泛函的案例
深度學(xué)習(xí)在量子力學(xué)水平上模擬物質(zhì)的能力
| 圖片來(lái)源：DeepMind
尤為值得一提的是，在這次的研究結(jié)果中，研究人員解決了長(zhǎng)期存在與傳統(tǒng)泛函中的兩個(gè)問題。
第一個(gè)問題名為退局域誤差：在DFT計(jì)算中，泛函會(huì)通過(guò)找到能夠使能量最小化的電子構(gòu)型，來(lái)決定分子的電荷密度。因此，泛函中的誤差會(huì)造成計(jì)算出的電子密度中出現(xiàn)誤差。大多數(shù)現(xiàn)有的對(duì)密度泛函的近似，都不會(huì)讓電子密度精準(zhǔn)地局限在一個(gè)分子或一個(gè)原子周圍，而是傾向于讓電子密度以不切實(shí)際的形式分散在幾個(gè)原子或幾個(gè)分子之周圍。
另一個(gè)問題被稱為自旋對(duì)稱性破缺：當(dāng)描述化學(xué)鍵的破壞時(shí)，現(xiàn)有的泛函趨向于不現(xiàn)實(shí)地偏向一種基本對(duì)稱性被打破的構(gòu)型，這種基本對(duì)稱就是自旋對(duì)稱性。由于對(duì)稱性對(duì)于我們理解物理和化學(xué)起著至關(guān)重要的作用，因此這種人為的破壞對(duì)稱性，成了現(xiàn)有泛函的一個(gè)主要問題。
從理論上看，任何涉及電荷運(yùn)動(dòng)的化學(xué)-物理過(guò)程，都容易發(fā)生退局域誤差；而任何涉及到鍵的斷裂的過(guò)程，都容易發(fā)生自旋對(duì)稱性破缺。電荷的運(yùn)動(dòng)和鍵的斷裂是許多重要技術(shù)應(yīng)用的核心，但這也可能導(dǎo)致泛函在描述一些最簡(jiǎn)單的分子時(shí)出現(xiàn)嚴(yán)重問題，正如我們?cè)谇拔乃岬降穆然c的例子那樣。
DFT作為如此重要的一項(xiàng)技術(shù)，因此不難理解科學(xué)家會(huì)在期盼這些泛函能夠解釋更復(fù)雜的分子相互作用之前，必須先做到能確保簡(jiǎn)單化學(xué)的正確性。通過(guò)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示泛函，并訓(xùn)練數(shù)據(jù)集來(lái)捕獲期望的精確泛函的分?jǐn)?shù)電子行為，新的研究解決了這兩個(gè)問題。他們的泛函在廣泛的、大規(guī)模的基準(zhǔn)測(cè)試中，都顯示出了高度的準(zhǔn)確性。
（a）顯微表征、結(jié)構(gòu)、加工、性質(zhì)和性能之間的潛在聯(lián)系，（b）約含2千萬(wàn)個(gè)原子的Al-Cu-Mg合金的APT數(shù)據(jù)，（c）DFT計(jì)算的72-atom超晶胞實(shí)例 （參考圖）
計(jì)算機(jī)模擬在現(xiàn)代工程中發(fā)揮著核心作用，使人們有可能為各種實(shí)際的應(yīng)用問題提供答案。
展開 變分原理之變分的一些基本概念
泛函的變分1: 與函數(shù)的微分類似，泛函變分的定義也有兩個(gè)。
dII=II[y(x)+dy(x)]-II[y(x)]=L[y(x)，dy(x)]
上式中 L[y(x)，dy(x)]就叫做泛函的變分，用 dII 表示。泛函的變分是泛函增量的
主部，而且這個(gè)主部對(duì)于dy(x)來(lái)說(shuō)是線性的。
泛函的變分2: 泛函變分是II[y(x)+edy(x)]對(duì)e的導(dǎo)數(shù)在e=0時(shí)的值，且拉格朗日的泛函
變分
展開 深度學(xué)習(xí)在量子力學(xué)水平上模擬物質(zhì)的能力（轉(zhuǎn)載）
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尤為值得一提的是，在這次的研究結(jié)果中，研究人員解決了長(zhǎng)期存在與傳統(tǒng)泛函中的兩個(gè)問題。
第一個(gè)問題名為退局域誤差：在DFT計(jì)算中，泛函會(huì)通過(guò)找到能夠使能量最小化的電子構(gòu)型，來(lái)決定分子的電荷密度。因此，泛函中的誤差會(huì)造成計(jì)算出的電子密度中出現(xiàn)誤差。大多數(shù)現(xiàn)有的對(duì)密度泛函的近似，都不會(huì)讓電子密度精準(zhǔn)地局限在一個(gè)分子或一個(gè)原子周圍，而是傾向于讓電子密度以不切實(shí)際的形式分散在幾個(gè)原子或幾個(gè)分子之周圍。
另一個(gè)問題被稱為自旋對(duì)稱性破缺：當(dāng)描述化學(xué)鍵的破壞時(shí)，現(xiàn)有的泛函趨向于不現(xiàn)實(shí)地偏向一種基本對(duì)稱性被打破的構(gòu)型，這種基本對(duì)稱就是自旋對(duì)稱性。由于對(duì)稱性對(duì)于我們理解物理和化學(xué)起著至關(guān)重要的作用，因此這種人為的破壞對(duì)稱性，成了現(xiàn)有泛函的一個(gè)主要問題。
從理論上看，任何涉及電荷運(yùn)動(dòng)的化學(xué)-物理過(guò)程，都容易發(fā)生退局域誤差；而任何涉及到鍵的斷裂的過(guò)程，都容易發(fā)生自旋對(duì)稱性破缺。電荷的運(yùn)動(dòng)和鍵的斷裂是許多重要技術(shù)應(yīng)用的核心，但這也可能導(dǎo)致泛函在描述一些最簡(jiǎn)單的分子時(shí)出現(xiàn)嚴(yán)重問題，正如我們?cè)谇拔乃岬降穆然c的例子那樣。
