泛函
關(guān)注創(chuàng)建者：dyj1998 創(chuàng)建時間：2021-03-25
泛函的視頻教程
變分方法原理基礎(chǔ)
變分法原理基礎(chǔ) 1.泛函的概念 2.變分與微分 3.求變分的一個基本定理 4.預備定理的證明 5.互換法則的使用 6.最簡泛函取極值的必要條件 7.特殊形式泛函的歐拉方程 8.多元函數(shù)泛函的歐拉方程
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泛函的實例教程
| 圖片來源：DeepMind
尤為值得一提的是，在這次的研究結(jié)果中，研究人員解決了長期存在與傳統(tǒng)泛函中的兩個問題。
第一個問題名為退局域誤差：在DFT計算中，泛函會通過找到能夠使能量最小化的電子構(gòu)型，來決定分子的電荷密度。因此，泛函中的誤差會造成計算出的電子密度中出現(xiàn)誤差。大多數(shù)現(xiàn)有的對密度泛函的近似，都不會讓電子密度精準地局限在一個分子或一個原子周圍，而是傾向于讓電子密度以不切實際的形式分散在幾個原子或幾個分子之周圍。
另一個問題被稱為自旋對稱性破缺：當描述化學鍵的破壞時，現(xiàn)有的泛函趨向于不現(xiàn)實地偏向一種基本對稱性被打破的構(gòu)型，這種基本對稱就是自旋對稱性。由于對稱性對于我們理解物理和化學起著至關(guān)重要的作用，因此這種人為的破壞對稱性，成了現(xiàn)有泛函的一個主要問題。
從理論上看，任何涉及電荷運動的化學-物理過程，都容易發(fā)生退局域誤差；而任何涉及到鍵的斷裂的過程，都容易發(fā)生自旋對稱性破缺。電荷的運動和鍵的斷裂是許多重要技術(shù)應(yīng)用的核心，但這也可能導致泛函在描述一些最簡單的分子時出現(xiàn)嚴重問題，正如我們在前文所提到的氯化鈉的例子那樣。
DFT作為如此重要的一項技術(shù)，因此不難理解科學家會在期盼這些泛函能夠解釋更復雜的分子相互作用之前，必須先做到能確保簡單化學的正確性。通過使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來表示泛函，并訓練數(shù)據(jù)集來捕獲期望的精確泛函的分數(shù)電子行為，新的研究解決了這兩個問題。他們的泛函在廣泛的、大規(guī)模的基準測試中，都顯示出了高度的準確性。
（a）顯微表征、結(jié)構(gòu)、加工、性質(zhì)和性能之間的潛在聯(lián)系，（b）約含2千萬個原子的Al-Cu-Mg合金的APT數(shù)據(jù)，（c）DFT計算的72-atom超晶胞實例 （參考圖）
計算機模擬在現(xiàn)代工程中發(fā)揮著核心作用，使人們有可能為各種實際的應(yīng)用問題提供答案。
展開 | 圖片來源：DeepMind
尤為值得一提的是，在這次的研究結(jié)果中，研究人員解決了長期存在與傳統(tǒng)泛函中的兩個問題。
第一個問題名為退局域誤差：在DFT計算中，泛函會通過找到能夠使能量最小化的電子構(gòu)型，來決定分子的電荷密度。因此，泛函中的誤差會造成計算出的電子密度中出現(xiàn)誤差。大多數(shù)現(xiàn)有的對密度泛函的近似，都不會讓電子密度精準地局限在一個分子或一個原子周圍，而是傾向于讓電子密度以不切實際的形式分散在幾個原子或幾個分子之周圍。
另一個問題被稱為自旋對稱性破缺：當描述化學鍵的破壞時，現(xiàn)有的泛函趨向于不現(xiàn)實地偏向一種基本對稱性被打破的構(gòu)型，這種基本對稱就是自旋對稱性。由于對稱性對于我們理解物理和化學起著至關(guān)重要的作用，因此這種人為的破壞對稱性，成了現(xiàn)有泛函的一個主要問題。
從理論上看，任何涉及電荷運動的化學-物理過程，都容易發(fā)生退局域誤差；而任何涉及到鍵的斷裂的過程，都容易發(fā)生自旋對稱性破缺。電荷的運動和鍵的斷裂是許多重要技術(shù)應(yīng)用的核心，但這也可能導致泛函在描述一些最簡單的分子時出現(xiàn)嚴重問題，正如我們在前文所提到的氯化鈉的例子那樣。
DFT作為如此重要的一項技術(shù)，因此不難理解科學家會在期盼這些泛函能夠解釋更復雜的分子相互作用之前，必須先做到能確保簡單化學的正確性。通過使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來表示泛函，并訓練數(shù)據(jù)集來捕獲期望的精確泛函的分數(shù)電子行為，新的研究解決了這兩個問題。他們的泛函在廣泛的、大規(guī)模的基準測試中，都顯示出了高度的準確性。
（a）顯微表征、結(jié)構(gòu)、加工、性質(zhì)和性能之間的潛在聯(lián)系，（b）約含2千萬個原子的Al-Cu-Mg合金的APT數(shù)據(jù)，（c）DFT計算的72-atom超晶胞實例 （參考圖）
計算機模擬在現(xiàn)代工程中發(fā)揮著核心作用，使人們有可能為各種實際的應(yīng)用問題提供答案。
展開 泛函的變分1: 與函數(shù)的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。
dII=II[y(x)+dy(x)]-II[y(x)]=L[y(x)，dy(x)]
