1 綜述

1.1 有限元分析基本理論

1.1.1 有限元法簡介

在工程科技的不斷進步中，固體力學作為核心學科，對于飛行器、船舶、車輛、機械裝備、水壩、橋梁和建筑物等工程結構的設計分析具有至關重要的作用。自20世紀40年代以來，科研人員已經提出并發展了多種理論方法，包括變分法、差分法和松弛法等，為簡單結構模型的分析提供了精確的解析解或數值解。然而，面對日益復雜的實際工程結構，這些傳統方法往往難以提供足夠精確的分析結果。

在實際工程應用中，設計者通常會通過近似分析對具體工程結構進行初步設計，然后結合經驗與已建工程的類比來確定最終設計方案。為確保結構的安全性，還會依據模型實驗結果適當提高安全系數。

隨著20世紀40年代中期大型計算機的出現，科研人員開始利用計算機對桿件結構力學中的力學和變位法的基本方程進行解析，推導出了矩陣力法和矩陣位移法。在此基礎上，20世紀50年代中期，有限單元法（FEM）應運而生。

有限單元法將連續介質離散成一系列單元格，將無限自由度問題轉化為有限問題，并利用計算機進行求解。這種方法適用于分析形狀復雜的結構，因此迅速受到科研界的廣泛關注，并迅速拓展到固體力學的各個分支領域，如流體力學和熱傳導學等。如今，有限元法已成為工程計算中的重要方法。

有限元法是一種高效且實用的計算方法。在工程計算領域，通常需要求解各種微分方程，但大多數微分方程的精確解并不容易獲得。通過有限元法將微分方程離散化后，可以編寫相應程序并通過計算機進行求解，從而得到微分方程的近似解，其精度可在一定程度上無限接近于精確解。這為微分方程的求解提供了一個高效率、高精度的計算方法。

最初，有限元法的理論發展基于變分理論，因此更多地應用于物理場中。然而，到了20世紀60年代，科研人員在流體力學中通過對余數法中的迦遼金法（Galerkin）進行加權運算或最小二乘法運算時也得到了有限元方程。這使得有限元法能夠應用于任何由微分方程描述的各類物理場中，而不再要求這些物理場必須與泛函的極值問題有聯系。

1.1.2 有限元法的特點

有限元法（FEM）已成為解決工程和科學問題的主流數值分析工具。相較于其他數值方法，有限元法展現出多個顯著優勢：

（1）對于實際工程中遇到的各種復雜形狀和非均質材料構成的實體結構，有限元法能夠提供精確的分析。這意味著，無論是流體動力學中的復雜流場，還是復合材料的應力分布，FEM都能夠有效地模擬和預測。

（2）FEM能夠模擬復雜的材料本構關系、施加的荷載以及邊界條件。例如，巖土工程中的滲流問題、初始應力和應變場，以及混凝土結構中的不均勻溫度場等，這些在實際物理模型中難以模擬的現象，都可以通過有限元法得到有效處理。

（3）有限元法在結構動態分析方面具有獨特優勢。在過去，科研人員主要針對靜力學問題進行精確求解，而對動力學問題的處理則相對困難。有限元法的出現極大地改善了這一狀況，使得結構動力學問題的精確求解成為可能。

（4）隨著預處理和后處理技術的不斷進步，FEM能夠對多種設計方案進行比較分析，并通過圖表及時展示計算結果。這不僅有助于優化設計方案，還提高了工程設計的效率和準確性。

1.1.3 有限元法分析過程

有限元分析的求解過程可概括為三個主要步驟：

步驟一：網格剖分（Meshing） 在這一步驟中，待求解的連續體區域被劃分為有限數量的元素，形成一個離散的集合。理論上，這些元素可以采取任意形狀。對于二維問題，常用的元素類型包括三角形和矩形；而在三維問題中，則通常采用四面體或多面體元素。每個元素的頂點稱為節點（或結點）。

步驟二：元素分析（Element Analysis） 在此階段，進行局部的分片插值。這意味著在每個離散元素內，利用特定的形狀函數和節點上的函數值，對元素內任意點的未知函數進行插值展開。這可能涉及建立線性或非線性插值函數，以便在局部層面上近似真實的物理行為。

步驟三：方程求解（Solution of Variational Equations） 將連續體離散化為一系列元素后，這些元素被進一步組織成組，并賦予相應的函數值。這樣，可以解決實際工程和物理問題。通過這種方式，連續體被轉化為一個代數方程組，其中包含了有限個能量方程和加權余量方程。這個方程組的解即是有限元法的解。

