本文簡要描述有關CFD的一些常識性的概念。

計算流體動力學（CFD）是一種通過數學計算，利用計算機求解控制方程，對物理流體流動進行預測的方法。在工程師設計新產品時，例如為新賽季設計一輛賽車，空氣動力學對整體設計性能具有重要影響。然而，在概念設計階段，空氣動力學性能并不容易量化。

傳統上，工程師只能通過物理測試原型產品來優化設計。但隨著計算機技術的發展（得益于摩爾定律），CFD 已逐漸成為預測真實物理世界的常用工具。在 CFD 軟件分析中，流體流動及其相關物理特性，如速度、壓力、粘度、密度和溫度，均根據設定的工作條件進行計算。為獲得準確的物理解決方案，這些量需要同時計算。

無論商用還是開源，每種 CFD 工具都依賴數學模型和數值方法來預測所需的流動物理特性。最常見的 CFD 工具基于納維 - 斯托克斯（N-S）方程。雖然納維 - 斯托克斯方程中的大部分項保持不變，但根據物理學原理，可以添加或刪除更多的項。例如，若需要考慮熱量傳遞、相變或化學反應，就在控制方程中引入更多的項。

為了進行準確且成功的 CFD 分析，選擇適當的運行條件、數值方法和物理因素十分重要。如果分析得當，就能迅速獲得關于性能的洞察，并最終得到性能更優、效率更高的產品。

1 CFD的歷史

自古以來，人類始終渴望解釋流體流動的觀察結果。那么，計算流體動力學（CFD）究竟有多古老呢？事實上，CFD 的歷史可以追溯到 20 世紀初。然而，CFD 領域的一個顯著缺點是其計算成本較高，這導致在計算能力取得顯著改進之前，該領域的進展較為有限。在此之前，科學家和工程師主要致力于改進數學模型和數值方法，以降低計算成本。隨著計算機技術的不斷發展，計算能力在成本和性能方面取得了重大改進，從而使得 CFD 方法在近年來得到了廣泛應用和快速發展。現在，CFD 已經成為預測和優化流體流動現象的重要工具，對于許多行業領域，包括航空航天、汽車制造和建筑設計等，都具有重要意義。

計算流體力學的發展歷程可以概括為以下幾個階段：

• 1910 年之前：這一階段主要集中在數學模型和數值方法的改進。
• 1910 - 1940 年：此階段側重于整合模型和方法，以實現在手工計算基礎上的數值解。
• 1940 - 1950 年：這一時期從手工計算向計算機計算過渡，1953 年，Kawaguti 首次使用機械臺式計算器求解圓柱體周圍的流動。
• 1950 - 1960 年：美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室開始根據納維 - 斯托克斯方程利用計算機對流體流動進行建模研究。此階段還實現了全球首次二維、瞬態、不可壓縮流動的模擬。
• 1960 - 1970 年：Hess 和 Smith 發表了關于三維體計算分析的第一篇科學論文，商用代碼開始出現。這一時期還涌現出了許多重要的方法，如 k-ε 湍流模型、任意拉格朗日-歐拉模型和 SIMPLE 算法，這些方法至今仍在廣泛應用。
• 1970 - 1980 年：波音公司、美國國家航空航天局（NASA）等機構發布的代碼開始在多個領域，如潛艇、水面艦艇、汽車、直升機和飛機等應用中得到使用。
• 1980 - 1990 年：Jameson 等人改進了三維情況下跨音速流動的精確解法，學術界和工業界開始廣泛應用商業代碼。
• 1990 年至今：隨著信息技術的全面發展，計算流體動力學在全球范圍內的應用范圍幾乎覆蓋了所有領域。

2 納維-斯托克斯方程的興起

納維 - 斯托克斯方程是流體動力學理論模型的核心數學描述，它描繪了粘性流體領域的運動規律。該方程的發現歷程頗具趣味。納維 - 斯托克斯方程這一著名的數學模型是由 Claude-Louis Navier（1785-1836 年）和 Sir George Gabriel Stokes 爵士（1819-1903 年）共同提出的，令人驚訝的是，這兩位學者從未曾見過面，這真是一個奇妙的巧合。

