解析解的案例
使用數值解和解析解擬合實驗室煤粒解吸擴散數據
通過解析解擬合實驗室煤粒解吸數據，可以獲得擴散系數。煤芯中孔徑不一，一般采用平均粒徑代替煤芯的粒徑，在計算過程中會出現一定誤差。采用數值模擬的方法，可以探究不同粒徑下煤粒的擴散系數，比較數值解和解析解的差異性。本文借助comsol數值求解，通過優化擴散系數，使其匹配煤粒解吸擴散數據，進而獲得煤粒擴散系數。
單孔擴散模型邊界條件的解析解為：
COMSOL中建立的煤粒解吸幾何模型：
數學方程采用菲克第二定律：
其中C為煤粒中甲烷濃度，
解吸速率可表示為：
利用comsol中非局部耦合體積分，可以獲得解吸速率。其中p0為煤粒中初始甲烷壓力、pa為大氣壓，0.1MPa。
1min甲烷濃度分布
5min甲烷濃度分布
上圖為數值解、解析解、實驗數據之間的擬合關系，解析解、數值解獲得的煤粒擴散系數分別為1.52×10-12m2/s、1.32×10-12m2/s。利用comsol的優化模塊，可以更準確的擴散系數，也可分析不同粒徑對擴散系數的影響。
參考文獻：
Qingquan Liu, Jing Wang, Jingjing Liu,et al.Determining diffusion coefficients of coal particles by solving the inverse problem based on the data of methane desorption measurements[J].Fuel,2022.
展開 神經元相互作用方式解析解描述突破，模擬大腦動力學效率提升。（轉載）
但如果能求出 x (t) 的解析解，也就是求出等式右邊不包含 x (t) 這個變量的公式，那么計算效率就能得到成倍的提升。
然而，求解這個常微分方程 dv / dt=?glv (t)+S (t) 的方法，從 1907 年提出以來還沒有人求出過它的解析解。
在通過一番計算后，研究人員終于得出了這個微分方程的近似解析解，能很好地近似出 x (t) 的數值：
最關鍵的是解析解能“一步到位”地求出結果，研究人員表示這比正常求微分方程模型快上 1~5 倍。
依靠這個新的近似解析解，研究人員提出了一種名叫 CfC （closed-form continuous-depth networks，閉式連續深度神經網絡）的模型，進一步提升了計算效率、降低了微分方程求解帶來的近似誤差（approximation error）。
求解出來與原微分方程的相似度也極高：
所以 CfC 的提出，究竟解決了什么問題？
作者：下一步建立大腦計算模型
提到 CfC 的作用，還得先說回它的基礎，也就是 MIT 去年建立的“液體”神經網絡（LTC）。
△ 圖源：MIT
當時“液體”神經網絡的提出，是用于簡化如視頻處理、金融數據和醫療診斷這類與連續時間強相關的問題計算。
這類問題往往與時間的相關度很高（如股票、視頻等變量會不停地隨著時間產生變化），這也導致它們的變化情況難以預測，往往需要求解非常復雜的偏微分方程。
“液體”神經網絡就是為了解決這一點出現的，確實也提升了這類場景的計算效率。
然而，建立“液體”神經網絡的靈感雖然來自小物種的大腦，具有很強的靈活性和適應能力，不過計算量仍然不算低 ——
一旦增加神經元和突觸的數量，計算機可能就因為數據計算量過大“撐不住”了。
展開 圍巖二次應力邊界應力值與解析解差距大
做圍巖二次應力仿真時，圍巖r=a時的徑向應力解析解為零，為何仿真結果探測值巨大？
激光加熱下的n層材料三維溫度分布的穩態/瞬態解析解- with source code
整理了一下以前寫的關于高斯分布激光加熱下的任意層材料結構三維溫度分布的解析解。
這個模型考慮在
（1）材料表面受任意空間和時間分布的熱源（包括高斯分布激光加熱）。
（2）x-y平面內無限大，(在x-y面內有限大的情況也可以很容易推導出。
（3）在z方向上有n層材料，n可取1，2。。。任意值。
（4）最底部的熱邊界條件可以是T0,絕熱和無限厚情況。
（5）考慮各層材料的熱物理參數的各項異性和各層之間的接觸熱阻。
（6）適用與x,y,z笛卡兒坐標和柱坐標下。
情況下的內各層內的瞬態溫度分布T(r,z,t)，或者在固定加熱頻率omega下的的溫度分布T(r,z, omega)，omega = 0既穩態。 這個模型可以很容易的編程實現，比如用C++或mathcad...
