邊界積分方程的案例
計(jì)算流體力學(xué)常用的五大類數(shù)值方法簡(jiǎn)介
利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程，然后組合成總體有限元方程，考慮邊界條件后進(jìn)而求解。由于單元的幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構(gòu)造基函數(shù)可以遵循相同的法則，每個(gè)單元的有限元方程都具有相同的形式，可以用標(biāo)準(zhǔn)化的格式表示，其求解步驟也就變得很規(guī)范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變，這就為利用計(jì)算機(jī)編制通用程序進(jìn)行求解帶來(lái)了方便。
有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于求解區(qū)域的單元剖分沒(méi)有特別的限制，因此特別適合處理具有復(fù)雜邊界流場(chǎng)的區(qū)域。
邊界元法
邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的求解微分方程的數(shù)值方法，其基本思想是：將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用加權(quán)余量法并應(yīng)用格林函數(shù)導(dǎo)出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數(shù)值和法向?qū)?shù)值在邊界上的積分關(guān)系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點(diǎn)，求出邊界上的未知量；在所導(dǎo)出的邊界積分方程基礎(chǔ)上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數(shù)方程組，求解后可獲得邊界上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算表達(dá)式，它可以表示成邊界節(jié)點(diǎn)值的線性組合。
邊界元法的優(yōu)點(diǎn)是：
(1) 將全解域的計(jì)算化為解域邊界上的計(jì)算，使求解問(wèn)題的維數(shù)降低了一維，減少了計(jì)算工作量；
(2) 能夠方便地處理無(wú)界區(qū)域問(wèn)題。
展開 加權(quán)余量法之微分方程的等效積分形式
微分方程的等效積分形式
已知：微分方程組
（1）
且，
應(yīng)滿足邊界條件：
（2）
表示對(duì)獨(dú)立變量（時(shí)間，空間）的微分算子
即：
因此有：
（3）
這里 ,表示函數(shù)向量，它是一組與微分方程個(gè)數(shù)相等的函數(shù)。
*（3）式是微分方程組（1）完全等效的積分形式。
同樣，在邊界上：
（4）
結(jié)合（3）式和（4）式：
（5）
則（5）式是等效于滿足微分方程（1）和邊界條件（2）的積分形式。當(dāng)然（5）
必須是可積的。
展開 MLPG邊界積分的問(wèn)題
在圖示的情況下如何經(jīng)行Gamma_s積分，積分點(diǎn)域內(nèi)的還是邊界上的，用哪里的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造形函數(shù)
單位脈沖函數(shù)及卷積（杜哈梅積分）——從常微分方程的解出發(fā)理解
在信號(hào)與系統(tǒng)中，單位脈沖函數(shù)的最大的作用是引出了卷積積分的定義。筆者是通過(guò)鄭君里的《信號(hào)與系統(tǒng)》了解這一點(diǎn)的，但是我覺(jué)得該書相關(guān)推導(dǎo)過(guò)于復(fù)雜，不易理解。另一方面，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程起著至關(guān)重要的作用，可以說(shuō)是理解結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基石。在這門學(xué)科中，比較注重方程的解，相關(guān)理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數(shù)微分方程的解出發(fā)，深入理解卷積的內(nèi)涵。
-----LTI系統(tǒng)響應(yīng)的分類-----