最初，1822年之前，Navier 對部分方程進行了研究。后來 1845 年Stokes 爵士對方程進行了調整，并最終確定了我們所熟知的納維 - 斯托克斯方程。

3 控制方程

熱流體研究的核心是基于流體物理特性守恒定律的控制方程。這些基本方程包括三個守恒定律：

• 質量守恒：連續性方程
• 動量守恒：牛頓第二定律
• 能量守恒：熱力學第一定律或能量方程

這些原理表明，在封閉系統中，質量、動量和能量都是穩定的常數，換言之，一切都必須保持守恒。

對于涉及熱變化的流體流動研究，需要考慮某些物理特性。從這三個基本守恒方程中，我們可以同時求解出三個未知數：速度 、壓力 和溫度 。而  和  被認為是兩個必要的獨立熱力學變量。

守恒方程的最終形式還包括另外四個熱力學變量：密度 、焓  、粘度  和熱導率  ；其中后兩個也是傳輸特性。這四種性質由  和  的值唯一決定。在分析流體流動時，需要了解流態中每一點的  、 和  。此外，基于流體運動特性的流動觀測方法也是一個基本問題。

流體運動的研究方法主要有拉格朗日法和歐拉法。

• 拉格朗日法是通過跟蹤足夠多的流體粒子來檢測其特性。這種方法需要檢查流體粒子在 時的初始坐標和在 時的坐標。然而，要跟蹤數百萬個獨立粒子的運動軌跡幾乎是不可能的。
• 相反，歐拉法并不跟蹤任何特定粒子的路徑，而是將速度場作為空間和時間的函數進行研究。

總的來說：

• 拉格朗日法是從區域的起點開始，追蹤每個點的軌跡，直到它到達終點。
• 歐拉法則是在區域中考慮一個窗口（控制體積），并分析該體積內的粒子流。

目前，基于 NS 方程（Navier-Stokes 方程）的流體流動與傳熱控制方程的基本形式如下：

• 連續方程

• 動量方程

• 能量方程

注：流體控制方程的具體形式及推導過程可參見任何一本計算流體力學教材，此處略過。

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4 偏微分方程 (PDE)

數學模型為我們揭示了整個過程中傳輸參數之間的相互關系。盡管這些方程中的每一項都會對物理現象產生影響，但在考慮參數變化時，我們需要借助數值解法來同時處理微分方程、矢量和張量符號。

多變量微分方程涉及一個或多個變量，用 表示。如果方程的推導用 表示，那么這類方程被稱為常微分方程（ODE），它包含一個變量及其導數。在求解偏微分方程（PDE）時，需要將微分算子 轉化為代數算子。傳熱、流體動力學、聲學、電子學和量子力學等領域廣泛應用 PDE 來求解問題。

5 離散

數值解法是一種基于離散化的方法，可以求解那些無法通過解析方法得到的復雜問題的近似解。如下圖所示，如果沒有離散化，我們只能得到精確但簡單的解析解。

另外，數值解法的精度在很大程度上取決于離散化的質量。有許多常用的離散化方法，如有限差分法、有限體積法、有限元法、譜（元）法和邊界元法。這些方法都可以用來提高數值解法的精度。

6 網格

多任務處理確實是許多現代人面臨的挑戰之一，往往會導致拖延或失敗。因此，有計劃、分階段、有順序地完成任務對于實現目標更為合適，這對計算流體動力學（CFD）也同樣適用。

在進行 CFD 分析時，我們通常會將解域劃分為多個子域，這些子域被稱為單元。這些單元在計算結構中的組合被稱為網格。通過將整個計算域劃分為多個網格，我們可以更有效地分析和求解問題。這種方法有助于我們更好地理解流體流動、傳熱和其他物理現象在不同區域和條件下的表現。

網格劃分是將領域離散成小單元或元素的過程，以便在每個單元的線性假設下應用數學模型。這意味著我們需要確保需要求解的變量的行為在每個單元內都是線性的。這一要求還意味著，對于需要預測的物理屬性疑似高度變化的區域，需要更精細的網格。