這個模型可以廣泛地用在材料的熱物理參數測量試驗中。
Analytical Solution of Heat Conduction in Multilayer Structure.pdf
展開 
【iSolver案例】單自由度振動隱式動力學
由于存在解析解，受簡諧荷載作用的單自由度體系，可以用來檢驗動力分析算法和軟件的精度。
以下分別使用解析解和abaqus求解器檢驗iSolver軟件隱式動力分析的精度。
（1）有限元模型
建立如下所示的只包含1個桁架單元的有限元模型，桁架單元長度為25mm。材料參數設置：彈性模量為12337.0055，密度1.0，截面積1.0。左側約束x、y、z三個方向平動自由度，右側約束y、z兩個方向平動自由度。
在這樣的簡支約束下，該結構只有一個水平方向的動力自由度。根據力學原理，可以簡化成下面所示的計算模型。
在右側節點上施加水平方向的簡諧荷載p(t)=p0*sin(w*t),式中p0為簡諧荷載賦值，w為簡諧荷載的頻率。荷載幅值p0=1，5s內的時程曲線如下所示
（2）解析解求解
（3）結果對比
我們計算5s內的時程反應，將解析解、abaqus解、iSolver解相互對比，相互驗證。
位移時程
速度時程
加速度時程
由時程圖可知，位移的解析解、abaqus解、iSolver解幾乎完全重合；速度和加速abaqus和iSolver解幾乎完全重合，但是二者于解析解在峰值處存在極小的差距，這部分差距是數值計算引入的人工阻尼，但完于可以接受的范圍。
（4）將解析解導入導abaqus后處理中的方法
先使用python按照解析解數學公式算出時程曲線上的若干個點，并將結果存到本地，python源程序如下：
最后，按照以下步驟將txt文檔讀入abaqus后處理
展開 伽遼金有限元法求解微分方程-C語言程序實現01 ￥8.88
問題描述：
測試基本問題：
解析解與數值解的對比圖如下所示：
問題1是一個常數，這里便不再圖形化顯示。
問題2解析解與數值解對比圖：
問題3解析解與數值解對比圖：
問題4解析解與數值解對比圖：
Abaqus-薄膜非線性撓度分析
這里使用有限元分析（FEA）方法計算膜撓曲的數值解，并將計算結果與解析解進行比較，以驗證計算的準確性和可靠性。在文中，使用了FEA方法計算了膜的撓曲，并提供了膜在不同時間步驟下的撓曲圖像。還提供了膜的材料屬性和幾何形狀，楊氏模量100GPa，泊松比0.3。幾何模型為120umx120um的正方形殼，施加137880 Pa (20PSI)的壓力載荷。計算中使用的100個時間增量步。還提到，在計算中使用了小量的應變來避免垂直方向的無剛度問題。最后，作者將計算結果與解析解進行比較，以驗證計算的準確性。
圖2 網格模型
圖3 撓度變形云圖
圖4 解析解和仿真解撓度曲線
圖4顯示了解析解和計算解。前30個步驟中，這兩個值顯示出顯著的差異。在40個步驟之后，這兩個值有一定的差異。這些差異的原因之一可能是FEA中應用的小應變。特別是當應用的壓力很小時，應變（或殘余應力）起著重要作用。隨著壓力的增加，差異大小變得穩定，我們可以猜測這是由于預應力引起的。
進一步的思考
首先，應該使用不同的尺寸和壓力測試這個FEA模型，以確保分析是有效的。由于時間限制，沒有進行這部分工作。
其次，可以通過實現殘余應力、預應變等因素來改進FEA模型。
實際上，每個膜都是有預應變或有殘余應力的。還可以添加預彎曲模型的情況。
