解析解
關注創建者：sniper_5292 創建時間：2020-04-14
解析解的視頻教程
像后處理一樣計算三維應力強度因子-SimFracStudio Benchmark
SimFracStudio-后處理式三維應力強度因子計算軟件 visualsan@163.com 這是一個斷裂力學創新性算法，讓應力強度因子計算和后處理一樣簡單： ~無網格，無FEA，只要一個常規位移場， 就能精確計算應力強度因子和裂紋擴展計算 而且速度和解析解一樣快。該算法已經形成軟件SimFracStudio，我們將通過幾個BENCHMARK展示算法的精度和適用范圍。
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ANSYS Mechanical二次開發簡介 ——經驗分享加實例展示
為了保證軟件的可靠性作者還用MATLAB編寫同樣功能的軟件計算解析解與ANSYS的有限元解對比，結果說明有限元二次開發方法結果可靠，并且可以將成本最小化。
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解析解的實例教程
通過解析解擬合實驗室煤粒解吸數據，可以獲得擴散系數。煤芯中孔徑不一，一般采用平均粒徑代替煤芯的粒徑，在計算過程中會出現一定誤差。采用數值模擬的方法，可以探究不同粒徑下煤粒的擴散系數，比較數值解和解析解的差異性。本文借助comsol數值求解，通過優化擴散系數，使其匹配煤粒解吸擴散數據，進而獲得煤粒擴散系數。
單孔擴散模型邊界條件的解析解為：
COMSOL中建立的煤粒解吸幾何模型：
數學方程采用菲克第二定律：
其中C為煤粒中甲烷濃度，
解吸速率可表示為：
利用comsol中非局部耦合體積分，可以獲得解吸速率。其中p0為煤粒中初始甲烷壓力、pa為大氣壓，0.1MPa。
1min甲烷濃度分布
5min甲烷濃度分布
上圖為數值解、解析解、實驗數據之間的擬合關系，解析解、數值解獲得的煤粒擴散系數分別為1.52×10-12m2/s、1.32×10-12m2/s。利用comsol的優化模塊，可以更準確的擴散系數，也可分析不同粒徑對擴散系數的影響。
參考文獻：
Qingquan Liu, Jing Wang, Jingjing Liu,et al.Determining diffusion coefficients of coal particles by solving the inverse problem based on the data of methane desorption measurements[J].Fuel,2022.
展開 但如果能求出 x (t) 的解析解，也就是求出等式右邊不包含 x (t) 這個變量的公式，那么計算效率就能得到成倍的提升。
然而，求解這個常微分方程 dv / dt=?glv (t)+S (t) 的方法，從 1907 年提出以來還沒有人求出過它的解析解。
在通過一番計算后，研究人員終于得出了這個微分方程的近似解析解，能很好地近似出 x (t) 的數值：
最關鍵的是解析解能“一步到位”地求出結果，研究人員表示這比正常求微分方程模型快上 1~5 倍。
依靠這個新的近似解析解，研究人員提出了一種名叫 CfC （closed-form continuous-depth networks，閉式連續深度神經網絡）的模型，進一步提升了計算效率、降低了微分方程求解帶來的近似誤差（approximation error）。
求解出來與原微分方程的相似度也極高：
所以 CfC 的提出，究竟解決了什么問題？
作者：下一步建立大腦計算模型
提到 CfC 的作用，還得先說回它的基礎，也就是 MIT 去年建立的“液體”神經網絡（LTC）。
△ 圖源：MIT
當時“液體”神經網絡的提出，是用于簡化如視頻處理、金融數據和醫療診斷這類與連續時間強相關的問題計算。
這類問題往往與時間的相關度很高（如股票、視頻等變量會不停地隨著時間產生變化），這也導致它們的變化情況難以預測，往往需要求解非常復雜的偏微分方程。
“液體”神經網絡就是為了解決這一點出現的，確實也提升了這類場景的計算效率。
然而，建立“液體”神經網絡的靈感雖然來自小物種的大腦，具有很強的靈活性和適應能力，不過計算量仍然不算低 ——
一旦增加神經元和突觸的數量，計算機可能就因為數據計算量過大“撐不住”了。
展開 做圍巖二次應力仿真時，圍巖r=a時的徑向應力解析解為零，為何仿真結果探測值巨大？
整理了一下以前寫的關于高斯分布激光加熱下的任意層材料結構三維溫度分布的解析解。
這個模型考慮在
（1）材料表面受任意空間和時間分布的熱源（包括高斯分布激光加熱）。
（2）x-y平面內無限大，(在x-y面內有限大的情況也可以很容易推導出。
（3）在z方向上有n層材料，n可取1，2。。。任意值。
（4）最底部的熱邊界條件可以是T0,絕熱和無限厚情況。
（5）考慮各層材料的熱物理參數的各項異性和各層之間的接觸熱阻。
（6）適用與x,y,z笛卡兒坐標和柱坐標下。
情況下的內各層內的瞬態溫度分布T(r,z,t)，或者在固定加熱頻率omega下的的溫度分布T(r,z, omega)，omega = 0既穩態。 這個模型可以很容易的編程實現，比如用C++或mathcad...