DFT作為如此重要的一項(xiàng)技術(shù)，因此不難理解科學(xué)家會(huì)在期盼這些泛函能夠解釋更復(fù)雜的分子相互作用之前，必須先做到能確保簡(jiǎn)單化學(xué)的正確性。通過(guò)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示泛函，并訓(xùn)練數(shù)據(jù)集來(lái)捕獲期望的精確泛函的分?jǐn)?shù)電子行為，新的研究解決了這兩個(gè)問題。他們的泛函在廣泛的、大規(guī)模的基準(zhǔn)測(cè)試中，都顯示出了高度的準(zhǔn)確性。
（a）顯微表征、結(jié)構(gòu)、加工、性質(zhì)和性能之間的潛在聯(lián)系，（b）約含2千萬(wàn)個(gè)原子的Al-Cu-Mg合金的APT數(shù)據(jù)，（c）DFT計(jì)算的72-atom超晶胞實(shí)例 （參考圖）
計(jì)算機(jī)模擬在現(xiàn)代工程中發(fā)揮著核心作用，使人們有可能為各種實(shí)際的應(yīng)用問題提供答案。
展開 變分原理之修正變分原理
修正（約束）變分原理
建立了自然變分原理后，問題的解為泛函II 取駐值。
但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，
我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。可以將附加條件引入
泛函，重新構(gòu)造一個(gè)“修正泛函”，把問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問題。
常用方法：
Lagrange 乘子法，罰函數(shù)法。
Lagrange 乘子法(l乘子法)
修正泛函II*：
原泛函II的約束變分問題，轉(zhuǎn)化為修正泛函II*的無(wú)約束變分，代價(jià)是修正泛函
增加了附加未知函數(shù) 。
展開 
使用Gaussian進(jìn)行稀土金屬化合物結(jié)構(gòu)優(yōu)化
密度泛函理論（DFT）的計(jì)算方法，由于其良好的計(jì)算效率和準(zhǔn)確度，被廣泛應(yīng)用于稀土化合物的電子結(jié)構(gòu)研究、光學(xué)性能、磁性以及催化性能等領(lǐng)域。在這一過(guò)程中，Gaussian軟件作為一種經(jīng)典的量子化學(xué)計(jì)算程序，提供了豐富的功能來(lái)支持DFT計(jì)算，廣泛應(yīng)用于稀土化合物的研究。
在稀土化合物的研究中，Gaussian軟件結(jié)合密度泛函理論（DFT）能夠在多個(gè)方面提供關(guān)鍵的理論支持。首先，通過(guò)DFT計(jì)算可以優(yōu)化稀土化合物的幾何結(jié)構(gòu)，獲得最低能量構(gòu)型，從而幫助確定金屬中心的配位數(shù)和幾何構(gòu)型，分析化合物的穩(wěn)定性。其次，Gaussian能夠精確計(jì)算稀土化合物的電子結(jié)構(gòu)，揭示電子軌道分布和f電子的貢獻(xiàn)，為理解其光學(xué)性質(zhì)（如吸收光譜、發(fā)光特性）和磁性（如磁矩、磁各向異性）提供重要信息。此外，Gaussian還可用于研究催化反應(yīng)的反應(yīng)機(jī)理，計(jì)算過(guò)渡態(tài)和活化能，進(jìn)而為稀土化合物在催化領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。最后，通過(guò)計(jì)算振動(dòng)頻率、NMR、IR和UV-Vis光譜，Gaussian能夠預(yù)測(cè)稀土化合物的光譜特性，這對(duì)于研究其在光電材料、熒光材料和激光器中的應(yīng)用具有重要價(jià)值。總體而言，Gaussian與DFT方法為稀土化合物的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與應(yīng)用研究提供了全面的理論支持。
在使用Gaussian進(jìn)行稀土金屬化合物結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，主要面臨以下幾個(gè)困難和挑戰(zhàn)：
f電子的處理：稀土金屬化合物中通常包含f區(qū)電子，而f電子的處理非常復(fù)雜。Gaussian采用DFT方法時(shí)，常常需要選擇合適的交換-關(guān)聯(lián)泛函（如LDA、GGA或混合泛函），但是傳統(tǒng)的DFT方法可能無(wú)法精確描述f電子的局部化特性或強(qiáng)電子相關(guān)效應(yīng)，這可能導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察之間存在差異。針對(duì)這一問題，可能需要采用更加精細(xì)的計(jì)算方法（如DFT+U或多體方法）來(lái)更好地描述f電子。
展開 基于PERA SIM 的曲軸靜力學(xué)及模態(tài)分析
若從能量的觀點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合最小勢(shì)能原理，即真實(shí)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)總是保持勢(shì)能最低的，由此可以得到勢(shì)能關(guān)于位移和應(yīng)變的泛函，即積分形式，用變分法求解勢(shì)能泛函極值也可得到和微分方程一樣的形式。