文章來源：abaqus仿真世界
展開 我哭辣，做仿真用了一周，卻花了5天畫網格
解方程是每個學生的噩夢，但好在我們考試接觸的方程還都是有解析解的，也就是能寫出來未知數的表達式。比如對一元二次方程：
它的解析解就是：
但讓人絕望的是，有解析解的方程是極少數。
比如對一元五次方程，它就沒有解析解，你也列不出來x的表達式。
盡管沒有解析解，但對于特定的一元五次方程，例如下面這個：
我們通過數值方法，比如二分法，還是可以“湊”出來幾個近似解。這些解，就是數值解。
你沒看錯，有兩個解是約等于，不是等于。
那我問你了：
這兩個解準確嗎？
理論上來說不準。
能用嗎？
大部分情況下能用。
解析解是理想，數值解是現實，理想往往只能無限接近而無法到達。雖然不完美，但日子總要過下去。
理想化為現實是特例，方程有解析解也是特例。尤其對前面提到的偏微分方程，它們通常都只有數值解。
既然只有數值解，那如何找到這些數值解，就有講究了。
目前應用最廣的方法有三種：有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限體積法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
比如著名的結構仿真軟件AIFEM就基于有限元法、流體仿真軟件AICFD基于有限體積法。
這三種方法都需要將連續的偏微分方程離散為代數方程組。
體現在仿真過程，就是都需要把計算區域離散化，拆分成一個個小單元，也就是畫網格。AIFEM和AICFD也都具備畫網格的功能。
AIFEM劃分網格
明白了吧，畫網格的根本原因是描述我們所要模擬的物理現象的偏微分方程沒有解析解，在找數值解的過程中不得不將空間離散化。
網格民工畫的不是網格，而是在用鼠標對抗這個連續的世界。
那有沒有不需要畫網格的仿真方法？
展開 abaqus圓柱形熱源情況下土體進行固結
解析解
與該問題相關的時間尺度有兩種：一種是運行的兩種擴散機制中的每一種。第一時間尺度與擴散熱傳遞相關聯，由給出
，其中，是圓柱熱源的半徑，而代表周圍介質的熱擴散率，由給出。在前面的表達式中，和分別表示周圍介質的密度，比熱容和電導率。通常，基于孔的體積分數，需要將該表達式中使用的熱性能加權平均。然而，由于假定土壤和孔隙流體的熱特性相同，因此在該示例中不需要這種平均。第二時間尺度與孔隙流體的擴散流有關，由給出。在前面的表達式中，數量表示固結系數，定義為，其中是多孔介質的滲透率，是彈性常數，是孔隙流體的比重。針對該問題選擇不同的參數，使得該比率大約等于2。
Booker和Savvidou獲得了一種在原本無限的介質中圍繞點熱源進行固結的解析解，并利用該解析解來近似求解圓柱熱源周圍的固結問題。后者是通過簡單地將點源解決方案整合到整個圓柱體中來完成的。如上參考文獻中給出的溫度和孔隙壓力場的表達式復制如下。這些表達式用于獲得解析解，以便與數值結果進行比較。在 (, , ) 點和時間的溫度值由下式給出
其中，是熱源的強度（單位時間每單位體積從熱源輻射的熱能），
和 (,,代表圓柱體內點源的坐標。該函數
用互補誤差函數表示為
同樣，在假設下，孔隙壓力場可以表示為
其中的數量取決于土壤骨架的彈性特性以及土壤骨架和孔隙流體的（體積）熱膨脹系數，并由給出。布克和薩維維杜指出，溫度在圓柱源的中點達到最大值。如果土壤是不可滲透的（），則孔隙壓力將在同一點達到最大值。