有限元法的核心在于將整個連續體離散化，將其分解為有限的單元集合。例如，對于一個桿系結構，離散化后的每個單元代表一個單獨的桿件。類似地，對于一個連續體，離散化最終產生的單元可能包括三角形、四邊形、六面體等各種形狀。每個單元的物理場函數由簡單的場函數組成，這些場函數僅依賴于有限個節點參數。當這些單元場函數組合在一起時，它們能夠近似表示整個連續體的物理場函數。

最終，通過求解由能量原理和加權殘差法導出的代數方程組，獲得了有限元法的數值解。這個解是對原始連續體問題的近似，其精度取決于網格剖分的細密程度和所采用的插值函數的類型。

1.2 Ansys有限元分析軟件

1.2.1 Ansys軟件特點

在ANSYS 7.0版本問世之前，ANSYS公司致力于研發其核心產品ANSYS。這一版本通過其仿真效果的卓越和效率的顯著，贏得了工程界的廣泛贊譽。然而，盡管取得了如此成就，該版本在仿真模擬操作方面存在明顯的不足，即用戶必須通過編寫復雜的程序才能進行仿真，這限制了其在工程領域的普及應用。

隨著ANSYS公司成功推出ANSYS Workbench這一新型號，局面發生了轉變。ANSYS Workbench以其創新的用戶界面和工作流程，簡化了仿真過程，極大地提升了用戶體驗，因此迅速被廣泛應用，其普及程度甚至超越了傳統的ANSYS經典版本。目前，ANSYS Workbench已經發展到24.0版本，繼續引領著行業的進步。

ANSYS Workbench作為一個先進的仿真平臺，具備分析和模擬復雜機械系統的能力。它涵蓋了結構靜力學、結構動力學、剛體動力學、流體動力學、結構熱力學、電磁場分析以及多物理場耦合分析等多個領域。這些功能使得工程師能夠對機械系統進行全面的性能評估，從而優化設計，提高產品的可靠性和性能。

在結構靜力學方面，ANSYS Workbench能夠模擬材料在靜態載荷下的響應，包括應力、應變和位移等參數。在結構動力學分析中，該平臺可以模擬結構在動態載荷下的行為，如振動和疲勞。剛體動力學分析允許工程師研究物體在受到力和扭矩作用時的運動情況。

流體動力學模塊使工程師能夠模擬液體或氣體在各種條件下的流動行為，這對于設計高效的流體傳輸系統至關重要。結構熱力學分析則關注材料在熱載荷下的行為，包括熱膨脹和熱應力。

電磁場分析功能為電氣和電子系統的設計和優化提供了強大的工具，而耦合場分析能力則允許工程師研究多個物理場之間的相互作用，這對于解決實際工程問題尤為關鍵。

總之，ANSYS Workbench通過其強大的仿真功能和用戶友好的界面，已經成為工程領域中不可或缺的工具，幫助工程師在設計、分析和優化復雜機械系統時做出更加精確和有效的決策。

1.2.2 Ansys的具體運行過程

ANSYS Workbench的仿真分析流程可以概括為以下四個主要步驟：

（1）前處理階段：

這一階段的核心任務是為仿真分析設定基礎。首先，需要確定分析類型，這可能包括靜力分析，用于評估結構在恒定載荷下的行為，或模態分析，用于確定結構的自然頻率和振型。接下來，選擇合適的單元類型是至關重要的，例如殼單元適用于薄壁結構，而實體單元適用于三維實體。此外，模型類型的選擇也在此階段進行，區分零件和組件有助于管理復雜的裝配體。

（2）建模與網格劃分階段：

在這個階段，將創建或導入幾何模型，這是仿真的基礎。幾何模型的準確性直接影響到分析結果的可靠性。隨后，定義材料屬性是確保仿真反映真實情況的關鍵一步。材料的性質，如彈性模量、泊松比和熱膨脹系數等，需要根據實際應用場景進行設置。最后，網格劃分是將連續的幾何模型離散化為有限元模型的過程，網格的質量直接影響到求解的精度和效率。

（3）荷載與約束施加以及求解階段：

在這個階段，工程師需要在模型上施加相應的荷載和約束條件，這些條件模擬了實際工作環境中結構所承受的外部影響。荷載可以是力的分布，約束可以是固定支撐或滑動界面。施加完這些條件后，進行求解運算，軟件將使用有限元方法計算結構的響應。

（4）后處理與結果驗證階段：

最后階段涉及對求解結果的分析和驗證。工程師將檢查各種物理量，如應力、應變、位移等，以評估結構的性能和安全性。結果的可視化呈現對于解釋數據至關重要。此外，結果的正確性需要通過與實驗數據或其他仿真工具的結果對比來驗證，以確保仿真分析的可靠性。

