越多地應(yīng)用于工程材料中。鑒于其獨特的變形機制，梯度結(jié)構(gòu)材料普遍表現(xiàn)出較好的強度、硬度、加工硬化及抗疲勞性能等。但是，如何理解結(jié)構(gòu)梯度對力學(xué)性能的影響規(guī)律長期以來面臨巨大挑戰(zhàn)。其原因之一是現(xiàn)有技術(shù)很難制備出結(jié)構(gòu)梯度精確可調(diào)控的塊體材料，如表面加工或機械處理技術(shù)所獲樣品梯度層體積分?jǐn)?shù)及結(jié)構(gòu)梯度均有限，從而嚴(yán)重限制了人們對梯度結(jié)構(gòu)金屬內(nèi)在梯度與力學(xué)性能相關(guān)性以及其本征變形機制的理解。
盧磊和高華健課題組的科研人員利用直流電解沉積技術(shù)，通過調(diào)節(jié)電解液溫度，實現(xiàn)孿晶片層厚度和晶粒尺寸沿樣品厚度的梯度變化，獲得結(jié)構(gòu)梯度定量可控的納米孿晶銅材料。隨結(jié)構(gòu)梯度增加，梯度納米孿晶銅強度和加工硬化率同步提高；結(jié)構(gòu)梯度足夠大時，梯度材料的強度甚至超過了梯度微觀結(jié)構(gòu)中最強的部分。這種獨特的強化行為在其它均勻、非均勻微觀結(jié)構(gòu)中均未觀察到。
科研人員通過微觀結(jié)構(gòu)分析與分子動力學(xué)計算模擬結(jié)合發(fā)現(xiàn)，梯度納米孿晶銅額外的強化和加工硬化歸因于梯度結(jié)構(gòu)約束而產(chǎn)生的大量幾何必需位錯富集束。這些位錯富集束在變形初期形成，沿著梯度方向均勻分布在晶粒內(nèi)部。這種均勻分布的位錯束結(jié)構(gòu)，與均勻結(jié)構(gòu)材料中隨機分布的統(tǒng)計儲存位錯結(jié)構(gòu)截然不同，具有超高位錯密度的位錯富集束變形過程中通過阻礙位錯運動、有效抑制晶界應(yīng)變局域化從而提高梯度納米孿晶結(jié)構(gòu)的強度和加工硬化。
展開 梯度晶體塑性模型對應(yīng)的umat子程序 ￥1200
文獻(xiàn)一：《Gradient plasticity in gradient nano-grained metals》
文獻(xiàn)二：《Grain rotations during uniaxial deformation of gradient nano-grained metals using crystal plasticity finite element simulations》
推薦理由：兩篇文章使用了類似的研究方法，通過構(gòu)建具有梯度分布的晶粒模型，基于原始的唯象晶體塑性模型進(jìn)行修改，將初始屈服，硬化模量，飽和強度，以及率相關(guān)系數(shù)構(gòu)造為晶粒尺寸的函數(shù)，實現(xiàn)建立具有尺寸效應(yīng)的多晶本構(gòu)模型，這對目前金屬梯度結(jié)構(gòu)介觀尺度下力學(xué)性能的表征具有一定的啟發(fā)性
文獻(xiàn)一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構(gòu)建梯度納米晶結(jié)構(gòu)，使用的本構(gòu)模型如下：
流動方程：
硬化方程為：
通過假設(shè)：單晶水平上的所有抗滑移參數(shù)與局部晶粒尺寸D的平方根成反比
修正對應(yīng)的參數(shù)為：
其中彈性參數(shù)對應(yīng)Cu的參數(shù)
有限元模型為：
研究了平面應(yīng)變條件下簡單拉伸不同區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變分布特征
CPFE結(jié)果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變。這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達(dá)到屈服點以及相應(yīng)的梯度滑動阻力而產(chǎn)生的。