上段給出的孔隙壓力表達式清楚地表明，孔隙流體流動的作用是（隨時間）減小給定點的孔隙壓力。對于不可滲透流體的特殊情況，孔隙壓力會隨著時間的推移而逐漸增加，并且永遠不會降低。另一方面，如果，則流體以與熱量相同的速率擴散，因此，孔隙壓力永不增大。
展開 Abaqus熱流固耦合——圍繞圓柱形熱源進行固結
解析解
與該問題相關的時間尺度有兩種：一種是適用的兩種擴散機制。第一時間尺度與擴散熱傳遞相關聯，由給出，其中，r0是圓柱熱源的半徑，而k代表周圍介質的熱擴散率，由給出。在前面的表達式中，，分別表示周圍介質的密度，比熱容和電導率。通常，基于孔的體積分數，需要將該表達式中使用的熱性質加權平均。但是，由于假定土壤和孔隙流體的熱特性相同，因此在此示例中不需要這種平均。第二時間尺度與孔隙流體的擴散流相關，由給出。在前面的表達式中，數量c表示固結系數，定義為，其中k是多孔介質的滲透率，和G是彈性常數，是孔隙流體的比重。針對該問題選擇不同的參數，使得該比率大約等于2。
Booker和Savvidou獲得了一種在原本無限的介質中圍繞點熱源進行固結的解析解，并利用該解析解來近似求解圓柱熱源周圍的固結問題。后者是通過簡單地整合整個圓柱體中的點源解決方案來實現的。如上參考文獻中給出的溫度和孔隙壓力場的表達式復制如下。這些表達式用于獲得解析解，以便與數值結果進行比較。在點和時間的溫度值由下式給出
其中，qv是熱源的強度（每單位時間每單位體積從熱源輻射的熱能），和代表圓柱體內點源的坐標。
該函數以互補誤差形式表示
同樣，在假設下，孔隙壓力場可以表示為
其中的數量X取決于土壤骨架的彈性特性以及土壤骨架和孔隙流體的（體積）熱膨脹系數，并由給出
。 布克和薩維維杜指出，溫度在圓柱源的中點達到最大值。 如果土壤是不可滲透的，則孔隙壓力將在同一點達到最大值。
上段給出的孔隙壓力表達式清楚地表明，孔隙流體流動的作用是（隨時間）減小給定點的孔隙壓力。 對于不可滲透流體的特殊情況，孔隙壓力會隨著時間的推移而逐漸增加，并且永遠不會降低。 另一方面，如果，則流體以與熱量相同的速率擴散，因此，孔隙壓力永不增大。
展開 基于節點位移的應力強度因子外推法
今天木木給大家分享的是基于節點位移求解應力強度因子，相比于上一期出的基于單元應力求解應力強度因子得出的結果更加接近解析解。這一期包括以下內容：（1）簡要講述INP文件（2）運用最小二乘法進行線性擬合（3）對裂尖數據進行特殊處理。
ANSYS中單元解、節點解以及節點單元解的概念解析
理論上，任何結構任何位置處的應力應變應該都是連續的，而上面所說的單元應力應變解并不連續，因而就出現了另外一個解，我個人稱之為節點單元解，它是單元解在公共節點上應力應變值的平均值，通過平均化就使得公共節點上的應力應變值變得唯一，但這樣會帶來另外一個問題，就是節點單元解和節點有關，也即是和單元數目有關。在某些情況下，可能會由于網格劃分的影響，導致畸變較大。
總結起來，三個解的概念如下：
節點解：節點位移解，原始解，最為精確的解；
單元解：單元的應力應變，派生解，通過節點解推導得到；
節點單元解：節點的應力應變，派生解的平均化顯示。
祝好
ANSYS結構院
2017.12.25
展開 【力學分析】板的彈性屈曲臨界應力
