“天地盈虛自有時(shí)”，世間萬(wàn)物的變化都有規(guī)律可循。尋找萬(wàn)物規(guī)律并預(yù)測(cè)未來(lái)是人類(lèi)一直孜孜以求的事情。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)許多問(wèn)題需要使用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。十八世紀(jì)中葉，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們開(kāi)始用偏微分方程（Partial differential equation）描述自然界物理場(chǎng)的變化規(guī)律。

然而，大多數(shù)偏微分方程難以有效求解。數(shù)值方法是應(yīng)用最廣泛的偏微分方程求解方法之一，包括有限元法、有限差分法、有限體積法、邊界元法等。這些方法通過(guò)將偏微分方程離散化為有限維的計(jì)算問(wèn)題，然后使用數(shù)值方法求解這些問(wèn)題的解。

本文簡(jiǎn)要介紹幾種常用的數(shù)值計(jì)算方法。

1. 有限元法（FEM, Finite Element Method）

有限元法是通過(guò)將連續(xù)空間區(qū)域離散為有限個(gè)小單元，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為每個(gè)單元內(nèi)部的局部方程，然后將這些局部方程組合起來(lái)構(gòu)成整個(gè)區(qū)域的方程組，通過(guò)求解方程組從而得到偏微分方程的近似解。關(guān)于有限元法的歷史，可以參考《從無(wú)限到有限：有限元法的誕生》。

有限元法的優(yōu)勢(shì)在于具有高度的適應(yīng)性、靈活性和計(jì)算精度，能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件（特別是對(duì)橢圓型問(wèn)題有更好的適應(yīng)性），可以通過(guò)調(diào)節(jié)有限元的數(shù)量和自由度的精度來(lái)改變求解的近似程度，還可以分析結(jié)構(gòu)的局部細(xì)節(jié)問(wèn)題。

但相比于其他方法，有限元法計(jì)算量大，需要消耗大量算力和時(shí)間；同時(shí)由于對(duì)于網(wǎng)格的質(zhì)量敏感，不適合高度非結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題，也難以處理可壓縮流體等復(fù)雜問(wèn)題。

有限元法是目前工業(yè)軟件領(lǐng)域最常用的數(shù)值方法，可以廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域。比如在結(jié)構(gòu)分析中，可以用于分析結(jié)構(gòu)的剛度、應(yīng)力、振動(dòng)等特性，常用于飛機(jī)、橋梁、建筑物等工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

基于云道智造通用仿真PaaS平臺(tái)伏圖（Simdroid）開(kāi)發(fā)的大型LNG儲(chǔ)罐有限元分析軟件（點(diǎn)擊文字可了解更多），使用有限元法對(duì)LNG儲(chǔ)罐進(jìn)行結(jié)構(gòu)和熱仿真分析

2. 有限差分法（FDM, Finite Difference Method）

有限差分法的基本思想是把求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)來(lái)代替連續(xù)的求解域，并使用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法，把定解問(wèn)題中的微商換成差商，從而把原問(wèn)題離散化為差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解。這是一種將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法。

有限差分法是數(shù)值解法中最經(jīng)典的方法，發(fā)展較早且較為成熟。相比于其他方法，有限差分法較為“簡(jiǎn)單粗暴”，直觀易懂、通用性強(qiáng)，適用于簡(jiǎn)單幾何形狀和均勻網(wǎng)格的問(wèn)題，但難以處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件，且其精度取決于離散化程度。因此在工業(yè)軟件領(lǐng)域，有限差分法的應(yīng)用并不多見(jiàn)。

3. 有限體積法（FVM, Finite Volume Method）

有限體積法又稱有限容積法、控制體積法，將求解域劃分為有限的離散控制體積，對(duì)每個(gè)控制體積內(nèi)部的平衡方程進(jìn)行積分，從而得到一組離散方程，然后通過(guò)求解離散方程組得到近似解。

有限體積法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性，對(duì)邊界條件的處理相對(duì)簡(jiǎn)單；相比于有限元法，對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量要求較低，更容易處理復(fù)雜的幾何體和非均勻網(wǎng)格。