從這點(diǎn)上看，二者是等價(jià)的，但我們只要求了勢(shì)能最低，是一個(gè)“宏觀籠統(tǒng)”的概念，理論上并未要求積分域內(nèi)任意一點(diǎn)均滿足微分方程的邊界條件的形式，所以為弱形式。事實(shí)上，任意一個(gè)偏微分方程都可以等效轉(zhuǎn)換為基于最小勢(shì)能的泛函極值問題。
換一個(gè)通俗易懂的說(shuō)法，我們假設(shè)滿足邊界條件的位移u1、u2、u3…為可能的解，其對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為П1、П2、П3...；在所有可能的位移中，只有使勢(shì)能П最小的那個(gè)位移u，才是真實(shí)的解。
尋找最小勢(shì)能對(duì)應(yīng)的位移的過(guò)程就需要引入變分法，即求泛函極值問題的方法；關(guān)于變分原理可以參考相應(yīng)的書籍，本文不在此詳細(xì)討論；需要指出的是，變分法就是在無(wú)窮多的可能位移解中找到真實(shí)的那一個(gè)位移解的過(guò)程，標(biāo)準(zhǔn)就是只有真實(shí)位移解才能使勢(shì)能最小。
雖然偏微分方程描述和泛函極值描述二者是等價(jià)的，但是基于變分法的泛函極值問題并未給我們指出如何得到解的具體形式。
好在我們只需要得一個(gè)近似的數(shù)值解。
既然我們無(wú)法得到位移關(guān)于坐標(biāo)的具體函數(shù)形式，那我們可以假設(shè)位移為某些已知函數(shù)形式的線性組合，如u(x)=a0+a1x+a2x2，函數(shù)的可能空間變得小了很多；求解位移u(x)的過(guò)程就轉(zhuǎn)換為求解待定系數(shù)a0、a1、a2的過(guò)程，即求解關(guān)于待定系數(shù)的線性代數(shù)方程組。
2.2. 基本理論
對(duì)于外形復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，我們將其離散，生成有限個(gè)小塊，這些小塊被稱為“單元”，這就是“有限單元法”的由來(lái)。
展開 張量變分學(xué)的基本概念及其定義 附變分學(xué)講義張恭慶下載
作者能給出的答案是“泛函對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)”。這個(gè)答案當(dāng)然不算錯(cuò)，但有局限性。
02
從歷史的天空
看經(jīng)典變分概念的整體性
歷史地看，變分似乎是個(gè)整體性概念。
整體和局部及其相互關(guān)系，是哲學(xué)家關(guān)注的問題，也是自然科學(xué)家感興趣的問題。
早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來(lái)，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。
由此，作者樹立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；
微分被定義在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)，變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上；微分提法對(duì)應(yīng)局部化數(shù)理分析之路，變分提法對(duì)應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。
從力學(xué)的角度看，上述觀念似乎經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)。場(chǎng)函數(shù)的微分，涉及空間域上“點(diǎn)的鄰域” 內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的增量。“點(diǎn)的鄰域” 當(dāng)然是局部性概念。彈性力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點(diǎn)的鄰域” 的幾何化形態(tài)，自然是局部性概念。
泛函的變分，是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學(xué)有最小勢(shì)能原理和最小余能原理。兩個(gè)原理分別涉及勢(shì)能泛函的變分和余能泛函的變分。勢(shì)能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。
分析力學(xué)有最小作用量原理。
展開 《彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理（第二版）》
目錄：
第一章 緒論
第一節(jié) 彈性力學(xué)邁值問題地變分描述
第二節(jié) 固體力學(xué)中變分原理的定義和分類
第三節(jié) 變分原理的優(yōu)點(diǎn)
第四節(jié) 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節(jié) 變分法問題的簡(jiǎn)例
