PINN求解一維波動方程，pytorch框架，附代碼（二）

pytorch和tensorflow區(qū)別

以下tensorflow簡稱TF

• pytorch具有更加易用的API，目前的TF 2.x + Keras也提供類似的易用的API
• pytorch構(gòu)建動態(tài)計算圖，方便調(diào)試，TF以靜態(tài)圖為主，有利于部署和加速，目前也支持動態(tài)圖，鼓勵用語法糖轉(zhuǎn)化為靜態(tài)圖獲得性能提升
• 部署方面，TF有完整的工具鏈，目前pytorch也增強了部署能力
• 可視化工具，TF集成有TensorBoard，pytorch也支持用TensorBoard

總結(jié)：但隨著版本迭代，兩者正在相互借鑒優(yōu)點，差距逐漸縮小。學(xué)習(xí)階段可以采用pytorch，獲得成熟可用的項目后可以轉(zhuǎn)用tensorflow部署獲得更高的性能。

正問題

正問題是已知一切條件預(yù)測結(jié)果，這是一個確定性的計算過程。

• 已知方程形式，且已知：

初始條件：

邊界條件：

解析解： 根據(jù)達朗貝爾公式可得：

表達式如下：

損失函數(shù)表達式：

• 網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)
• 
  
• 輸入層：空間坐標(biāo)（
• ）
• 隱藏層：3層，每層50個神經(jīng)元
• 輸出層：物理場預(yù)測值

值得一提的是： PINN本身并不提供解的存在唯一性證明。這個保證來自于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的微分方程理論。在將一個問題交給PINN求解之前，我們通常依賴于已知的數(shù)學(xué)定理來確保問題是一個“適定性問題”，即：

• 存在性：至少有一個解。
• 唯一性：最多有一個解。
• 穩(wěn)定性：解連續(xù)地依賴于初始條件或邊界條件。

例如將上述波動方程初始條件中的一階導(dǎo)公式去掉，解就失去了唯一性，PINN就無法按預(yù)期工作。

原始采樣點

損失函數(shù)變化

真實結(jié)果、預(yù)測結(jié)果、絕對誤差

逆問題

逆問題是已知一些觀測數(shù)據(jù)，但是不確定方程中的一些系數(shù)是多少，目標(biāo)是利用這些觀測數(shù)據(jù)來反推出方程中的系數(shù)。更進一步，有大量的觀測數(shù)據(jù)，但是不知道方程的具體形式，利用已有數(shù)據(jù)來推出方程的表達式，因此逆問題可能不具備適定性，求解更困難。

• 將上述正問題做兩點改動，1.添加一些已知觀測數(shù)據(jù)。2.參數(shù)c的數(shù)值未知。那么上述正問題就變成了一個逆問題。

此時損失函數(shù)表達式：

表示的是和參數(shù)的集合。

原始采樣點

損失函數(shù)變化、參數(shù)變化

真實結(jié)果、預(yù)測結(jié)果、絕對誤差

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感謝每一位朋友的關(guān)注！期待能和大家在這個領(lǐng)域攜手前行，后續(xù)會有更多技術(shù)解讀和實戰(zhàn)技巧分享，我們一起學(xué)習(xí)，共同成長！~~~??????