邊界積分方程
關注創建者：匿名 創建時間：2021-10-11
邊界積分方程的視頻教程
通俗易懂理解方程約束與周期性邊界條件
為了方向大家理解周期性邊界條件，本課程建立了簡易的梁單元模型， 在對應節點處建立了類似周期性邊界條件中的方程約束equation，通過更改方程約束中的系數，對比不同的結果，快速理解方程約束的效果。
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邊界積分方程的實例教程
利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程，然后組合成總體有限元方程，考慮邊界條件后進而求解。由于單元的幾何形狀是規則的，因此在單元上構造基函數可以遵循相同的法則，每個單元的有限元方程都具有相同的形式，可以用標準化的格式表示，其求解步驟也就變得很規范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變，這就為利用計算機編制通用程序進行求解帶來了方便。
有限元法的主要優點是對于求解區域的單元剖分沒有特別的限制，因此特別適合處理具有復雜邊界流場的區域。
邊界元法
邊界元法是在經典積分方程和有限元法基礎上發展起來的求解微分方程的數值方法，其基本思想是：將微分方程相應的基本解作為權函數，應用加權余量法并應用格林函數導出聯系解域中待求函數值與邊界上的函數值與法向導數值之間關系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數值和法向導數值在邊界上的積分關系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發點，求出邊界上的未知量；在所導出的邊界積分方程基礎上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數方程組，求解后可獲得邊界上全部節點的函數值和法向導數值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內點函數值的計算表達式，它可以表示成邊界節點值的線性組合。
邊界元法的優點是：
(1) 將全解域的計算化為解域邊界上的計算，使求解問題的維數降低了一維，減少了計算工作量；
(2) 能夠方便地處理無界區域問題。
展開 微分方程的等效積分形式
已知：微分方程組
?。?）
且，
應滿足邊界條件：
（2）
表示對獨立變量（時間，空間）的微分算子
即：
因此有：
（3）
這里 ,表示函數向量，它是一組與微分方程個數相等的函數。
*（3）式是微分方程組（1）完全等效的積分形式。
同樣，在邊界上：
?。?）
結合（3）式和（4）式：
（5）
則（5）式是等效于滿足微分方程（1）和邊界條件（2）的積分形式。當然（5）
必須是可積的。
展開 在信號與系統中，單位脈沖函數的最大的作用是引出了卷積積分的定義。筆者是通過鄭君里的《信號與系統》了解這一點的，但是我覺得該書相關推導過于復雜，不易理解。另一方面，在結構動力學中，單自由度系統的振動微分方程起著至關重要的作用，可以說是理解結構動力學的基石。在這門學科中，比較注重方程的解，相關理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。
-----LTI系統響應的分類-----
傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
鄭君里P62給出了一個一階微分方程的解按齊次/非齊次、零狀態/零輸入分類的例子，為理解方便起見，我在其中略有備注：
-----二階方程的解：杜哈梅積分（卷積）-----
對于結構動力學中經典的彈簧振子系統，其具有二階微分方程：
直接求解該方程的完全解是很難的，只能寫出其齊次通解（王新敏P46式3-10），該通解的系數由初始條件決定：
杜哈梅解決了這個問題（我猜他這么解決的），并發展出了結構動力學中的杜哈梅積分，其實就是卷積。我們不妨以觀棋者的視角來理解下這個思路：由前所知，LTI系統的零狀態解是可疊加的，那么不妨認為該方程的解可以由無數個特定的零狀態解疊加而成。如果將F(t)當成成無數個單位脈沖激勵的疊加，那么只要求出方程在單位脈沖激勵下的零狀態解，就可以按照一定方式將它們加起來（積分）即可。單位脈沖激勵下的零狀態方程為（王新敏P206）：
然而，要求出該方程的解仍然是困難的，其實難度沒變，只是現在激勵變成單位脈沖激勵了，性質上仍然是求二階非齊次常微分方程。
展開 在圖示的情況下如何經行Gamma_s積分，積分點域內的還是邊界上的，用哪里的節點構造形函數
本次機床主軸電機的結構振動聲輻射案例，就是將電機結構計算后表面的振動速度，轉換成電機表面的聲壓邊界，并且映射到空氣表面的聲邊界面上，完成電機運行時的振動聲輻射問題的分析。
1.3聲學邊界元
對于上述的聲學波動方程，可以用數值方法得到其滿足邊界條件的解。常用的數值方法有聲學有限元法和聲學邊界元法。
聲學有限元法是采用整個分析域的離散，但隨著聲學仿真模型的日益精細與龐大，網格劃分費時費力；對于無限域聲學問題，有限元方法還需要結合一些特殊的方法進行問題轉換。相比聲學有限元，聲學邊界元法有如下幾方面明顯的優勢：
(1) 只需在結構邊界上劃分單元，建模簡單、單元數目少；