第二節(jié) 函數(shù)與泛函
第三節(jié) 變分的若干運(yùn)算性質(zhì)
第四節(jié) 變分學(xué)中的若干基本定理
第五節(jié) 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節(jié) 條件駐值問題
第三章 彈性力學(xué)中的變分原理與有限元模型
第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程的張量表示
第二節(jié) 彈性力學(xué)邁值問題轉(zhuǎn)化為能量泛函極值問題
第三節(jié) 極小勢(shì)能原理與協(xié)調(diào)模型
第四節(jié) 極小余能原理與平衡模型 I
第五節(jié) 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節(jié) 復(fù)雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節(jié) 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節(jié) 分區(qū)的廣義變分原理
第九節(jié) 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節(jié) 雜交應(yīng)力模型
第十一節(jié) 修正的勢(shì)能原理和雜交位移模型簡(jiǎn)介
第十二節(jié) 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節(jié) 小位移彈性力學(xué)各種變分原理的關(guān)系
第四章 塑性力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
第一節(jié) 彈塑性問題的虛功原理與余虛功原理
第二節(jié) 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節(jié) 彈塑性全量理論的最小勢(shì)能原理
第四節(jié) 若干材料模型的變分原理
第五節(jié) 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節(jié) 彈塑性增量理論的變分原理
第七節(jié) 速率型本構(gòu)關(guān)系及能量公式
第八節(jié) 基于最小勢(shì)能原理的彈塑性有限元法
第九節(jié) 彈塑性問題解的唯一性問題
第十節(jié) 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問題的變分原理
第一節(jié) 有限位移彈性理論的最小勢(shì)能原理
第二節(jié) 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節(jié) 有限位移問題的廣義變分原理
第四節(jié) 有限位移問題的有限單元法 穩(wěn)定問題的特征值
第五節(jié) 彈性動(dòng)力學(xué)問題的變分原理
第六節(jié) 彈性體自由振動(dòng)的變分原理
第七節(jié) 穩(wěn)定溫度場(chǎng)的熱彈性變分原理
第八節(jié)
展開 第一性原理在材料科學(xué)上的應(yīng)用進(jìn)展
1964年，Hohenberg和Kohn提出了密度泛函理論，這一理論巧妙地將電子之間的交換關(guān)聯(lián)勢(shì)表示為密度泛函的形式，從而使得材料的性質(zhì)可以由電子密度求出。此后，Kohn和Sham（沈呂九）得到了密度泛函理論中的單電子方程，即Kohn-Sham（KS）方程，使得密度泛函理論得以實(shí)際應(yīng)用[3,4]。本文大概匯總了第一性原理在以下方面的最新應(yīng)用進(jìn)展：
晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)和構(gòu)型的計(jì)算
晶體結(jié)構(gòu)是了解材料最基本性質(zhì)的基礎(chǔ)，尤其對(duì)揭示材料微觀結(jié)構(gòu)與彈性、電子、聲子和熱力學(xué)等本征性質(zhì)關(guān)系具有重要的作用。
Leineweber和T. Hickel等人利用窮舉法對(duì)Fe4N和Fe4C可能的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了DFT計(jì)算分析，考慮了Fe原子的fcc排列和N/C原子在八面體上的位置，其中，部分結(jié)構(gòu)可以通過(guò)Bain畸變得到穩(wěn)定，C原子在bcc中呈現(xiàn)出Zener型序列，見圖2，并揭示了間隙原子有序化傾向的特征差異，這與試驗(yàn)觀察到的奧氏體結(jié)構(gòu)差異相一致[5]。
圖2 兩種Fe原子（藍(lán)色）的fct（face-centred tetragonal）排列
合金相穩(wěn)定性的計(jì)算
運(yùn)用基于超贗勢(shì)平面波的第一性原理總能方法對(duì)晶體相結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并得出不同堆垛次序的微觀結(jié)構(gòu)的熱力學(xué)穩(wěn)定性，從而預(yù)測(cè)出可能存在的最穩(wěn)定結(jié)構(gòu)是設(shè)計(jì)和開發(fā)新型材料的重要手段。
