歐拉法
關注創建者：活潑可男_matlab教學 創建時間：2023-02-14
歐拉法的視頻教程
Abaqus Umat視頻教程---隱式回映算法編寫彈塑性本構
彈塑性本構的應力更新主要分為顯式算法和隱式算法，顯式算法也稱為向前歐拉算法，隱式算法又稱向后歐拉法。向前歐拉法計算效率高，簡單方便，不需要迭代，但是需要合適的校正系統，否則會引起誤差的累積。而隱式算法作為更為精準的計算方法，得到廣泛的應用。
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Lsdyna二次開發umat主程序和用戶材料子程序的調用邏輯及材料子程序參數講解
后期，還將推出Ls-dyna二次開發系列課程，課程主要講解內容：包括Ls-dyna二次開發的主要流程；Ls-dyna二次開發環境搭建(R5,R8,R13版本)；二次開發中涉及到的彈塑性力學知識；Fortran編程基礎及子程序debug技巧；各類應力更新方案，包括隱式迭代算法(Newton-Raphson)，向前歐拉法，修正向前歐拉法，嚴格增量法，帶自動誤差控制的子步法，半徑回歸方法，顯隱式結合算法等
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歐拉法的實例教程
流固耦合包含一般耦合、任意偶合，且采用拉格朗日法與歐拉法分別描述固體與流體的運動。拉格朗日的元素節點依附在材料上，節點隨著材料質點作運動，故各物理量也作用在節點上隨材料流動而變化。相反，除任意耦合外，歐拉元素網格與節點不隨時間而變，其物理量雖也作用在歐拉元素節點上，但對于通過歐拉元素面的各時間的質量、動量與能量的進與出，加之模擬，即模擬元素面的材料流，而不模擬各材料質點的時間歷程。因為對一般固體材料，要模擬各材料質點的時間歷程，因此大多用拉格朗日法。而對于流體不需要模擬材料質點的時間歷程，故采用歐拉法，歐拉法需用三維的計算域、三維的體元素與通用材料。此外，歐拉法容許一個元素內含有兩種以上的材料，這就是模擬計算材料流的擴散與混合行為。
拉格朗日法與歐拉法是對運動現象的兩類不同的數學描述，可說是分別對材料質點流與空間流之描述。拉格朗日法與歐拉法之元素網格可在同一計算模型內，但拉格朗日法的元素與歐拉法的元素分別擁有節點，只采用介面(interface)，稱為耦合面，才能將兩者連結在一起；否則，縱使兩者在空間內相互重疊，也彼此不相干，即忽視對方之存在。
1 拉格朗日法
對固定的坐標系而言，拉格朗日元素的節點可相對地運動。因節點系附在材料上，故材料連續體之節點系一起隨著材料質點流而運動。各拉格朗日元素的質量是不變量(invariant)，但其元素體積可隨時間而改變。此外，速度、壓力強度或質量密度等物理量系作用在拉格朗日元素的節點上，因此，各物理量系隨著材料流(material flow)而改變。因對固體材料之行為， 較須追蹤各材料質點之時間歷程，故適宜采用拉格朗日法。拉格朗日法也適宜用以分析材料破壞(failure)或應變硬化(strain hardening)問題。
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采用耦合歐拉-拉格朗日法對攪拌摩擦焊接攪拌頭下扎過程進行Abaqus數值模擬。
（1）拉格朗日法
該方法著眼于流體質點，把流體質點的物理量表示為拉格朗日坐標與時間的函數。拉格朗日法跟蹤的是流體質點，因此其坐標（a,b,c）不隨時間(T)的變化。若以 表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日法的數學表示方式為：
(a,b,c)更像是對流體質量的標號，如果t時刻的質點的位置以r表示，則：
表示拉格朗日坐標為(a,b,c)的流體質點在t時刻處于r，即空間點(x,y,z)的位置。
（2）歐拉法
歐拉法著眼于空間點，也叫空間描述法，即流體的物理量隨空間點及時間變化。把流體物理量表示為歐拉坐標及時間的函數。當某時刻物理量在空間分布確定，我們就是物理量在此空間形成了一個場，也就是說歐拉法實際上描述了物理量的場。歐拉的數學表達式為：
(x,y,z)就是空間的坐標。例如流體速度可以表示為：
它表示空間點(x,y,z)上t時刻的流體速度。
（3）隨體導數
拉格朗日法描述中，物理量隨體導數就是質量(a,b,c)的物理量對時間的導數，比如說速度及加速度的表達：
在歐拉法描述中， 并不表示隨體導數，它只是表示物理量在空間點（x,y,z)隨時間的變化規律，因為隨體導數針對的對象是流體質點，而不是空間點，因此還需要考慮空間點(x,y,z)隨時間的變化。所以物理量隨體導數的歐拉表示方法為：
簡化后可以表示為：
這是流體力學十分重要的基本公式。方程右邊第一項為遷移加速度/局部導數，表示該空間點物理量隨時間的變化規律；第二項為當地加速度/位變導數項，它是物理量不定常性引起，由空間位置變化引起的物理量變化律。
雷諾輸運定理
隨體導數后，我們如何去描述流體性質的變化，這就需要用到雷諾輸運定理。在介紹這個定理前，我們首先要知道控制體與系統。
展開 本文利用 cohesive element 模擬兩個粘接的物體受剪破壞，利用的本構模型是Coulomb模型，有限元實現算法是帶有返回功能的前歐拉法（Crisfield在1991出版的Non-linear finite element analysis of solid and structure中的第6章有提到），軟件是abaqus，子程序為UMAT。