2 齒輪瞬態動力學分析

2.1 瞬態動力學分析基本理論

瞬態動力學分析是一種用于計算結構在隨時間變化的載荷作用下的動力學響應的方法。在Ansys中，這種技術可以用來計算結構在穩態載荷、瞬態載荷和簡諧載荷下的位移、應變和應力隨時間的變化。在進行瞬態動力學分析時，需要考慮慣性力和阻尼的影響，這些因素與載荷和時間的相關性有關。如果不考慮慣性力和阻尼，則可以使用靜力學分析來代替瞬態動力學分析。對于線性結構，它的瞬態動力學平衡方程如下：

在Ansys有限元分析軟件中，式共有三種求解方法分別為：完全法、模態疊加法和縮減法。完全法和縮減法采用直接積分求解瞬態動力學平衡方程。而模態疊加法則使用坐標轉換解耦后開始求解。

2.2 模態疊加法

針對模態疊加法，式中的可寫為：

式中：

為節點力隨時間變化量；

為關于矢量載荷的比例因子；

是在模態分析中的矢量載荷。

利用模態坐標表示節點位移可通過下式得到：

式中，是第階模態振型；

是所要提取的模態數量。

根據式可得利用模態疊加法計算瞬態動力學問題首先需要進行模態分析，因為在節點位移中包含了模態振型。

將式帶入可得：

在式左乘模態振型可得：

模態的正交條件如下：

將正交條件帶到式則為：

利用質量矩陣進行歸一化處理，得到系數為：

的系數為：

的系數為：

同樣可以將其寫為：

利用式、、、帶到式中，得到：

縮減法用于模態分析時，涉及到主自由度的選取。因為縮減法通過減少模型的自由度數簡化計算，如果選用QR方法進行模態分析，模態坐標系下的運動微分方程寫為：

2.3 直接積分法

在ANSYS中，隱式方法Newmark和HHT用于求解瞬態動力學問題。這兩種方法都基于有限差分法，在一個時間間隔內對位移、速度和加速度進行積分：

式和式中，和是Newmark積分參數。

利用時刻的控制方成，計算下一時刻的位移為：

將式和式重新組合，可得：

其中：、、、、、、。

將式帶到，根據式、、得到的表達式：

求出，速度和加速度可用式和式所求，對于初始施加的節點的速度或者加速度可以用位移約束并根據式計算所得。

根據Ziekiewicz的理論，利用Newmark方法求解瞬態動力學問題時，要實現無條件穩定，需要滿足特定的條件。這些條件通常涉及到時間步長（stepT）和Newmark積分參數。

輸入的Newmark參數根據下式：

其中為振幅衰減因子。

根據式和式發現無條件穩定可以表達為：

只要，求解即是穩定的。

而HTT方法則是下式方程：

式中：、、、。

在HTT方法中，共有四個參數，分別為：

這四個參數可直接輸入，但考慮到二階系統的無條件穩定以及時間積分的準確性，四個參數應該符合如下關系。

將式和帶入得到：

通過對比式和式，可以發現HTT方法是將兩個連續步長的線性組合實現瞬態動力學的方程平衡。

當給定幅值衰減因子后，其余的四個參數隨之而定，分別是：

或者可寫為：

2.4 齒輪瞬態分析結果

施加旋轉角度30°，設置分析步為10步，開啟自動時步功能。

（1）材料參數：采用結構鋼進行仿真

（2）模型導入：將catia模型轉成xt格式導入到ansys中

（3）網格劃分：由于涉及到接觸，因此采用高階四面體單元進行網格劃分，在齒輪處對網格進行加密，設置面網格尺寸為2mm。

（3）接觸設置：設置主動輪和從動輪，分別將幾何體接地回轉進而實現齒輪轉動。

（4）設置齒輪摩擦：設置摩擦系數為0.15，法向剛度設置為因數，法向剛度因數為1，更新剛度設置為每次迭代，界面處理設置為調整接觸。

（5）施加旋轉角度30°，設置齒輪溫度為22攝氏度，參見下圖所示。

（6）載荷步設置，設置為子步，求解步數為10步。

（7）計算結果

最大變形云圖如下圖所示，可以看到主動輪最大變形為21.648mm，位于主動輪的齒輪面處，從動輪的最大變形為21.648mm，位于從動輪的齒輪面處，而設置回轉的齒輪內環處的變形幾乎為0，最大變形從齒輪面向內齒輪逐漸遞減。

最大應力云圖如下圖所示，可以看到主動輪最大應力為277.22Mpa，位于齒輪面的嚙合處，而未嚙合處齒輪應力為0。