展開 解的收斂性
在有限元法中，場(chǎng)函數(shù)的總體泛函是由單元泛函集成的。如果采用完全多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù)（即試探函數(shù)），則有限元解在一個(gè)有限尺寸的單元內(nèi)可以精確地和真正解一致。但是實(shí)際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項(xiàng)多項(xiàng)式，因此有限元解只能是真正解的一個(gè)近似解答。
每一個(gè)單元的泛函有可能趨于它的精確值。如果試探函數(shù)還滿足連續(xù)性要求，則整個(gè)系統(tǒng)的泛函將趨近于它的精確值。有限元解就趨近于精確解，也就是說(shuō)解是收斂的。
最書面的理解是：當(dāng)選取的單元既完備又協(xié)調(diào)時(shí)，有限元解是收斂的。即當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，有限元解趨于真正解。 （關(guān)于單元的完備、協(xié)調(diào)性概念可以參考清華大學(xué)王勖成老師的書《有限單元法》，2003年）
這就是有限元的收斂性，需要說(shuō)明的是：由于數(shù)學(xué)微分方程的精確解往往不一定能夠得到，甚至問題的數(shù)學(xué)微分方程并未建立（例如對(duì)于復(fù)雜型式的結(jié)構(gòu)）。同時(shí)有限元解中通常包含多種誤差（例如計(jì)算機(jī)的截?cái)嗾`差和舍入誤差），因此有限元解收斂于精確解，在更嚴(yán)格意義上說(shuō)是問題的有限元解的離散誤差趨于零。
那怎么在計(jì)算的過(guò)程中避免不收斂呢，aba_aba大神常見問題匯總中給了我們模型改進(jìn)的方向和一些方法，現(xiàn)列舉如下。
1. 接觸分析真正加載之前，設(shè)置一個(gè)接觸步讓兩個(gè)面接觸上來(lái)，在這個(gè)步驟里面，接觸面的過(guò)盈小一點(diǎn)好，比如0.001.接下去再把作用與兩個(gè)接觸體的力及接觸方向的自由度放開。
2. 如果系統(tǒng)的載荷很多的話，將系統(tǒng)的載荷分zuo多步進(jìn)行加載，一次性全上可能使系統(tǒng)無(wú)法在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)收斂。所以根據(jù)需要分開，讓abaqus的內(nèi)核慢慢消化去。少吃多餐在這邊好像也是成立的。
3. 系統(tǒng)有多個(gè)接觸的話，也最好如載荷一樣，分成幾個(gè)step讓他們接觸上。
展開 基于VASP研究Co摻雜BiFeO3后的材料性能
圖一 BiFeO3的結(jié)構(gòu)
工作室基于第一性原理計(jì)算,研究了Co25%摻雜的BiFeO3的晶體結(jié)構(gòu)、電子結(jié)構(gòu)以及磁結(jié)構(gòu),研究了Co摻雜對(duì)其鐵電性、鐵磁性及絕緣性的影響.采用密度泛函理論(DFT)結(jié)合投影綴加波PAW(projector augumented wave)方法的VASP(Viennaab-initio simulation package)軟件包,對(duì)BiFeO3以及BiFe0.75Co0.25O3進(jìn)行第一性原理研究,電子和電子之間的交換關(guān)聯(lián)勢(shì)采用廣義梯度近似GGA(gradientgeneralized approximation)下的PBE(Perdew BurkeErnzerhof)泛函進(jìn)行處理,計(jì)算選取的PAW方法和PBE泛函考慮了過(guò)渡元素3d電子的關(guān)聯(lián)作用,處理含過(guò)渡元素問題可以得到較合理的結(jié)果。計(jì)算得到了它的晶格結(jié)構(gòu)、原子磁矩、能帶結(jié)構(gòu)與分波態(tài)密度.分別如圖二、三、四所示。
因此，在塊狀BiFeO3材料中進(jìn)行25%的Co摻雜,不會(huì)破壞晶格的鈣鈦礦結(jié)構(gòu).由于Co雜質(zhì)的摻入引起了G型反鐵磁序改變,形成了亞鐵磁的磁結(jié)構(gòu),導(dǎo)致材料具有較強(qiáng)的鐵磁性.實(shí)驗(yàn)上得到的Co摻雜BiFeO3薄膜材料的磁學(xué)性質(zhì)、鐵電性質(zhì)與本文結(jié)果較好地對(duì)應(yīng):Co摻雜后BeFeO3材料的鐵電性基本不變,鐵磁性有了較大的提高。
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推薦 彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理（第二版）——教育部推薦的研究生教學(xué)用書
作者簡(jiǎn)介：
目錄：
第一章 緒論
第一節(jié) 彈性力學(xué)邁值問題地變分描述
第二節(jié) 固體力學(xué)中變分原理的定義和分類
第三節(jié) 變分原理的優(yōu)點(diǎn)
第四節(jié) 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節(jié) 變分法問題的簡(jiǎn)例
