本文介紹了模擬光在均勻介質中傳播的四種快速而嚴格的方法。結果表明，在自由空間傳播中，對光滑強相位項的解析處理在減少計算量方面是非常有效的。因此，在不限制快速傅里葉變換算法應用的情況下，我們重新設計了平面波角譜（SPW）算子來處理線性、球形和一般光滑相位項。特別是對于非傍軸場傳播，所提出的技術可以顯著地減少所需的采樣點數量。數值結果表明了新方法的有效性和準確性。

 

一.文章介紹

 

光學建模與設計是研究與開發中極其重要的一部分。由于人們對高質量光學系統（包括衍射光學和微光學、散射物體和部分相干源）的需求日益增加，基于幾何光學和物理光學相結合的模擬方法，即場追跡變得非常重要。這種模擬技術的一個重要部分是諧波場在均勻介質中的傳播。然而，能夠快速、準確地模擬一般光場在自由空間中的傳播仍然是一項具有挑戰性的任務。常用的算法只能做到快速或者只是準確。

 

在本文中，我們沒有進一步的物理近似，介紹了四種新的算法，基于平面波（SPW）算子的角譜，有效地計算包含平滑但強相位項的非傍軸矢量光場的傳播。根據光滑相位項的形狀，可以使用不同的傳播算子。它們的共同點是避免了光滑相位項指數函數的采樣。相反，平滑相位項是解析處理的，只需對殘差進行采樣即可執行傳播操作；因此，稱為半解析傳播技術。

 

首先，在第二節中我們給出一個問題的描述并引入數學符號。然后，在第3節中，我們考慮了一個球面相位項，Mansuripur[6]為此引入了一種嚴格的技術，稱為使用快速傅里葉變換（FFT）的擴展菲涅耳衍射積分。在本節中，通過應用Van der Avoort等人最初使用的數值合適的拋物線擬合技術改進了該概念。在另一種情況下[7]，詳細討論了擴展菲涅耳算子在數值上可行的參數空間。此外，我們還介紹了擴展的菲涅耳算符的快速反演方法，用于快速計算非傍軸場到焦點區域的傳播。

   

 在第四節中，我們描述了一個用于光場快速傳播的半解析SPW算子，它包含一個光滑的線性相位項。該方法基于線性相位項和橫向偏移量的解析處理。之后，我們將這兩種技術結合起來，得到了一個數值有效的半解析SPW算子，它能夠同時解析地處理線性和球形相位項。

  

最后，在第6節中，我們通過將光場分解成具有平滑線性相位項的子光場，將半解析SPW算子概念推廣到平滑相位的通用形狀。在目標平面上，所有傳播子光場被相干地相加，其中解析已知的平滑線性相位項以數值有效的方式使用第7節中介紹的逆拋物面分解技術（PDT）進行處理。數值結果證明了新的傳播方法的有效性和準確性。所有的模擬都是用光學軟件VirtualLab完成的。

 

二.均勻介質中的場追跡 

 

在光場追跡法中，光在線性、均勻和各向同性介質中快速而精確的傳播是由諧波場的概念處理的。結果表明，任何電磁場都可以分解為一組諧波場[8,9]。在空間頻率域中，以特定角頻率ω0振蕩的單次諧波場定義為

 (1)

用位置向量和角頻率ω分別表示。請注意，下列理論是完全矢量的，因為在式（1）中，諧波場分量代表三個電場分量和三個磁場分量，由于計算效率高，常用的諧波傳播技術基于FFT算法[10]。一種嚴格的傳播技術是SPW算子[5]，其中各諧波場分量的復振幅在與傳播方向正交的平面邊界上，通過傅里葉變換（FT）分解成一組平面波

(2)

是初始平面邊界上的橫向位置向量，是對應的空間頻率矢量。用表示的平面波通過與傳播因子相乘，在距離z上傳播

(3)

表示折射率為n的均勻介質中的波數，c為光的真空速度。最后，利用逆傅里葉變換將所有平面波疊加，從而得到SPW傳播算子，

(4)

從物理角度來看，SPW算子對任何傳播距離z和任何空間頻率矢量k[5]都是有效的。然而，對于長的傳播距離，采樣公式（4）的數值工作量太大。對于非傍軸場，它包含高頻分量，數值工作量將變得更高。圖1示意性地示出了由于快速增長的數值工作量而導致的SPW算子的有限范圍。

 

一篇文獻中報道了兩個近似公式（4），以克服這一局限性。在這兩種情況下，即菲涅耳和遠場積分，使用近似來分離球面相位項與積分的數值計算，并且球面相位項是被解析地處理的。這就大大減少了數值計算的工作量。然而，由于這些近似，兩種解決方案的適用性受到限制。菲涅耳積分[11]使用空間頻率分量的泰勒展開。用這種方法，將式（3）的球面相位函數替換為拋物線相位函數，從而得到式（4）中逆傅里葉變換積分的半解析解。如圖1所示，該概念僅適用于具有低空間頻率的傍軸場。對于長傳播距離z，可以應用遠場積分[5]，其中公式（4）的逆傅里葉變換積分可以用固定相位的想法來半解析地求解。

圖1：場追跡中常用的基于FFT的傳播算子的有效范圍的示意圖。灰色區域表示在數值上可行的參數空間。嚴格的SPW算子在長傳播距離或大空間頻率下很難突破數值工作量。由于物理近似的性質，遠場和菲涅耳傳播算子具有有限的有效范圍。