傳統(tǒng)來(lái)說(shuō)，LTI系統(tǒng)常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態(tài)解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
鄭君里P62給出了一個(gè)一階微分方程的解按齊次/非齊次、零狀態(tài)/零輸入分類的例子，為理解方便起見(jiàn)，我在其中略有備注：
-----二階方程的解：杜哈梅積分（卷積）-----
對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中經(jīng)典的彈簧振子系統(tǒng)，其具有二階微分方程：
直接求解該方程的完全解是很難的，只能寫出其齊次通解（王新敏P46式3-10），該通解的系數(shù)由初始條件決定：
杜哈梅解決了這個(gè)問(wèn)題（我猜他這么解決的），并發(fā)展出了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的杜哈梅積分，其實(shí)就是卷積。我們不妨以觀棋者的視角來(lái)理解下這個(gè)思路：由前所知，LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)解是可疊加的，那么不妨認(rèn)為該方程的解可以由無(wú)數(shù)個(gè)特定的零狀態(tài)解疊加而成。如果將F(t)當(dāng)成成無(wú)數(shù)個(gè)單位脈沖激勵(lì)的疊加，那么只要求出方程在單位脈沖激勵(lì)下的零狀態(tài)解，就可以按照一定方式將它們加起來(lái)（積分）即可。單位脈沖激勵(lì)下的零狀態(tài)方程為（王新敏P206）：
然而，要求出該方程的解仍然是困難的，其實(shí)難度沒(méi)變，只是現(xiàn)在激勵(lì)變成單位脈沖激勵(lì)了，性質(zhì)上仍然是求二階非齊次常微分方程。
展開 
基于PERA SIM的機(jī)床主軸電機(jī)輻射聲場(chǎng)分析
本次機(jī)床主軸電機(jī)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射案例，就是將電機(jī)結(jié)構(gòu)計(jì)算后表面的振動(dòng)速度，轉(zhuǎn)換成電機(jī)表面的聲壓邊界，并且映射到空氣表面的聲邊界面上，完成電機(jī)運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)聲輻射問(wèn)題的分析。
1.3聲學(xué)邊界元
對(duì)于上述的聲學(xué)波動(dòng)方程，可以用數(shù)值方法得到其滿足邊界條件的解。常用的數(shù)值方法有聲學(xué)有限元法和聲學(xué)邊界元法。
聲學(xué)有限元法是采用整個(gè)分析域的離散，但隨著聲學(xué)仿真模型的日益精細(xì)與龐大，網(wǎng)格劃分費(fèi)時(shí)費(fèi)力；對(duì)于無(wú)限域聲學(xué)問(wèn)題，有限元方法還需要結(jié)合一些特殊的方法進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換。相比聲學(xué)有限元，聲學(xué)邊界元法有如下幾方面明顯的優(yōu)勢(shì)：
(1) 只需在結(jié)構(gòu)邊界上劃分單元，建模簡(jiǎn)單、單元數(shù)目少；
(2) 只需在邊界面上進(jìn)行離散和計(jì)算，將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，達(dá)到了降維的效果；
(3) 邊界積分方程直接采用解析形式的基本解，計(jì)算精度更高；
(4) 基本解自動(dòng)滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界條件，適合處理無(wú)限域問(wèn)題。
1.4聲學(xué)積分方程
跟有限元法、有限差分法等基于微分方程方法不同，聲學(xué)邊界元是基于積分方程的數(shù)值計(jì)算方法。在聲場(chǎng)中，求解不在結(jié)構(gòu)邊界單元上的任意一點(diǎn)處的聲學(xué)結(jié)果，通常需要先得到滿足一定條件的Helmholtz微分方程基本解，稱為格林函數(shù)，再對(duì)滿足格林函數(shù)的聲學(xué)波動(dòng)方程進(jìn)行積分獲得。
邊界元法雖然較有限元而言，減少了網(wǎng)格、降低了問(wèn)題維數(shù)，但計(jì)算時(shí)由于系數(shù)矩陣是滿秩矩陣，計(jì)算存儲(chǔ)量、計(jì)算效率上，并沒(méi)有明顯優(yōu)勢(shì)。
展開 CFD學(xué)習(xí)：無(wú)粘流中的邊界層方程