第二節(jié) 函數(shù)與泛函
第三節(jié) 變分的若干運(yùn)算性質(zhì)
第四節(jié) 變分學(xué)中的若干基本定理
第五節(jié) 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節(jié) 條件駐值問題
第三章 彈性力學(xué)中的變分原理與有限元模型
第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程的張量表示
第二節(jié) 彈性力學(xué)邁值問題轉(zhuǎn)化為能量泛函極值問題
第三節(jié) 極小勢(shì)能原理與協(xié)調(diào)模型
第四節(jié) 極小余能原理與平衡模型 I
第五節(jié) 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節(jié) 復(fù)雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節(jié) 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節(jié) 分區(qū)的廣義變分原理
第九節(jié) 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節(jié) 雜交應(yīng)力模型
第十一節(jié) 修正的勢(shì)能原理和雜交位移模型簡(jiǎn)介
第十二節(jié) 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節(jié) 小位移彈性力學(xué)各種變分原理的關(guān)系
第四章 塑性力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
第一節(jié) 彈塑性問題的虛功原理與余虛功原理
第二節(jié) 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節(jié) 彈塑性全量理論的最小勢(shì)能原理
第四節(jié) 若干材料模型的變分原理
第五節(jié) 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節(jié) 彈塑性增量理論的變分原理
第七節(jié) 速率型本構(gòu)關(guān)系及能量公式
第八節(jié) 基于最小勢(shì)能原理的彈塑性有限元法
第九節(jié) 彈塑性問題解的唯一性問題
第十節(jié) 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問題的變分原理
第一節(jié) 有限位移彈性理論的最小勢(shì)能原理
第二節(jié) 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節(jié) 有限位移問題的廣義變分原理
第四節(jié) 有限位移問題的有限單元法 穩(wěn)定問題的特征值
第五節(jié) 彈性動(dòng)力學(xué)問題的變分原理
展開 Materials Studio材料建模與模擬計(jì)算工作站方案2021v4
（二）Materials Studio軟件計(jì)算特點(diǎn)
2.1 MS求解器支持單機(jī)CPU、GPU卡、MPI多機(jī)集群情況
如何配置一臺(tái)具有高性能能力的圖形工作站（CPU、內(nèi)存、硬盤、顯卡），需要對(duì)其算法特點(diǎn)、以及計(jì)算規(guī)模進(jìn)行分析
No
分類
模塊
功能描述
CPU并行
GPU加速
集群
1
可視化分析
Materials Visualizer
材料可視化工具
搭建分子、晶體及高分子材料結(jié)構(gòu)模型
2
量子力學(xué)類
DMol3
密度泛函量子力學(xué)程序原子軌道線性組合法，計(jì)算能帶、態(tài)密度
√
√
CASTEP
材料科學(xué)量子力學(xué)程序平面波贗勢(shì)密度泛函法，模型較小，包含數(shù)十、乃至數(shù)百個(gè)原子
√
√
NMR CASTEP
MS CASTEP的擴(kuò)展模塊
晶胞進(jìn)行幾何優(yōu)化，若精度要求較高
√
ONETEP
進(jìn)行線性標(biāo)度密度泛函模擬
√
√
DFTB+
半經(jīng)驗(yàn)量子力學(xué)程序
密度泛函的緊束縛法模擬體系大,對(duì)數(shù)千個(gè)原子體系進(jìn)行模擬
√
√
VAMP
半經(jīng)驗(yàn)量子力學(xué)程序
原子軌道線性組合方法，對(duì)于涉及電子得失或轉(zhuǎn)移的過(guò)程（諸如涉及化學(xué)反應(yīng)的過(guò)程）的模擬
Cantera
化學(xué)反應(yīng)速率方程求解器
QMERA
量子力學(xué)與分子力學(xué)的雜化方法
√
3
分子力學(xué)與分子動(dòng)力學(xué)類
COMPASS
對(duì)凝聚態(tài)材料進(jìn)行原子水平模擬的功能強(qiáng)大的力場(chǎng)
展開 學(xué)習(xí)有限元需了解的知識(shí)點(diǎn)