該方法主要應(yīng)用于流體力學(xué)和熱力學(xué)等領(lǐng)域。比如在流體力學(xué)中，可以用于求解不可壓縮流體或可壓縮流體的守恒方程，如Navier-Stokes方程等，常用于流體的流動(dòng)模擬和分析。在進(jìn)行流固耦合分析時(shí)，能夠完美和有限元法進(jìn)行融合。

云道智造伏圖電子散熱（Simdroid EC，點(diǎn)擊文字可申請(qǐng)?jiān)囉茫?/a>是針對(duì)電子元器件、設(shè)備等散熱的專(zhuān)用熱仿真模塊，采用有限體積法求解器，支持流熱耦合計(jì)算，提供高精度的離散計(jì)算方法，同時(shí)結(jié)合電子散熱相關(guān)行業(yè)經(jīng)驗(yàn)，提供高保真的仿真模擬

4. 邊界元法（BEM, Boundary Element Method）

邊界元法是在經(jīng)典積分方程法和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值方法,與有限元法在求解域內(nèi)劃分單元的思想不同，邊界元法只在定義域的邊界上劃分單元，將邊界積分方程離散化為線性代數(shù)方程組，通過(guò)求解這些方程組得到邊界節(jié)點(diǎn)物理量。

邊界元法只需要在邊界上進(jìn)行離散，降低了求解問(wèn)題的維數(shù)，減少了計(jì)算的自由度，計(jì)算速度快、精度高；對(duì)無(wú)窮邊界或邊界條件占主導(dǎo)的問(wèn)題具有較好的適用性，但較難應(yīng)用在非均勻介質(zhì)問(wèn)題或大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題。

作為一種準(zhǔn)確而高效的計(jì)算方法，邊界元法廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析、電磁場(chǎng)分析、流體力學(xué)等工程領(lǐng)域。比如在結(jié)構(gòu)分析中，邊界元法在解決彈性、彈塑性、斷裂力學(xué)等方面具有很大優(yōu)勢(shì)；在電磁場(chǎng)分析中，可以用于求解靜電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電磁場(chǎng)耦合等問(wèn)題，提供各種電場(chǎng)特性如電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度、電流分布等信息。

數(shù)值方法不一而足，每種方法在求解不同類(lèi)型問(wèn)題時(shí)各具優(yōu)缺點(diǎn)。除上述幾種方法，還有物質(zhì)點(diǎn)法（適合模擬涉及材料特大變形和斷裂破碎等問(wèn)題）、譜方法（適合計(jì)算流體力學(xué)復(fù)雜流場(chǎng)問(wèn)題）、時(shí)域有限差分（適合求解電磁波場(chǎng)分布）、格子玻爾茲曼（求解CFD問(wèn)題）、絕對(duì)坐標(biāo)法（求解多體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題）等。

各種數(shù)值方法并非只能單獨(dú)使用，通常會(huì)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題選擇適合的方法組合使用，以獲得更精確、穩(wěn)定、高效的解決方案。

工業(yè)軟件也是如此。

云道智造自主研發(fā)的通用多物理場(chǎng)仿真PaaS平臺(tái)伏圖（Simdroid，點(diǎn)擊文字可申請(qǐng)?jiān)囉茫?/span>具備多種自主可控的通用求解器，支持多物理場(chǎng)耦合仿真。其中隱式結(jié)構(gòu)、顯式動(dòng)力學(xué)、熱、低頻電磁、高頻電磁等模塊采用有限元法，流體、電子散熱模塊采用有限體積法，多體動(dòng)力學(xué)模塊采用絕對(duì)坐標(biāo)法。下一步，將在高頻電磁模塊引入邊界元法和時(shí)域有限差分。此外，采用有限元法和邊界元法的聲學(xué)模塊、采用有限元法的電化學(xué)模塊以及采用物質(zhì)點(diǎn)法的物質(zhì)點(diǎn)3D模塊都在開(kāi)發(fā)中。

參考資料：

• 《微分方程數(shù)值求解——有限差分法》https://zhuanlan.zhihu.com/p/411798670
• 《有限元（FEM) 、有限差分(FDM)和有限體積（FVM) 的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)》https://blog.csdn.net/weixin_42437828/article/details/80785602
• 《數(shù)值計(jì)算的六大方法》https://zhuanlan.zhihu.com/p/435342013
• 《一篇文章入門(mén)“求解器”開(kāi)發(fā)(全篇)》http://www.yqgqt.org.cn/post/1908094