作者Cadence CFD 解決方案
關(guān)鍵要點(diǎn)
無(wú)粘流具有零粘性力，因此形成的邊界層很薄，邊界附近和邊界外的壓力相同。
歐拉方程可以用作無(wú)粘流中的邊界層方程，只要指定了所有邊界條件（例如無(wú)滑移條件）。
無(wú)粘性流動(dòng)的歐拉方程有助于預(yù)測(cè)流動(dòng)行為和湍流的發(fā)生，這有利于進(jìn)行復(fù)雜的設(shè)計(jì)優(yōu)化。
機(jī)翼周圍的無(wú)粘性流體流動(dòng)
粘度是影響流體行為和邊界層形成的關(guān)鍵流體特性。粘度導(dǎo)致流動(dòng)流體的速度在與固體表面接觸并受到摩擦力時(shí)減慢。速度從自由流下降到表面附近的零，形成薄層，稱為邊界層。
但是當(dāng)流體沒(méi)有任何粘性時(shí)會(huì)發(fā)生什么？在無(wú)粘流中，沒(méi)有粘性意味著形成的邊界層很薄，可以認(rèn)為不存在，即表面附近和表面以外的壓力相同。但是固體表面仍然影響流動(dòng)。在本文中，我們將研究無(wú)粘流中的邊界層方程，以探索邊界條件如何影響流體行為以及 CFD 如何幫助分析這種行為。
無(wú)粘流和邊界條件
無(wú)粘流是指粘性力可以忽略不計(jì)的流體流動(dòng)類型，即流體與接觸表面之間的摩擦力為零。因此，在這種流動(dòng)中沒(méi)有剪應(yīng)力，在分析過(guò)程中只能考慮法向應(yīng)力。此類流動(dòng)模型可用于流體應(yīng)用中流動(dòng)行為的理論分析，包括空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)、天氣模式預(yù)測(cè)或流體動(dòng)力學(xué)分析。
由于缺乏粘性，無(wú)粘性流動(dòng)的邊界層方程不適用。在這種情況下，只要適當(dāng)指定邊界條件，就可以使用歐拉方程分析流場(chǎng)。歐拉方程基于無(wú)粘性流動(dòng)的無(wú)滑移邊界條件，這表明邊界處的流體速度為零。
一般的邊界層方程可以用Navier-Stokes 方程表示：
此處，ν 是運(yùn)動(dòng)粘度，ρ 是流體密度，P 是流體的壓力。u 1和u 2分別 是沿方向x 1和x 2的速度。
對(duì)于無(wú)粘流，上式可以簡(jiǎn)化為：
U 是流體的速度。
上述歐拉方程有助于理解非粘性流動(dòng)時(shí)邊界附近的速度和壓力分布。靠近表面的速度很低，并在上游不斷增加，直到達(dá)到自由流速度。
展開 COMSOL光器件仿真，掌握這些控制方程和邊界條件就夠了
邊界模式分析中，需要設(shè)置模式分析頻率為f0，并輸入模式搜索基準(zhǔn)值為芯層的折射率n_core。頻域中，需要輸入頻率f0。
到此為止，模型的設(shè)置都完成了，點(diǎn)擊計(jì)算按鈕進(jìn)行計(jì)算。默認(rèn)的電場(chǎng)分布圖如下。
可以發(fā)現(xiàn)，入射光沿著高折射率的芯層傳輸，在包層與芯層的界面上，有部分光漏出，但很快衰減為零。
電場(chǎng)的偏振方向?yàn)榇怪狈抡嫫矫娴膠方向，觀察電場(chǎng)的z分量。
圖中紅色為波峰，藍(lán)色為波谷，在結(jié)果圖中可以非常直觀地看到光波是如何傳播的。
五、COMSOL光器件仿真
光器件的發(fā)展日新月異，所涉及到的理論也越來(lái)越多，但萬(wàn)變不離其宗，只要掌握了每個(gè)光器件的控制方程和邊界條件，就可以在COMSOL中進(jìn)行仿真。無(wú)論是使用傳統(tǒng)的麥克斯韋方程組，還是自定義的偏微分方程，都可以在COMSOL界面中實(shí)現(xiàn)，不需要任何編程。
展開 推薦 無(wú)網(wǎng)格法(精)
編輯推薦
目錄
前言
第1章 緒論
第2章 緊支試函數(shù)加權(quán)殘量法
1 加權(quán)殘量法
2 緊支近似函數(shù)
3 一維移動(dòng)最小二乘近似的MATLAB程序
第3章 伽遼金型無(wú)網(wǎng)格法
1 基本原理
2 積分方案
3 位移邊界條件的處理
4 無(wú)網(wǎng)格塊體-夾層模型
5 FEM和EFG的耦合
6 伽遼金型無(wú)網(wǎng)格法程序流程圖及一維MATLAB程序
第4章 配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法
1 配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法的基本原理
2 配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法的穩(wěn)定方案