區(qū)別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜精度較低；里茲法：根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)的定解構(gòu)造等價(jià)的泛函表達(dá)式，求得近似解；有限元：基于變分法，采用分片近似進(jìn)而逼近總體的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。
3、 一根單位長(zhǎng)度重量為q的懸掛直桿，上端固定，下端受垂直向下的外力P，試
1） 建立其受拉伸的微分方程及邊界條件；
2） 構(gòu)造其泛函形式；
3） 基于有限元基本思想和泛函求極值構(gòu)造其有限元的計(jì)算格式（即最小勢(shì)能原理）。
4、 以簡(jiǎn)單實(shí)例為對(duì)象，分別按虛功原理和變分原理導(dǎo)出有限元法的基本格式（單元?jiǎng)偠染仃嚕?5、 什么是節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？
答：節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互作用
節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載
6、 單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有何特點(diǎn)？其中每個(gè)矩陣元素的物理意義是什么（按自由度和節(jié)點(diǎn)解釋）？
答：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簩?duì)稱性、奇異性、主對(duì)角線恒為正
整體剛度矩陣：對(duì)稱性、奇異性、主對(duì)角線恒為正、稀疏性、帶狀性。
Kij，表示j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)作用i節(jié)點(diǎn)的力，節(jié)點(diǎn)力等于節(jié)點(diǎn)位移與單元?jiǎng)偠仍爻朔e之和。
7、 單元的形函數(shù)具有什么特點(diǎn)？有哪些性質(zhì)？
答：形函數(shù)的特點(diǎn)：Ni為x，y的坐標(biāo)函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)的值為1，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0；
單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1；
形函數(shù)的值在0~1間變化。
8、 描述彈性體的基本變量是什么？基本方程有哪些組成？
答：基本變量：外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移
基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、幾何條件
9、 何謂應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念？應(yīng)力與強(qiáng)度是什么關(guān)系？
展開 有限元法講解及運(yùn)用常應(yīng)變?nèi)切螁卧鈴椥粤W(xué)平面問題（FORTRAN語(yǔ)言編寫有限元法程序算例）
還有學(xué)者進(jìn)一步研究了加權(quán) 殘值法與有限元方法之間的關(guān)系，對(duì)于一些尚未確定出 能量泛函得復(fù)雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應(yīng)用領(lǐng)域大大的擴(kuò)展，我 國(guó)的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長(zhǎng)最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關(guān)系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。
我國(guó)著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國(guó)，對(duì)它的應(yīng)用起了很大的推動(dòng)作用。
3.有限元法的基本思想
有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來(lái)，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問題有所聯(lián)系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運(yùn)用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。
步驟2：?jiǎn)卧治?進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過(guò)對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。
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