7 網格誤差與網格獨立性研究

網格誤差是導致數值求解不準確或模擬失敗的常見問題。這主要是由于網格過于粗糙，無法在較大的單元格區域內捕捉到流動物理特性。為了解決這個問題，我們需要進行網格獨立性研究，以確保網格不會對求解產生顯著影響。

網格獨立性研究的步驟如下：

1. 首先，我們需要生成一個能夠準確捕捉幾何圖形的初始網格，并通過目視檢查確保計算區域內有足夠的網格單元和網格密度。
2. 接下來，我們重新生成網格，在感興趣的區域增加網格數量和網格密度。然后，再次進行計算流體動力學（CFD）分析，并比較結果。例如，如果我們要檢查流經通道的內部流動情況，我們可以通過比較臨界區域的壓降來很好地衡量網格的靈敏度。
3. 我們不斷細化網格，直到結果和關鍵物理特性（如壓降、最大流速等）與之前粗網格的 CFD 分析結果基本一致。

通過這種方法，我們可以消除基于網格結構的誤差，并獲得最佳的元素數量，從而提高計算效率。下圖顯示了隨著網格元素數量的增加，假想區域 X 的靜壓變化情況。如圖所示，大約需要 100 萬個網格才能進行可靠的研究。

8 CFD的收斂

創作雕塑的過程確實需要一位富有才華的藝術家，他能從一開始就想象出最終的作品。就像一塊簡單的巖石最終可能成為一件非凡的藝術品一樣，CFD 分析也有類似的過程，依靠逐漸變化的結果，最終得出滿意的解。

在 CFD 分析過程中，初始猜測被用作起點，就像藝術家開始時使用的石塊。然后通過數值迭代，解場會從初始猜測變為最終的流場。但需要注意的是，雖然數值迭代負責得出最終解，但結果的精度仍然完全取決于網格的精確度。

收斂性是計算分析的首要問題。由于流體運動具有非線性數學模型，其中包含各種復雜的模型，如湍流、相變和傳質，所以收斂性在很大程度上受到這些模型的影響。除了解析解，數值解還采用迭代方法，通過減少前幾個階段之間的誤差來獲得結果。當最后兩個解之間的差異達到一定的程度，我們就可以認為結果已經收斂，也就是說，結果的可靠性增加，結果收斂到穩定的解。

總的來說，無論是創作雕塑還是進行 CFD 分析，都需要精確的過程控制和細致的結果觀察，只有這樣，才能得到理想的結果。

9 何時求解收斂

求解過程通過不斷地迭代來達到解場停止變化的狀態。這對于穩態模擬和瞬態模擬都是必要的。

在瞬態模擬中，我們必須在每個時間步長都取得收斂，這就好像它是一個穩態模擬。這是因為在瞬態模擬中，我們需要捕捉流體在不同時間點的變化，所以每個時間步長的收斂都是關鍵的。只有這樣，我們才能獲得準確的流體運動動態過程。

總的來說，無論是穩態模擬還是瞬態模擬，迭代求解的過程都需要不斷地進行，直到解場達到收斂，這樣才能獲得準確的模擬結果。

10 收斂標準

方程的殘差就像雕塑中剩余的石頭，在每次迭代過程中逐漸減少。當迭代達到設定的閾值時，收斂便得以實現，這個過程類似于藝術家從雕塑中移除最后一塊石頭。關于收斂，還有以下幾點需要注意：

1. 可以通過調整初始條件、選擇合適的松弛因子和庫朗數等參數來加速收斂。
2. 即使求解收斂了，結果也不一定完全正確。數學模型和網格質量不佳可能導致收斂但不正確的結果。
3. 為使計算求解更穩定，可采取一些方法，如確保網格質量合理、進行網格細化、使用一階到二階的離散格式等。
4. 如有需要，確保求解過程可重復，從而避免結果模糊不清。

原文地址：https://www.simscale.com/docs/simwiki/cfd-computational-fluid-dynamics/what-is-cfd-computational-fluid-dynamics/ 。本文采用 DeepL翻譯，智譜清言進行文本潤色。

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文章來源：CFD之道