3 最小二乘配點(diǎn)無(wú)網(wǎng)格法
4 伽遼金配點(diǎn)無(wú)網(wǎng)格法
5 Hermite配點(diǎn)法
6 雙重網(wǎng)格配點(diǎn)法
7 光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)方法
8 配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法程序流程圖及一維MATLAB程序
第5章 基于局部弱形式和邊界積分方程的無(wú)網(wǎng)格法
第6章 最小二乘型無(wú)網(wǎng)格法
第7章 面向?qū)ο蟮臒o(wú)網(wǎng)格法程序設(shè)計(jì)方法
第8章 無(wú)網(wǎng)格法的應(yīng)用
展開 無(wú)網(wǎng)格方法的簡(jiǎn)介
Lucy L B，Gingold R A， Monaghan J J等,使用SPH方法模擬無(wú)邊界的天體現(xiàn)象，這是最早的無(wú)網(wǎng)格方法。在SPH方法中，近似函數(shù)使用核（kerne）近似，方程離散使用配點(diǎn)法，其精度比較低，并且容易出現(xiàn)不穩(wěn)定性。
在隨后的15年里，無(wú)網(wǎng)格的發(fā)展處于停滯狀態(tài)。直到1992年，Nayroles使用移動(dòng)最小二乘法（MLS）進(jìn)行節(jié)點(diǎn)近似，并使用Galerkin方法進(jìn)行邊值問(wèn)題求解，他稱這種方法為Diffuse Element Method（DEM）。在DEM中，只需要分布的節(jié)點(diǎn)和邊界描述，不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分，這也正是“無(wú)網(wǎng)格”的由來(lái)。
1994年，西北大學(xué)的Belytschko教授同樣使用MLS進(jìn)行節(jié)點(diǎn)近似，但考慮了在DEM中忽略的形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的某些項(xiàng)，并使用Lagrange乘子施加本質(zhì)邊條，稱其為無(wú)單元伽遼金方法（EFG）。EFG比DEM精確，在許多領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用，特別是在裂縫生長(zhǎng)，晶體生長(zhǎng)，大變形的等問(wèn)題中。此后，無(wú)網(wǎng)格方法迅猛發(fā)展，目前不同的無(wú)網(wǎng)格方法有十多種：SPH，DEM，EFG，RKPM（再生核質(zhì)子法），F(xiàn)PM（有限點(diǎn)方法），BNM（邊界節(jié)點(diǎn)方法），PU（單位分解），PUFEM（單位分解有限元），HP－Cloud（HP云，或HP覆蓋）， MLPG(無(wú)網(wǎng)格局部Petrov－Galerkin方法)，LBIE（局部邊界積分方程方法），MFS（有限球方法），F(xiàn)MM（Free Mesh Method）,NEM（自然元）等等。
無(wú)網(wǎng)格方法的一個(gè)重要貢獻(xiàn)就是，不僅在于其本身，對(duì)于有限元，有限差分的推動(dòng)作用也是非常大的。如單位分解有限元，使得有限元的精度大大提高，不再是C0的了。廣義有限元和廣義有限差分的出現(xiàn)也是由于無(wú)網(wǎng)格的推動(dòng)作用。
無(wú)網(wǎng)格方法出現(xiàn)之前，有限元方法是固體和結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法。
展開 簡(jiǎn)述幾種常用數(shù)值方法的優(yōu)勢(shì)及適用性
相比于其他方法，有限差分法較為“簡(jiǎn)單粗暴”，直觀易懂、通用性強(qiáng)，適用于簡(jiǎn)單幾何形狀和均勻網(wǎng)格的問(wèn)題，但難以處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件，且其精度取決于離散化程度。因此在工業(yè)軟件領(lǐng)域，有限差分法的應(yīng)用并不多見(jiàn)。
3. 有限體積法（FVM, Finite Volume Method）
有限體積法又稱有限容積法、控制體積法，將求解域劃分為有限的離散控制體積，對(duì)每個(gè)控制體積內(nèi)部的平衡方程進(jìn)行積分，從而得到一組離散方程，然后通過(guò)求解離散方程組得到近似解。