</p><h2><strong>二、壓彎屈曲臨界應力-解析解VS數值解</strong></h2><p>這里對比三種情況：</p><p>均壓ψ=1，k<sub>σ</sub>=4</p><p>壓彎ψ=0，k<sub>σ</sub>=7.81</p><p>純彎ψ=-1，k<sub>σ</sub>=23.9</p><p><br></p><p class="ql-align-center"><img src="https://img.xiumi.us/xmi/ua/IpA6/i/404642ac7cb1fa0240bb88d98d249373-sz_75198.png" width="719"></p><p>模型參數如上圖：</p><p>a=4m,b=1m,t=0.01m,Px=10kn/m,σx=Px/t=1Mpa</p><p>邊界：底部固定Y/Z,其余三邊固定Y,面中點固定X</p><p>網格尺寸：25mm</p><h2><strong>2.1解析解</strong></h2><p>將E=206000Mpa,v=0.3,b=1000mm,t=10mm以及三種情況的屈曲系數（4，7.81，23.9）分別帶入前面的解析公式，可以得到三種情況的屈曲臨界應力分別為：</p><p><strong>均壓：74.4Mpa</strong></p><p><strong>壓彎：145.3Mpa</strong></p><p><strong>純彎：445.3Mpa</strong></p><h2><strong>2.2數值解</strong></h2><p class="ql-align-center">RFEM6中激活“結構穩定分析”并在分析工況中勾選"計算臨界荷載"即可。
展開 基于ABAQUS計算二維情況下缺陷結構的圍線積分
對于這些參數的解析解大多為經驗公式，且只能求一些特殊情況下的解析解，另外研究對象只受低于使其裂尖斷裂的荷載作用，這對利用這些斷裂參數對裂紋擴展機理的深入研究產生了局限性，因此利用ABAQUS有限元軟件求解其數值對基于斷裂參數研究裂紋擴展機理具有重要的現實意義。
應力強度因子
目前確定材料應力強度因子的方法可分為兩種，一是近場法，另一種是遠場法。所謂近場法就是將得到的裂尖近場信息直接代入應力強度因子的近場解；而遠場法是將試件遠場的信息（如應力，載荷或位移等）代入應力強度因子的遠場解的方法。
（1）應力強度因子的近場解
近場解以裂紋尖端（裂尖）為理論基礎，對于線彈性均勻介質，當載荷隨時間變化，穩定裂紋尖端的漸近位移場與靜態情況完全類似。通過裂紋面上各點處垂直于裂紋面的位移，
由裂縫尖端位移場可得到I型裂紋應力強度因子的近場解：
其中，“＋”對應上裂紋面，“－”對應下裂紋面。
（2）應力強度因子的遠場解
應力強度因子的遠場解與試件的遠場信息，即試件的尺寸、形狀，試件所受的載荷等有關，通常寫成下面的形式：
其中：
式中表示的遠場荷載；a為裂紋長度，為平行于a的構件尺寸，該解析解適用于：
J積分
其中J積分由Rice提出，被廣泛接受作為線形和非線性材料響應的力學參數,它與裂紋擴展的能量釋放率相關，并且作為裂尖變形強度的度量參數，與應力強度因子也相關，且其是基于能量守恒概念引入的參數，因而對裂紋尖端應力奇異性的依賴程度較低，所以相比于應力強度因子，處理非線性斷裂問題時無需對裂紋尖端點特殊處理，因此基于J積分在斷裂評估方面的優點和重要性,J積分數值計算方法的準確性對斷裂力學實際應用尤為重要。
展開 半解析解半數值解的局限性
要求合適的試函數
存在問題：推導復雜* 解決特定單個問題
