盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。

顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。

在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區(qū)域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發(fā)現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。

 

邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。

邊界解法和普通有限元法的差別在于：

（1）選擇形狀函數時要滿足式。

（2）只在問題的邊界條件上作出近似。

由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。已證明在某些情況下這使求解更為經濟，從六十年代初期以來，邊界解法與有限元法同時得到迅速發(fā)展，其原因就在于此。邊界解法的第二個優(yōu)點是，現在顯然可以采用處理奇異性及無限域的解析試探函數，從而克服了前述普通有限元法的困難。

邊界解法也有不足之處。顯然，它難以處理非線性及非均質問題，并且最終線性代數方程組的系數矩陣是滿陣（而普通有限元素法的系數矩陣通常是窄帶狀）。很明顯，希望能將這兩種方法“嫁接”起來，以便利用它們的優(yōu)點。

在此，簡要地提及邊界解法的歷史及發(fā)展情況是有意義的。

最重要的分類按選取的試探函數的性質進行。這里存在著兩種選擇的方案：

（a）把具有任意參數a的函數級數疊加起來；

（b）建立表示精確解的邊界積分方程，然后再借助于參數a將其離散化，通常可取邊界上某些點處未知函數的值作為參數a.

第二種方法通常還能保證展開式的完備性，它是目前用得最普遍的方法。我們推薦一篇最近的評述文章，它對于用邊界積分法來處理彈性力學問題及位勢問題等作了基礎性的調查研究。和有限元法的歷史一樣，追溯邊界解法的起源也是困難的。1930年，馮·卡門（von Karman）在研究空氣流動問題時引人了源分布法，這種方法包含著積分方程法的一些基本思想，以后賈斯萬（Jeswon）和西姆（Symm）在位勢理論方面；馬森內特（Massonet）和奧利維拉（Oliveira），克魯斯（Cruse），里佐（Rizzo）以及其它一些研究者在彈性力學方面，又對積分方程法作了進一步的完善?，F在，這種方法在其它領域內已經獲得了廣泛的應用及發(fā)展。

與此同時，級數解法也在發(fā)展，在這方面值得提及的有赫斯（Hess），昆蘭（Quinlan）四及其他一些研究者的工作。這種方法的優(yōu)點是，可以比較自由地選擇能描述奇異性和其它特殊性態(tài)的試探函數，但是一般來說，要滿足完備性條件是相當困難的。

斷裂力學中應用有限元法的問題的本質就是引起裂紋擴展的應力奇異性問題。

裂紋通常在具有奇異性的凹角及固體中總是存在的孔穴處發(fā)生。

從理論上講，在這種奇異點處將出現無限大的應力，而裂紋是否擴展則取決于在離裂紋尖端的一定距離內這一應力衰減的方式。如果應力在比材料原子結構短得多的距離內衰減下來，則它不足以破壞原子間的相互結合力，裂紋不會擴展。

1920年，格里菲斯（Griffiths）提出裂紋擴展的準則，該準則把裂紋擴展的表面積與結構釋放的能量聯系起來了。

艾爾溫（Irwin）建議，在采用裂紋擴展準則時，應當用被稱為應力強度因子的KI這個量，而不要用臨界能量釋放率。然而，如果考慮的只是剛才介紹的I型裂紋，應力強度因子和臨界能量釋放率顯然等價，實際上沒有任何差別。

在有限元分析中，變形能是一個比應力更容易計算的量，所以利用臨界能力釋放率的蓋南更為方便（雖然通常報道的是應力強度因子的臨界值，而不是臨界能量釋放率的臨界值）

一點思考。

在裂紋尖端的一定區(qū)域內，包含的可釋放的能量是有限的。因此裂紋發(fā)展的速率存在最大值