有限體積法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性，對(duì)邊界條件的處理相對(duì)簡(jiǎn)單；相比于有限元法，對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量要求較低，更容易處理復(fù)雜的幾何體和非均勻網(wǎng)格。
該方法主要應(yīng)用于流體力學(xué)和熱力學(xué)等領(lǐng)域。比如在流體力學(xué)中，可以用于求解不可壓縮流體或可壓縮流體的守恒方程，如Navier-Stokes方程等，常用于流體的流動(dòng)模擬和分析。在進(jìn)行流固耦合分析時(shí)，能夠完美和有限元法進(jìn)行融合。
云道智造伏圖電子散熱（Simdroid EC，點(diǎn)擊文字可申請(qǐng)?jiān)囉茫┦轻槍?duì)電子元器件、設(shè)備等散熱的專用熱仿真模塊，采用有限體積法求解器，支持流熱耦合計(jì)算，提供高精度的離散計(jì)算方法，同時(shí)結(jié)合電子散熱相關(guān)行業(yè)經(jīng)驗(yàn)，提供高保真的仿真模擬
4. 邊界元法（BEM, Boundary Element Method）
邊界元法是在經(jīng)典積分方程法和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值方法,與有限元法在求解域內(nèi)劃分單元的思想不同，邊界元法只在定義域的邊界上劃分單元，將邊界積分方程離散化為線性代數(shù)方程組，通過(guò)求解這些方程組得到邊界節(jié)點(diǎn)物理量。
展開 斷裂力學(xué)與有限元法、邊界元法
因此，本章的任務(wù)就是論述如何在數(shù)值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問(wèn)題轉(zhuǎn)變（或簡(jiǎn)單地修正一下，以避免無(wú)限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細(xì)地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當(dāng)邊界解法的所有長(zhǎng)處均可在有限元分析中得到保留。我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里所用的一些方法和第十二章中推導(dǎo)各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質(zhì)是；按標(biāo)準(zhǔn)形式為未知函數(shù)選擇一組試試探函數(shù)。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數(shù)時(shí)要滿足式。</p><p>（2）只在問(wèn)題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現(xiàn)在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數(shù)的數(shù)目可以比準(zhǔn)有限元法所用的少很多。已證明在某些情況下這使求解更為經(jīng)濟(jì)，從六十年代初期以來(lái)，邊界解法與有限元法同時(shí)得到迅速發(fā)展，其原因就在于此。邊界解法的第二個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，現(xiàn)在顯然可以采用處理奇異性及無(wú)限域的解析試探函數(shù)，從而克服了前述普通有限元法的困難。</p><p>邊界解法也有不足之處。顯然，它難以處理非線性及非均質(zhì)問(wèn)題，并且最終線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是滿陣（而普通有限元素法的系數(shù)矩陣通常是窄帶狀）。很明顯，希望能將這兩種方法“嫁接”起來(lái)，以便利用它們的優(yōu)點(diǎn)。</p><p>在此，簡(jiǎn)要地提及邊界解法的歷史及發(fā)展情況是有意義的。</p><p>最重要的分類按選取的試探函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行。這里存在著兩種選擇的方案：</p><p>（a）把具有任意參數(shù)a的函數(shù)級(jí)數(shù)疊加起來(lái)；</p><p>（b）建立表示精確解的邊界積分方程，然后再借助于參數(shù)a將其離散化，通常可取邊界上某些點(diǎn)處未知函數(shù)的值作為參數(shù)a.</p><p>第二種方法通常還能保證展開式的完備性，它是目前用得最普遍的方法。