(2) 只需在邊界面上進行離散和計算，將三維問題轉化為二維問題，達到了降維的效果；
(3) 邊界積分方程直接采用解析形式的基本解，計算精度更高；
(4) 基本解自動滿足無窮遠處邊界條件，適合處理無限域問題。
1.4聲學積分方程
跟有限元法、有限差分法等基于微分方程方法不同，聲學邊界元是基于積分方程的數值計算方法。在聲場中，求解不在結構邊界單元上的任意一點處的聲學結果，通常需要先得到滿足一定條件的Helmholtz微分方程基本解，稱為格林函數，再對滿足格林函數的聲學波動方程進行積分獲得。
邊界元法雖然較有限元而言，減少了網格、降低了問題維數，但計算時由于系數矩陣是滿秩矩陣，計算存儲量、計算效率上，并沒有明顯優勢。
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邊界積分方程的最新內容
這里存在著兩種選擇的方案：</p><p>（a）把具有任意參數a的函數級數疊加起來；</p><p>（b）建立表示精確解的邊界積分方程，然后再借助于參數a將其離散化，通常可取邊界上某些點處未知函數的值作為參數a.</p><p>第二種方法通常還能保證展開式的完備性，它是目前用得最普遍的方法。我們推薦一篇最近的評述文章，它對于用邊界積分法來處理彈性力學問題及位勢問題等作了基礎性的調查研究。
個人學習總結，懇請指出錯誤。
參考資料見文后，文中引用格式為“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等。
-----前言-----
單位脈沖函數（Dirac函數）在一般的數學物理方法書籍中有詳細的介紹。對于該函數的工程應用，在自動控制原理中，可以通過一個系統對單位脈沖激勵的響應（脈沖響應）的表現，來判斷系統的時域穩定性等性質。但是直接求一個系統的脈沖響應不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換
邊界元法（BEM, Boundary Element Method）
邊界元法是在經典積分方程法和有限元法基礎上發展起來的一種數值方法,與有限元法在求解域內劃分單元的思想不同，邊界元法只在定義域的邊界上劃分單元，將邊界積分方程離散化為線性代數方程組，通過求解這些方程組得到邊界節點物理量。
1.4聲學積分方程
跟有限元法、有限差分法等基于微分方程方法不同，聲學邊界元是基于積分方程的數值計算方法。在聲場中，求解不在結構邊界單元上的任意一點處的聲學結果，通常需要先得到滿足一定條件的Helmholtz微分方程基本解，稱為格林函數，再對滿足格林函數的聲學波動方程進行積分獲得。
作者Cadence CFD 解決方案
關鍵要點
無粘流具有零粘性力，因此形成的邊界層很薄，邊界附近和邊界外的壓力相同。
歐拉方程可以用作無粘流中的邊界層方程，只要指定了所有邊界條件（例如無滑移條件）。
無粘性流動的歐拉方程有助于預測流動行為和湍流的發生，這有利于進行復雜的設計優化。
機翼周圍的無粘性流體流動
粘度是影響流體行為和邊界層形成的關鍵流體特性
Yeung 等 [31] 提出了自由表面隨機渦方法（Free Surface Random Vortex Method, FSRVM），結合船舶 2.5D 理論以及離散渦法，推導出了適用的非線性自由水面邊界條件、瞬時水下物面上不可穿透和無滑移條件、邊界積分方程和載荷的計算公式，建立了可以模擬多體高速船在波浪中多自由度運動響應的數值模型 [32] ，在時域內可預報多體高速船在迎浪或斜浪下的垂蕩和縱搖運動
導讀：
COMSOL Multiphysics 是一款多物理場仿真軟件，用于分析電磁、流體、傳熱、結構力學、聲學、化工等各個領域的實際問題。軟件平臺中的波動光學模塊專注于分析微米和納米光器件，例如：光纖、光柵、光波導、光子晶體、集成光路、激光器、石墨烯、表面等離激元器件等。光器件的分析過程可以包括光與其他物理場的耦合，包括：半導體物理、結構變形、傳熱、電光、磁光、聲光、幾何光學和波動光學的耦合等
，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發點，求出邊界上的未知量；在所導出的邊界積分方程基礎上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數方程組，求解后可獲得邊界上全部節點的函數值和法向導數值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內點函數值的計算表達式，它可以表示成邊界節點值的線性組合。
（4）
代入具體梁的邊界條件，得到積分方程中的待定系數。從而完全確定撓曲線方程。
上述方法稱為微元分析法。該方法在很多工程領域得到了廣泛應用。它表明，一個物體雖然貌似復雜，但是每一個微元所滿足的規律卻是一致的，這是共性。對于微元的規律分析，一般可以得到微分方程。這種微分方程對于復雜結構的任何一點都滿足。
此后，無網格方法迅猛發展，目前不同的無網格方法有十多種：SPH，DEM，EFG，RKPM（再生核質子法），FPM（有限點方法），BNM（邊界節點方法），PU（單位分解），PUFEM（單位分解有限元），HP－Cloud（HP云，或HP覆蓋）， MLPG(無網格局部Petrov－Galerkin方法)，LBIE（局部邊界積分方程方法），MFS（有限球方法），FMM（Free Mesh Method）,NEM
