機床作為工業母機是裝備制造業的核心和基礎，高端數控機床更是制造業升級發展的引擎。我國高端制造行業需要高速、高精、多軸聯動的高檔數控機床，《中國制造2025》戰略綱領中明確指出，至2025年中國機床數控化率將提升至60%以上。而高端產品的國產化率目前仍然低于10%，數控化率提升空間巨大。同時隨著下游產業的不斷升級發展，國產數控機床行業加速發展，尤其是高端數控機床需求旺盛，實現數控機床核心零部件技術的國產替代是行業亟待解決的瓶頸問題。隨著數控機床產業的發展和人們環保理念的提高，機床運行過程中的噪聲污染越來越受到重視，噪聲是檢驗機床產品合格與否的重要指標之一。

目前，有限元、邊界元方法在求解聲學問題中被廣泛應用。其中，聲學邊界元法只需在結構邊界建模，可以極大減少分析對象，并且邊界積分方程的基本解自動滿足無窮遠處的邊界條件，非常適合處理電機振動聲輻射問題。

PERA SIM AcousticBEM是安世亞太自主開發的一款聲學邊界元分析軟件，基于PERA SIM通用仿真軟件架構，可以實現與結構、電磁、聲學等物理場的耦合分析計算。AcousticBEM聲學邊界元模塊結合了快速多極子、自適應交叉逼近等算法，在計算精度得到保證的前提下，效率上也實現了若干數量級的提升。

本文借助聲學邊界元軟件中的快速自適應交叉逼近算法完成了電機全空間振動聲輻射分析，展現了軟件豐富的操作功能，并且與國際成熟軟件的聲場計算結果對比，驗證了快速算法的準確性，為學者和工程師提供了聲學分析的一種新方法。

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1.1聲學波動方程

通過聲波連續性方程、聲波運動方程、理想氣體狀態方程，得到了著名的Helmholtz聲學波動方程： 

式中：拉普拉斯算子

；

為聲波在流體介質中的傳播速度；

c與時間t的關系為；

為氣體定壓比熱容與定容比熱容之比，；

P為流體中的總聲壓；

分別為靜態情況下的聲壓、密度；

q為微元體內單位體積的體積速度。

1.2聲學邊界條件

對于Helmholtz聲學波動方程，只要確定邊界條件，其解就是唯一的。穩態聲場的邊界條件一般分為三類：

(1) 已知結構表面的聲壓（Dirichlet邊界）；

(2) 已知結構表面的法向振動速度（Neuman邊界）；

(3) 已知結構表面的法向阻抗（Robin邊界）。

對于特定聲學問題，三種類型的邊界條件可以同時存在于同一模型中；對于外部聲學問題，聲場在無窮遠處還應該滿足Sommerfeld輻射條件，即無限遠處不存在反射聲波。

本次機床主軸電機的結構振動聲輻射案例，就是將電機結構計算后表面的振動速度，轉換成電機表面的聲壓邊界，并且映射到空氣表面的聲邊界面上，完成電機運行時的振動聲輻射問題的分析。

1.3聲學邊界元

對于上述的聲學波動方程，可以用數值方法得到其滿足邊界條件的解。常用的數值方法有聲學有限元法和聲學邊界元法。

聲學有限元法是采用整個分析域的離散，但隨著聲學仿真模型的日益精細與龐大，網格劃分費時費力；對于無限域聲學問題，有限元方法還需要結合一些特殊的方法進行問題轉換。相比聲學有限元，聲學邊界元法有如下幾方面明顯的優勢：

(1) 只需在結構邊界上劃分單元，建模簡單、單元數目少；

(2) 只需在邊界面上進行離散和計算，將三維問題轉化為二維問題，達到了降維的效果；

(3) 邊界積分方程直接采用解析形式的基本解，計算精度更高；

(4) 基本解自動滿足無窮遠處邊界條件，適合處理無限域問題。

1.4聲學積分方程

跟有限元法、有限差分法等基于微分方程方法不同，聲學邊界元是基于積分方程的數值計算方法。在聲場中，求解不在結構邊界單元上的任意一點處的聲學結果，通常需要先得到滿足一定條件的Helmholtz微分方程基本解，稱為格林函數，再對滿足格林函數的聲學波動方程進行積分獲得。

邊界元法雖然較有限元而言，減少了網格、降低了問題維數，但計算時由于系數矩陣是滿秩矩陣，計算存儲量、計算效率上，并沒有明顯優勢。

1.5快速算法

快速算法是解決傳統邊界元的存儲、計算效率問題，最為有效、應用最廣泛的一種快速邊界元方法。

AcousticBEM提供的快速算法包括：快速直接法、快速多極子、快速自適應、快速高頻算法，適用于計算不同規模、不同頻率范圍的聲學問題；針對電機模型的規模大小，采用快速自適應法能保證計算精度的同時，實現最高效的求解效率。下面我們就基于PERA SIM AcousticBEM的快速自適應聲學求解功能，完成機床主軸電機振動輻射聲場分析。