上式中 L[y(x)，dy(x)]就叫做泛函的變分，用 dII 表示。泛函的變分是泛函增量的
主部，而且這個主部對于dy(x)來說是線性的。
泛函的變分2: 泛函變分是II[y(x)+edy(x)]對e的導數(shù)在e=0時的值，且拉格朗日的泛函
變分
展開 修正（約束）變分原理
建立了自然變分原理后，問題的解為泛函II 取駐值。
但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，
我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。可以將附加條件引入
泛函，重新構(gòu)造一個“修正泛函”，把問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問題。
常用方法：
Lagrange 乘子法，罰函數(shù)法。
Lagrange 乘子法(l乘子法)
修正泛函II*：
原泛函II的約束變分問題，轉(zhuǎn)化為修正泛函II*的無約束變分，代價是修正泛函
增加了附加未知函數(shù) 。
展開 密度泛函理論（DFT）的計算方法，由于其良好的計算效率和準確度，被廣泛應(yīng)用于稀土化合物的電子結(jié)構(gòu)研究、光學性能、磁性以及催化性能等領(lǐng)域。在這一過程中，Gaussian軟件作為一種經(jīng)典的量子化學計算程序，提供了豐富的功能來支持DFT計算，廣泛應(yīng)用于稀土化合物的研究。
在稀土化合物的研究中，Gaussian軟件結(jié)合密度泛函理論（DFT）能夠在多個方面提供關(guān)鍵的理論支持。首先，通過DFT計算可以優(yōu)化稀土化合物的幾何結(jié)構(gòu)，獲得最低能量構(gòu)型，從而幫助確定金屬中心的配位數(shù)和幾何構(gòu)型，分析化合物的穩(wěn)定性。其次，Gaussian能夠精確計算稀土化合物的電子結(jié)構(gòu)，揭示電子軌道分布和f電子的貢獻，為理解其光學性質(zhì)（如吸收光譜、發(fā)光特性）和磁性（如磁矩、磁各向異性）提供重要信息。此外，Gaussian還可用于研究催化反應(yīng)的反應(yīng)機理，計算過渡態(tài)和活化能，進而為稀土化合物在催化領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論指導。最后，通過計算振動頻率、NMR、IR和UV-Vis光譜，Gaussian能夠預測稀土化合物的光譜特性，這對于研究其在光電材料、熒光材料和激光器中的應(yīng)用具有重要價值。總體而言，Gaussian與DFT方法為稀土化合物的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與應(yīng)用研究提供了全面的理論支持。
在使用Gaussian進行稀土金屬化合物結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，主要面臨以下幾個困難和挑戰(zhàn)：
f電子的處理：稀土金屬化合物中通常包含f區(qū)電子，而f電子的處理非常復雜。Gaussian采用DFT方法時，常常需要選擇合適的交換-關(guān)聯(lián)泛函（如LDA、GGA或混合泛函），但是傳統(tǒng)的DFT方法可能無法精確描述f電子的局部化特性或強電子相關(guān)效應(yīng)，這可能導致優(yōu)化結(jié)果與實驗觀察之間存在差異。針對這一問題，可能需要采用更加精細的計算方法（如DFT+U或多體方法）來更好地描述f電子。
展開 
泛函的最新內(nèi)容
全曲線生成的泛函主成分分析（fPCA）為了直接預測完整的應(yīng)力-應(yīng)變行為，該框架在輸出端引入了泛函主成分分析（fPCA） 。代理模型不再逐點預測離散數(shù)據(jù)，而是直接學習提取整條拉伸曲線的“形狀基函數(shù)”及其權(quán)重 。只需輸入微觀特征參數(shù)，模型瞬間就能完美拼裝出平滑、連續(xù)且符合物理規(guī)律的宏觀應(yīng)力-應(yīng)變曲線 。
3.
3.4 核心公式匯總
Hu-Washizu 泛函（EAS 理論基礎(chǔ)）：
EAS 厚度應(yīng)變增強（出平面彎曲）：
ANS 橫向剪切應(yīng)變修正：
ANS 厚度應(yīng)變修正（曲率鎖定）：
完
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由于實驗上難以準確定位骨架 Al 原子，研究者常借助密度泛函理論等計算方法評估不同取代位置和含量對框架穩(wěn)定性的影響（見 Mater. Today Commun., 26, 102028 (2021)）。
例如，J. Mater. Chem.
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。</p><p><br></p><p>1.2 有限元法的特點</p><p>有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個顯著優(yōu)勢：</p><p>（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。