CPFE結(jié)果還揭示了梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變的非均勻空間分布，這是隨機晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結(jié)果。
展開 ，而不是梯度的體積分。
梯度的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
梯度的最新內(nèi)容
4.3 光柵材料與UV映射配置
自定義光學(xué)材料：分別創(chuàng)建輸入、輸出耦合光柵專用材料，綁定光柵插件文件與參數(shù)文件，配置紋理貼圖基礎(chǔ)參數(shù)；
UV映射定向：新建UV映射坐標(biāo)系，精準(zhǔn)匹配光柵排布方向，確保衍射光路傳播角度符合設(shè)計值；
漸變效率優(yōu)化：在輸出耦合面添加漸變蒙版紋理，通過梯度亮度調(diào)節(jié)，提升AR HUD全屏成像亮度均勻性；
圖4：波導(dǎo)光柵屬性配置界面
4.4
在網(wǎng)格畸變前，通過插值算法將織構(gòu)（取向）、晶粒形狀（變形梯度）等信息轉(zhuǎn)移到新網(wǎng)格。
這保證了材料“記憶”的連續(xù)性。同時論文采用了應(yīng)力驅(qū)動的自協(xié)調(diào)迭代，并引入了兩級并行計算（MPI + OpenMP），這在 2026 年依然是非常經(jīng)典的設(shè)計。
作者成功捕捉到了 ARB 厚度方向上的織構(gòu)梯度（中心 S 組分與表面剪切組分）。
有限應(yīng)變運動學(xué) (Finite Strain Kinematics)
在有限變形框架下，總變形梯度被分解為彈性和塑性兩部分。文章強調(diào)了在參考構(gòu)型下求解第一類 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力平衡的重要性，這確保了在大旋轉(zhuǎn)、大應(yīng)變工況下計算的物理準(zhǔn)確性。
因此，總變形梯度被分解為彈性/剛體轉(zhuǎn)動部分、熱變形部分和塑性變形部分。
在本構(gòu)層面，作者保留了 FCC 晶體的 12 個 {111}<110> 滑移系，并采用冪律型滑移率方程描述率相關(guān)塑性流動。
使用作者提出的完整積分框架，并基于顯式vumat實現(xiàn)，同時使用基于損傷變量的單元刪除方案同時引入ALE自適應(yīng)網(wǎng)格方案可以更好的預(yù)測梯度效應(yīng)。
1326°C
2000°C
氧化鋁（Al?O?）
80 nm
1.06 g/cm3
2000°C
2977°C
研究團隊采用"兩步法"進(jìn)行分散制備，設(shè)定了0.01%、0.05%、0.1%與0.15%四個極低體積分?jǐn)?shù)梯度
通過設(shè)定嚴(yán)格遞減的退火溫度梯度，迫使分子鏈段按規(guī)整度重組結(jié)晶。SSA熱譜曲線如圖6所示，樣品A的熔融峰集中在偏高溫區(qū)域，表明其絕大部分晶體在相似條件下形成；而樣品B的熔融峰強度分布較為彌散。
▲ 圖6：樣品A與B經(jīng)SSA熱分級后的DSC升溫掃描曲線
研究團隊運用熱力學(xué)方程，計算出實際晶片厚度及亞甲基序列長度。
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</figure><p class="ql-align-center">滑塊冷卻</p><p class="ql-align-justify"><br></p><p>從熱平衡結(jié)果看，<span style="color: rgb(212, 20, 20);">增加冷卻后，模具溫度梯度明顯降低
在本用例中，我們使用VirtualLab Fusion中的快速物理光學(xué)引擎來演示由階躍或梯度折射率光纖產(chǎn)生的一組模式的形狀，以及由它們的組合產(chǎn)生的光場，如何受到有像差的光學(xué)系統(tǒng)的影響。
沿直線分布的FGM梯度晶體模型只需在CAD草圖建立時將邊界線用多段線分段繪制即可，每段的尺寸與對應(yīng)位置的晶粒尺寸一致。
可對模型劃分網(wǎng)格，并進(jìn)行后續(xù)的梯度晶粒結(jié)構(gòu)仿真模擬分析。