這種有限元模型主要應用在在膠合破壞的預測，比如磚結構的水泥砂漿、纖維復合材料加固結構中復合材料的剝落、多層玻璃的脫膠以及夾層板的滑移等等?？梢哉f，與膠有關的結構都可以試著利用cohesive單元模擬，所以開發cohesive單元的本構模型是很多領域的熱點，因為相比起固體單元，cohesive單元的發展相對較晚。
和tension cut-off那篇一樣，我用前歐拉法推導出的tangent stiffness和Lourenco（1997）用后歐拉法推導出的tangent stiffness是一樣的。
Coulomb的返回算法：
視頻結果詳見：https://zhuanlan.zhihu.com/p/113150354
模擬結果：
應力：
應變：
步驟1：part （2D 模型）
步驟2：material
步驟3：assembly
步驟4：step
步驟5：interaction
步驟6：load
步驟7：mesh
步驟8：結果
展開 本文利用 cohesive element 模擬兩個粘接的物體受拉破壞，利用的本構模型是tension-cut off模型，有限元實現算法是帶有返回功能的前歐拉法（Crisfield在1991出版的Non-linear finite element analysis of solid and structure中的第6章有提到），軟件是abaqus，子程序為UMAT。
這種有限元模型主要應用在在膠合破壞的預測，比如磚結構的水泥砂漿、纖維復合材料加固結構中復合材料的剝落、多層玻璃的脫膠以及夾層板的滑移等等?？梢哉f，與膠有關的結構都可以試著利用cohesive單元模擬，所以開發cohesive單元的本構模型是很多領域的熱點，因為相比起固體單元，cohesive單元的發展相對較晚。
這里有意思的是，我用前歐拉法推導出的tangent stiffness和Lourenco（1997）用后歐拉法推導出的tangent stiffness是一樣的。
tensile cut-off的返回算法：
模擬的視頻結果詳見：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/113143055
模擬結果：
mises應力圖
ABAQUS建模：這是一個二維的單元，兩個彈性材料物體被一層cohesive單元（厚度為10）連接著。
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歐拉法的最新內容
一期一會 | 什么是顯式動力學？6個月前
對于隱式仿真軟件工具，求解器使用后向歐拉法（Backward Euler Method）推導方程，以求得下一個時間步的值，該方程與當前步長（k）和下一個時間步有關：
隱式方法和顯式方法之間的區別
在結構分析中，工程師使用這兩種積分方法進行動態和準靜態仿真。
任意拉格朗日-歐拉法結合了兩種計算方法的優點，在計算的過程中可實時調整網格，適用于大變形材料的計算模擬。
本文的計算采用LS-DYNA平臺，將滑坡體的運動采用ALE的方法模擬，樁體采用FEM的方法模擬。
本演講重點介紹使用 LS-DYNA 對約束系統進行建模和仿真，將比較各種安全氣囊的建模方法，包括均勻壓力/控制體積法、任意拉格朗日-歐拉法 (ALE)、粒子法 (CPM) 和基于連續介質的粒子氣體法 (CPG)。此外，還將概述 LS-DYNA 中常見的安全帶建模策略。
算法優勢帶來10-100倍效率提升
充分融合拉格朗日法和歐拉法的優點，天然適應極端變形問題分析，在保證計算精度的同時，實現計算效率10-100倍的顯著提升。
每步重置背景網格，避免了網格畸變；
借助拉格朗日質點，易于追蹤物質界面；
質點與網格信息映射，化解了對流項計算難題；
自動處理多體接觸，無需搜索鄰近粒子。
但是，類似于歐拉法，在ALE方法的控制方程中仍會出現對流項，使得系數矩陣不對稱，并可能得到振蕩解，需要進行相當細致的數值處理。
熱-流耦合
熱-流耦合模擬方法關注熔池內熔融金屬的流動和傳熱過程,不考慮其中所涉及的固體力學問題，通常采用有限體積法、任意拉格朗日-歐拉法和格子玻耳茲曼法等進行求解。該方法主要用于研究成形過程中冶金缺陷的形成機理，并且可以作為微觀組織數值模擬算法（如相場法等）的輸入，實現對材料熔化過程中微觀組織重熔以及凝固過程中晶粒形核與生長的預測。
流體運動的研究方法主要有拉格朗日法和歐拉法。
拉格朗日法是通過跟蹤足夠多的流體粒子來檢測其特性。
1 概念介紹
首先我們介紹一下拉格朗日法和歐拉法，理解起來很簡單，拉格朗日法是以某一質點的運動作為研究對象，觀察這一質點在流場中由一點移動到另一點時，其運動參數的變化規律；歐拉法以某一流場區域作為研究對象，研究各時刻質點在流場中的變化規律。
顯然，拉格朗日法更適用于描述顆粒運動，而歐拉法更適用于描述流體運動。
圖1 LNG船及液貨艙內部
液艙晃蕩常用的數值方法包括：基于歐拉法的VOF法和Level Set法、基于拉格朗日方法的無網格法SPH與MPS，以及歐拉-拉格朗日相結合的ALE方法。
流體計算采用的是歐拉法，即我們選取位置固定的觀測體，流體從一側流入、另外一側流出。這個時候通常就涉及到計算區域選取的問題，如果計算區域選的不好（通常是選小了），那就可能產生系統誤差。如下圖所示，對于三通管的CFX計算，通常不會考慮上下游太長的管道，但是該案例中的計算域選取就值得探討，因為上方出口后面原本存在一個距離較近的彎管，而將這一塊定義為出口以后，就認為后面是無限長的直管了。