這個模型可以廣泛地用在材料的熱物理參數測量試驗中。
Analytical Solution of Heat Conduction in Multilayer Structure.pdf
展開 由于存在解析解，受簡諧荷載作用的單自由度體系，可以用來檢驗動力分析算法和軟件的精度。
以下分別使用解析解和abaqus求解器檢驗iSolver軟件隱式動力分析的精度。
（1）有限元模型
建立如下所示的只包含1個桁架單元的有限元模型，桁架單元長度為25mm。材料參數設置：彈性模量為12337.0055，密度1.0，截面積1.0。左側約束x、y、z三個方向平動自由度，右側約束y、z兩個方向平動自由度。
在這樣的簡支約束下，該結構只有一個水平方向的動力自由度。根據力學原理，可以簡化成下面所示的計算模型。
在右側節點上施加水平方向的簡諧荷載p(t)=p0*sin(w*t),式中p0為簡諧荷載賦值，w為簡諧荷載的頻率。荷載幅值p0=1，5s內的時程曲線如下所示
（2）解析解求解
（3）結果對比
我們計算5s內的時程反應，將解析解、abaqus解、iSolver解相互對比，相互驗證。
位移時程
速度時程
加速度時程
由時程圖可知，位移的解析解、abaqus解、iSolver解幾乎完全重合；速度和加速abaqus和iSolver解幾乎完全重合，但是二者于解析解在峰值處存在極小的差距，這部分差距是數值計算引入的人工阻尼，但完于可以接受的范圍。
（4）將解析解導入導abaqus后處理中的方法
先使用python按照解析解數學公式算出時程曲線上的若干個點，并將結果存到本地，python源程序如下：
最后，按照以下步驟將txt文檔讀入abaqus后處理
展開 
解析解的最新內容
驗證方法
算法/技術
計算內容
解析解對比
經典彈性力學解析解（Euler-Bernoulli梁、Kirchhoff板）
將數值解與理論解逐項對比，驗證程序正確性
代碼間交叉驗證
同模型多軟件并行求解
EPE）：考慮零級、-1級、-2級衍射的能量損耗，通過簡化微分方程，得出零級衍射效率的分布解析解，實現垂直方向均勻性調控。
反演公式同時考慮“基底軸向變形”和“熱變形不相容引起的熱應力”，并區分拉-推/拉-拉兩類工況；</p><p>? “不預設 bond–slip 形狀”的反演：避免只能擬合指數/雙線性模型的限制；</p><p>? 系統量化了常見簡化假設帶來的誤差，并給出適用邊界；</p><p>? 提出并討論“離散數據求導→噪聲放大”的關鍵工程問題，給出平滑處理的敏感性分析</p><p>? 用多來源數據做“交叉驗證”：實驗/有限元/解析解三類數據都能復現原始
Debye-Wolf積分提供了焦平面附近矢量場的半解析解，并得到了廣泛的應用。我們演示了如何在VirtualLab Fusion中使用Debye-Wolf積分計算器來研究不同參數下的聚焦場特性。
2. 建模任務
3. 波長的影響
4. 物鏡NA的影響
5.
用這種方法，將式（3）的球面相位函數替換為拋物線相位函數，從而得到式（4）中逆傅里葉變換積分的半解析解。如圖1所示，該概念僅適用于具有低空間頻率的傍軸場。對于長傳播距離z，可以應用遠場積分[5]，其中公式（4）的逆傅里葉變換積分可以用固定相位的想法來半解析地求解。
圖1：場追跡中常用的基于FFT的傳播算子的有效范圍的示意圖。灰色區域表示在數值上可行的參數空間。
已知方程形式，且已知：
初始條件：
邊界條件：
解析解： 根據達朗貝爾公式可得：
表達式如下：
損失函數表達式：
網絡架構
輸入層：空間坐標（
）
隱藏層：3層，每層50個神經元
輸出層：物理場預測值
值得一提的是： PINN本身并不提供解的存在唯一性證明
一期一會 | 什么是層流？7個月前
圓柱形管道內或兩塊平板之間的簡單流動，可以使用解析解（封閉形式解）來表征。但是，對于形狀更復雜的管道內部和周圍的流動，則需要使用計算流體力學（CFD）來離散化流動體積，然后求解隨時間變化的壓力、速度和溫度。
由于層流會沿著邊界表面的形狀流動，因此層流建模成功的關鍵之一是創建與該表面平行的網格，即離散化步驟，以便最好地捕獲邊界層。
即使在粗網格（4×4×2）下，單元計算結果與解析解的誤差仍小于 5%，顯著優于傳統 C3D8R/Solid45 單元。
將擬協調單元CSS8與 ANSYS 的 Solsh190、ABAQUS 的 SC8R進行對比，從精度、效率、穩定性三方面評估優勢。
可以通過比較不同網格密度下的結果、與解析解或實驗數據對比，或使用更精確的實體單元模型進行驗證。對于高精度分析，這些驗證步驟尤為重要。
完
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光在帶有雙折射取向層的扭曲LC盒中的傳播示意圖
我們得到了偏振平面旋轉角度對取向層雙折射的依賴性的解析解, 公式 3, 其中 δ=πΔnd/λ Δn– 液晶層的雙折射.
(3)
根據公式3，取向層的折射各向異性的存在導致通過扭曲液晶盒的透射光的偏振平面的旋轉角度增加。 (Fig.2).