展開 
【綜述】船舶在波浪上縱向運(yùn)動(dòng)與控制研究
Yeung 等 [31] 提出了自由表面隨機(jī)渦方法（Free Surface Random Vortex Method, FSRVM），結(jié)合船舶 2.5D 理論以及離散渦法，推導(dǎo)出了適用的非線性自由水面邊界條件、瞬時(shí)水下物面上不可穿透和無(wú)滑移條件、邊界積分方程和載荷的計(jì)算公式，建立了可以模擬多體高速船在波浪中多自由度運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的數(shù)值模型 [32] ，在時(shí)域內(nèi)可預(yù)報(bào)多體高速船在迎浪或斜浪下的垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)、自由表面興波以及運(yùn)動(dòng)控制裝置的減搖減蕩作用。Jiang等 [33] 在整體模型中建立了各個(gè)運(yùn)動(dòng)控制裝置的子模型，子模型根據(jù)多體船狀態(tài)計(jì)算運(yùn)動(dòng)控制裝置作用于多體船的載荷，并將載荷傳遞到多體船總的運(yùn)動(dòng)方程中。該方法提出的數(shù)值模型采用了一種虛擬的擴(kuò)展速度概念，用來(lái)模擬船舶航速對(duì)二維平面流體的影響。
圖 1 和圖 2 所示為二維計(jì)算平面模型和擴(kuò)展速度的示意圖。船舶在穿過(guò)某一固定平面時(shí)，與平面相切的船體輪廓會(huì)不斷發(fā)生變化，當(dāng)前時(shí)刻物面上的流體微團(tuán)會(huì)被推至下一時(shí)刻的物面上，以滿足不可穿透條件。該方法以無(wú)網(wǎng)格的方式，高效地求解了這一復(fù)雜問(wèn)題，有效克服了數(shù)值黏性和畸形單元等問(wèn)題。作為一種降階方法，其與傳統(tǒng)網(wǎng)格化計(jì)算流體力學(xué)方法相比，在計(jì)算時(shí)間上具有很大優(yōu)勢(shì)，同時(shí)保持了較高的計(jì)算精度。
展開 CAE系列之2—用常微分方程來(lái)表達(dá)客觀規(guī)律
要得到撓曲線方程，需要對(duì)該方程進(jìn)行積分。積分一次得到曲線上任意一點(diǎn)的轉(zhuǎn)角方程
再積分一次得到撓曲線方程
該方程中含有待定系數(shù)c和d,具體是多少，這依據(jù)不同的邊界條件（即該梁如何與外界連接）來(lái)確定。例如，對(duì)于本文最前面給出來(lái)的懸臂梁，其固定端點(diǎn)既沒(méi)有撓度，也不會(huì)有轉(zhuǎn)角，也就是說(shuō)
代入上式就可以得到兩個(gè)方程，這兩個(gè)方程中含有c和d。兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，是可以求解的，從而可以完全確定c和d.這樣，該梁的撓曲線方程就完全確定了。
上述方法的基本思想是：要想知道整根梁的變形是很困難的，于是從一個(gè)微元出發(fā)來(lái)考察受力與變形的關(guān)系。對(duì)于每一個(gè)微元而言，所給出的彎矩與撓度的關(guān)系式一個(gè)微分方程。這個(gè)微分方程具有普適性，就是說(shuō)，無(wú)論是懸臂梁，還是簡(jiǎn)支梁，還是外伸梁，或者是實(shí)踐中任意的一段微梁，它都適用。
既然該方程對(duì)于任意的微梁都適用，那么為什么不同的梁其撓曲線不同呢？從物理上來(lái)說(shuō)，是因?yàn)椴煌牧簬缀纬叽绮挥茫?em>邊界條件不同。而從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，如果不給定邊界條件，則只能根據(jù)微梁得到含有待定系數(shù)C和D的積分方程。既然含有待定系數(shù)，則撓曲線是一簇曲線，具體是什么未知。而一旦給定邊界條件，則可以確定待定系數(shù)，從而撓曲線就成為定解。
上述方法總結(jié)為下面幾個(gè)步驟：
（1）
取微段
（2）
根據(jù)該微段所滿足的幾何，物理，平衡關(guān)系推出微段滿足的力-位移關(guān)系的方程。該方程是常微分方程。
（3）
對(duì)上述微分方程積分得到含有待定系數(shù)的積分方程。
（4）
代入具體梁的邊界條件，得到積分方程中的待定系數(shù)。從而完全確定撓曲線方程。
上述方法稱為微元分析法。該方法在很多工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。
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