導讀：在進一步了解湍流方程之前，我們需要首先知道流體運動的基本方程。流體運動遵循基本的守恒定律，即遵從質量守恒、動量守恒和能量守恒定律，流體運動的基本方程就是描述這些基本定律。本文首先介紹一下隨體導數及雷諾輸運方程。因為主要是一些數學表達式，所以行文稍微有些枯燥，但這些數學方程是描述流體運動的根本。

隨體導數

求解基本方程時，需要用到流體質點的物理量隨時間的變化規律，于是定義了隨體導數。隨體導數：流體質點物理量隨時間的變化率稱為物理量的隨體導數。但在流體力學中，流體質點的運動區域大，因此跟隨一個流體質量去描述其運動，通常是比較困難的。考慮到流體是充滿整個運動區域的連續介質，一般有兩種描述運動的方法。

（1）拉格朗日法

該方法著眼于流體質點，把流體質點的物理量表示為拉格朗日坐標與時間的函數。拉格朗日法跟蹤的是流體質點，因此其坐標（a,b,c）不隨時間(T)的變化。若以 表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日法的數學表示方式為：

(a,b,c)更像是對流體質量的標號，如果t時刻的質點的位置以r表示，則：

表示拉格朗日坐標為(a,b,c)的流體質點在t時刻處于r，即空間點(x,y,z)的位置。

（2）歐拉法

歐拉法著眼于空間點，也叫空間描述法，即流體的物理量隨空間點及時間變化。把流體物理量表示為歐拉坐標及時間的函數。當某時刻物理量在空間分布確定，我們就是物理量在此空間形成了一個場，也就是說歐拉法實際上描述了物理量的場。歐拉的數學表達式為：

(x,y,z)就是空間的坐標。例如流體速度可以表示為：

它表示空間點(x,y,z)上t時刻的流體速度。

（3）隨體導數

拉格朗日法描述中，物理量隨體導數就是質量(a,b,c)的物理量對時間的導數，比如說速度及加速度的表達：

在歐拉法描述中，  并不表示隨體導數，它只是表示物理量在空間點（x,y,z)隨時間的變化規律，因為隨體導數針對的對象是流體質點，而不是空間點，因此還需要考慮空間點(x,y,z)隨時間的變化。所以物理量隨體導數的歐拉表示方法為：

簡化后可以表示為：

這是流體力學十分重要的基本公式。方程右邊第一項為遷移加速度/局部導數，表示該空間點物理量隨時間的變化規律；第二項為當地加速度/位變導數項，它是物理量不定常性引起，由空間位置變化引起的物理量變化律。

雷諾輸運定理

隨體導數后，我們如何去描述流體性質的變化，這就需要用到雷諾輸運定理。在介紹這個定理前，我們首先要知道控制體與系統。

（1）控制體與系統

控制體指的是流體所在的運動空間，以假想或實際存在的流體邊界包圍、形狀任意、固定不動的空間體積，包圍的邊界稱為控制面。控制體形狀大小不不變，相對于某坐標系固定不動；控制體允許與外界有質量能量的交換，也可以有力的相互作用。控制體是由空間變量描述，本質上屬于歐拉法。研究對象如果是控制體，則力學定律的數學表達中對時間的導數需要重新改寫，重新用控制體的積分表達。

系統是指某一確定的流體質點集合的總體，它是從拉格朗日法出發。

系統的形狀大小位置均可變，與外界無質量的交換，但可以有力的相互作用及能量交換。力學定律的數學表達式可以直接用原始的數學公式表示。

（2）雷諾輸運定理

上式即是雷諾輸運定理: 某時刻可變體積系統內的總物理量的時間變化率等于該時刻所在空間域（控制體）內的物理量的時間變化率與單位時間內通過該空間邊界面的凈輸運的流體物理量之和。

式中 u是流體質點相對于控制面的速度，當控制體以常速運動且不變形的話，u可以用相對速度或絕對速度代替。如果控制體固定且不變形，隨體導數可以按照拉格朗日方法表示，則輸運方程可以表示為：

注：由于排版的問題，原本還有一小節-雷諾輸運方程的推導過程，這里就沒有放上去，想了解更多，可以看文末的截圖，或者移步公眾號/知乎號。

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