  

由于普通的自由空間傳播算子使用范圍的限制，先進的傳播技術的發展對于非傍軸場追跡是必不可少的。這些技術應覆蓋圖1中剩余的白參數空間，并在精度和數值計算之間取得最佳折衷。文獻[2,3,12-14]中有幾種方法。然而，這個問題的一般解決辦法仍不清楚。在實踐中，非傍軸諧波場振幅出現了采樣問題，其中部分包含強而光滑的相位項數學表達式為

 (5)

在這項工作中，我們將開發非傍軸場的自由空間傳播技術，包含不同類型的平滑相位項。圖2顯示了四個光滑相位項的例子，它們起源于光學裝置中的不同元件。例如，球面相位項是由光通過透鏡系統的躍遷引起的。在第3節中，我們將介紹一個嚴格的傳播算子，它允許對球相項進行分析處理。之后，我們將在第4節討論一個改進的SPW算子。這使得能夠對線性相位項進行分析處理，線性相位項通常出現在具有任何光偏轉的光學建模中，例如通過組件的傾斜。在第5節中，利用第3節和第4節的思想，導出了一個半解析SPW算子，它可以同時解析地處理線性和球形相位項。柱面和像散平滑相位項的存在是相當普遍的，例如在半導體激光器的激光束整形元件中。在第6節中，我們將推廣使用偏微分方程半解析處理光滑相位項的概念。所有操作的評估都是通過一些實際的模擬來完成的。

 

三. 半解析SPW算子

 

首先，我們將導出包含光滑球面相位項的場的半解析傳播算子。在1989年 MurSuriPur[6]中擴展了經典的菲涅耳傳播概念，超過了近軸情形。因此，首先推導了Mansuripur的傳播算子。之后，為了進一步提高算子的計算性能，引入了拋物線擬合法，并將其數值效率與基于SPW的傳播技術進行了比較。討論僅限于可傳播波，在這種方法中，必須忽略倏逝波，這對于z遠大于λ是有效的。從第1節中的SPW傳播算符開始，等式（3）中的球相函數可以嚴格地寫成泰勒級數，

圖2.光滑相位項（2π-模采樣）的四個例子在光學建模和設計中非常常見：球面相位項（a）可以通過推廣菲涅耳衍射積分進行解析處理，如第3節所示。線性相位項（b）由第4節中的修正SPW算符解析處理。一般的光滑相位項，如柱面波（C）和像散拋物線波（D），可以用PDT進行線性近似分析處理。

在數字上更方便。代替了方程（2）和（4）中的兩個FFT, 這兩個FFT被用于處理標準SPW算子中數值工作量的巨大光場，修改后的算子執行三個簡單的FFT。盡管如此，一個額外的FFT步驟是必要的：二次相位項的解析處理。式（15）導致新算符的數值性能提升。與SPW傳播算子相反，增大的傳播距離主要是給半解析SPW算子引入一個慢振蕩相位項。這種較慢的相位振蕩可以減少采樣工作。

 

然而，在等式（8）中由高階相位函數引起的相位振蕩仍會隨著距離的增加能變大。Mansuripur[6]在其工作中已經提到，通過對kz使用更方便的拋物線擬合方法，而不是如等式（6）中的泰勒展開，可以顯著減少高階的影響。根據抽樣原理[15]，我們不應關注不是高階函數本身而是其梯度的最大絕對值。通過最小化其梯度最大值以達到最佳的數值效果。

 

基于這一思想，Mansuripur在其出版物[6]的附錄A中提出了一種先進的擬合方法。然而，它只是優化拋物線的斜率，而不是頂點偏移。此外，這項技術還需要解一個方程，包括不同指數的冪函數，這只能用數值方法來實現。

 

一種拋物線擬合方法可以得到更強大的分析方法，van der Avoort等人使用了這種方法[7]在完全不同的背景下。據此，球相函數可以寫成

相對于最大空間頻率Kmax的絕對值進行歸一化。式（17）的兩個擬合參數由[7]得到

圖3(a)說明了用泰勒展開式的前兩個項（式（6）、式（17）的Avoort擬合和Mansuripur的擬合技術對kmax的一維例子的球面相位函數的擬合。相應的高階相位函數；如圖3（b）所示。在這里，Avoort擬合的特征是最小化梯度的曲線，這使得所有高階相位函數的影響最小。因此，Avoort擬合能做到在公式（8）中僅需求對修改后的角譜進行最小努力的采樣。請注意，在低空間頻率情況下的不完全Avoort擬合與采樣無關，因為它的梯度很小。與Mansuripur擬合相比，本文給出了Avoort擬合的解析表達式。

到目前為止，由式（3）的球形傳播核引起的球面相位項用式（21）進行了解析處理。通常情況下，對于直徑較小，因而發散較大的場，球面傳播核的采樣占主導地位。接下來，我們轉向光場，在傳播之前，光場已經有了一個很強的球面相位。例如，這出現在透鏡系統的出射光瞳中。在這種情況下，初始諧波場包含一個強球形相位，并且可以有效地利用半解析SPW傳播算子對球相項的數值傳播進行反演。為此，公式（21）重新排列為

 

圖3 根據Taylor、Avoort和Mansuripur擬合球面相位函數kz。

（a）一維球函數及其相應的拋物線擬合曲線。

（b）（b）高階相位函數，從球面函數中減去拋物線擬合函數。

 

A*B表示卷積積分

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