一、引言

極端變形問題是一類幾何、材料和邊界條件均為非線性的復雜問題。典型的極端變形問題通常有：超高速碰撞、沖擊爆炸、金屬加工成型、邊坡失效、液體晃動等等。

小到踩扁一個易拉罐、射穿一塊玻璃，大到飛機墜落、天體撞擊，許多極端變形問題中的斷、裂、破、碎等現象往往會引發災難性的后果。

極端變形問題示例

不難想象，對于被踩扁的易拉罐而言，這無疑是一場“滅頂之災”。若想借助數值模擬技術來分析極端變形問題，究竟有哪些難點？

二、模擬方法

難不難取決于采用什么模擬方法。目前較為成熟的模擬方法有以下幾種：Lagrange（拉格朗日）格式有限元法、Euler（歐拉）法、ALE（任意拉格朗日-歐拉）方法、SPH粒子法等等，當然還有我們今天的主角物質點方法（Material Point Method, MPM）。

先說結論：MPM特別適合極端變形工況的分析，用了它，就不難。下面我們分別來介紹。

Lagrange（拉格朗日）格式有限元法，其單元與材料固連，可以準確跟蹤材料界面、追蹤材料內部的變形歷史，具有較高的模擬精度。然而，極端變形問題往往伴隨著局部單元的嚴重畸變，而Lagrange模型的求解十分依賴于單元形狀的規則程度，越畸形的單元其求解精度越低，甚至無法繼續計算下去。通常可由如下雅可比矩陣J來描述等參變換過程中從參考坐標系到實際坐標系的映射關系：

若單元變形較大導致網格發生嚴重畸變，則上述矩陣的行列式（det J）可能接近零甚至為負，說明此時單元已經失效，無法正確描述變形行為。所以，傳統Lagrange方法的痛點之一在于單元畸變。

det J 為正（左）、為零（中）、為負（右）

Euler（歐拉）法將固定的空間網格作為參考框架，令材料在網格之間流動。由于網格固定所以天然規避了Lagrange方法的單元畸變困難，適于分析流動問題。但是，其網格與材料獨立，不易準確跟蹤材料界面，難以引入與變形歷史相關的材料模型，且非線性對流項也會導致數值求解困難。

ALE（Arbitrary Lagrangian-Eulerian）方法全稱是任意拉格朗日-歐拉方法，是一種綜合了拉格朗日和歐拉描述的計算方法，其計算網格可以獨立于物質坐標系和空間坐標系運動，通過規定合適的網格運動形式可以準確地描述物體的移動界面，并維持單元的合理形狀。但是，類似于歐拉法，在ALE方法的控制方程中仍會出現對流項，使得系數矩陣不對稱，并可能得到振蕩解，需要進行相當細致的數值處理。

區別于上述的幾種有網格方法，極端變形問題的另一類解決方法是無網格法，比較具有代表性的方法是SPH粒子法，在很多CAE軟件中已經具備。SPH方法的核心思想是將連續介質離散為質點（粒子）集合，每個粒子都帶有一定的物理量（如質量、密度、速度等），通過計算這些粒子的相互作用，可以更新力學系統的運動狀態。相比傳統的有限元方法和有限體積方法，SPH方法適于處理自由表面流動和大變形問題，因為它不需要網格，可以自適應地描述固體材料、流體物質的大變形。然而，傳統SPH方法存在著拉力不穩定、鄰近粒子搜索、邊界施加困難等問題，其精度和穩定性較難控制，并且SPH方法對計算資源需求通常較其它方法更高。

那么對于極端變形問題，到底有沒有一種方法既能解決Lagrangian有限元計算中存在的網格畸變問題，又可以改善Euler方法中運動表面的跟蹤困難，還能夠比SPH節省計算資源、具備更高的計算效率呢？

答案就是物質點方法（Material Point Method, MPM）。

三、物質點法

MPM是上世紀90年代提出的數值方法，它采用拉格朗日質點和歐拉網格的雙重描述。相比Lagrangian有限元計算中介質被離散為連續單元的方法，物質點方法中把物體離散為帶有質量的物質點。

有限元方法求解侵徹問題實例

物質點方法求解落錘強夯示例

計算過程中，物質點攜帶了全部的物質信息，通過將這些物質信息（質量、動量、力等）映射到背景網格，在背景網格上求解動量方程即可得到速度變化量和位置變化量，將這些信息再映射回物質點，即可更新物質點的速度和位置。

由于背景網格本身不攜帶任何物質信息，且物質點和背景網格之間也沒有相對運動，這就避免了歐拉法中的對流項的計算，而且容易跟蹤物質界面，同時由于物質點攜帶了完整的物質信息，每次更新完狀態后就可以拋棄變形后的背景網格，避免了網格畸變問題的產生，實際的計算效率更高。

物質點方法綜合了拉格朗日法和歐拉法的優點，能夠很好的處理極端變形問題，例如沖擊侵徹、爆炸損傷、斷裂破碎、流固耦合等涉及結構和材料極端變形模擬；而對于小變形假設的靜力、擬靜力或低速動力學問題，相同插值階次的物質點法在計算精度上低于傳統有限元方法。因此，針對這類問題，采用有限元方法更合適。

四、案例介紹

物質點方法到底好不好用，相信大家通過上述理論知識已有初步了解。而該方法在實際應用中能否有效解決問題，我們不妨從以下幾個案例中尋找答案。順便不經意地透露一下，本次仿真計算采用的工具為云道智造開發的Simdroid-MPM3D，在兼顧效率與精度的同時，還兼備易學易用的特性，文末提供試用版本下載鏈接。

Simdroid-MPM3D主界面

首先給大家介紹典型的極端變形案例：超高速撞擊。鉛球以6.58km/s的速度撞擊6.35mm厚的靶板，左圖是試驗結果，右圖是數值模擬結果。可以看到，物質點法正確的模擬了打穿靶板之后的碎片云形貌，模擬結果的精度與試驗現象吻合較好。

超高速撞擊的仿真與實驗結果對比

然后是卵形體侵徹鋼筋混凝土的案例，該問題仿真的難點在于鋼筋（有限元單元）和混凝土（物質點粒子）之間的耦合算法，且需同時模擬鋼筋的斷裂和混凝土的破碎。

下圖所示的射流侵徹巖層導致的巖體破碎與裂紋擴展過程也是極端變形的仿真應用案例。

五、結束語

極端變形問題的仿真對于工程實踐和科學研究具有重要意義。盡管這類問題的仿真模擬通常被認為難以執行，但是隨著Simdroid-MPM3D軟件的推出，該困局將會改觀。申請試用Simdroid-MPM3D