1 綜述

1.1 有限元分析基本理論

1.1.1 有限元法簡(jiǎn)介

在工程科技的不斷進(jìn)步中，固體力學(xué)作為核心學(xué)科，對(duì)于飛行器、船舶、車輛、機(jī)械裝備、水壩、橋梁和建筑物等工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析具有至關(guān)重要的作用。自20世紀(jì)40年代以來，科研人員已經(jīng)提出并發(fā)展了多種理論方法，包括變分法、差分法和松弛法等，為簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)模型的分析提供了精確的解析解或數(shù)值解。然而，面對(duì)日益復(fù)雜的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，這些傳統(tǒng)方法往往難以提供足夠精確的分析結(jié)果。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，設(shè)計(jì)者通常會(huì)通過近似分析對(duì)具體工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步設(shè)計(jì)，然后結(jié)合經(jīng)驗(yàn)與已建工程的類比來確定最終設(shè)計(jì)方案。為確保結(jié)構(gòu)的安全性，還會(huì)依據(jù)模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果適當(dāng)提高安全系數(shù)。

隨著20世紀(jì)40年代中期大型計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，科研人員開始利用計(jì)算機(jī)對(duì)桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力學(xué)和變位法的基本方程進(jìn)行解析，推導(dǎo)出了矩陣力法和矩陣位移法。在此基礎(chǔ)上，20世紀(jì)50年代中期，有限單元法（FEM）應(yīng)運(yùn)而生。

有限單元法將連續(xù)介質(zhì)離散成一系列單元格，將無限自由度問題轉(zhuǎn)化為有限問題，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。這種方法適用于分析形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，因此迅速受到科研界的廣泛關(guān)注，并迅速拓展到固體力學(xué)的各個(gè)分支領(lǐng)域，如流體力學(xué)和熱傳導(dǎo)學(xué)等。如今，有限元法已成為工程計(jì)算中的重要方法。

有限元法是一種高效且實(shí)用的計(jì)算方法。在工程計(jì)算領(lǐng)域，通常需要求解各種微分方程，但大多數(shù)微分方程的精確解并不容易獲得。通過有限元法將微分方程離散化后，可以編寫相應(yīng)程序并通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解，從而得到微分方程的近似解，其精度可在一定程度上無限接近于精確解。這為微分方程的求解提供了一個(gè)高效率、高精度的計(jì)算方法。

最初，有限元法的理論發(fā)展基于變分理論，因此更多地應(yīng)用于物理場(chǎng)中。然而，到了20世紀(jì)60年代，科研人員在流體力學(xué)中通過對(duì)余數(shù)法中的迦遼金法（Galerkin）進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算或最小二乘法運(yùn)算時(shí)也得到了有限元方程。這使得有限元法能夠應(yīng)用于任何由微分方程描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這些物理場(chǎng)必須與泛函的極值問題有聯(lián)系。

1.1.2 有限元法的特點(diǎn)

有限元法（FEM）已成為解決工程和科學(xué)問題的主流數(shù)值分析工具。相較于其他數(shù)值方法，有限元法展現(xiàn)出多個(gè)顯著優(yōu)勢(shì)：

（1）對(duì)于實(shí)際工程中遇到的各種復(fù)雜形狀和非均質(zhì)材料構(gòu)成的實(shí)體結(jié)構(gòu)，有限元法能夠提供精確的分析。這意味著，無論是流體動(dòng)力學(xué)中的復(fù)雜流場(chǎng)，還是復(fù)合材料的應(yīng)力分布，F(xiàn)EM都能夠有效地模擬和預(yù)測(cè)。

（2）FEM能夠模擬復(fù)雜的材料本構(gòu)關(guān)系、施加的荷載以及邊界條件。例如，巖土工程中的滲流問題、初始應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)，以及混凝土結(jié)構(gòu)中的不均勻溫度場(chǎng)等，這些在實(shí)際物理模型中難以模擬的現(xiàn)象，都可以通過有限元法得到有效處理。

（3）有限元法在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析方面具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。在過去，科研人員主要針對(duì)靜力學(xué)問題進(jìn)行精確求解，而對(duì)動(dòng)力學(xué)問題的處理則相對(duì)困難。有限元法的出現(xiàn)極大地改善了這一狀況，使得結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的精確求解成為可能。

（4）隨著預(yù)處理和后處理技術(shù)的不斷進(jìn)步，F(xiàn)EM能夠?qū)Χ喾N設(shè)計(jì)方案進(jìn)行比較分析，并通過圖表及時(shí)展示計(jì)算結(jié)果。這不僅有助于優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，還提高了工程設(shè)計(jì)的效率和準(zhǔn)確性。

1.1.3 有限元法分析過程

有限元分析的求解過程可概括為三個(gè)主要步驟：

步驟一：網(wǎng)格剖分（Meshing） 在這一步驟中，待求解的連續(xù)體區(qū)域被劃分為有限數(shù)量的元素，形成一個(gè)離散的集合。理論上，這些元素可以采取任意形狀。對(duì)于二維問題，常用的元素類型包括三角形和矩形；而在三維問題中，則通常采用四面體或多面體元素。每個(gè)元素的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。

步驟二：元素分析（Element Analysis） 在此階段，進(jìn)行局部的分片插值。這意味著在每個(gè)離散元素內(nèi)，利用特定的形狀函數(shù)和節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，對(duì)元素內(nèi)任意點(diǎn)的未知函數(shù)進(jìn)行插值展開。這可能涉及建立線性或非線性插值函數(shù)，以便在局部層面上近似真實(shí)的物理行為。

步驟三：方程求解（Solution of Variational Equations） 將連續(xù)體離散化為一系列元素后，這些元素被進(jìn)一步組織成組，并賦予相應(yīng)的函數(shù)值。這樣，可以解決實(shí)際工程和物理問題。通過這種方式，連續(xù)體被轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)方程組，其中包含了有限個(gè)能量方程和加權(quán)余量方程。這個(gè)方程組的解即是有限元法的解。

有限元法的核心在于將整個(gè)連續(xù)體離散化，將其分解為有限的單元集合。例如，對(duì)于一個(gè)桿系結(jié)構(gòu)，離散化后的每個(gè)單元代表一個(gè)單獨(dú)的桿件。類似地，對(duì)于一個(gè)連續(xù)體，離散化最終產(chǎn)生的單元可能包括三角形、四邊形、六面體等各種形狀。每個(gè)單元的物理場(chǎng)函數(shù)由簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)組成，這些場(chǎng)函數(shù)僅依賴于有限個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。當(dāng)這些單元場(chǎng)函數(shù)組合在一起時(shí)，它們能夠近似表示整個(gè)連續(xù)體的物理場(chǎng)函數(shù)。

最終，通過求解由能量原理和加權(quán)殘差法導(dǎo)出的代數(shù)方程組，獲得了有限元法的數(shù)值解。這個(gè)解是對(duì)原始連續(xù)體問題的近似，其精度取決于網(wǎng)格剖分的細(xì)密程度和所采用的插值函數(shù)的類型。

1.2 Ansys有限元分析軟件

1.2.1 Ansys軟件特點(diǎn)

在ANSYS 7.0版本問世之前，ANSYS公司致力于研發(fā)其核心產(chǎn)品ANSYS。這一版本通過其仿真效果的卓越和效率的顯著，贏得了工程界的廣泛贊譽(yù)。然而，盡管取得了如此成就，該版本在仿真模擬操作方面存在明顯的不足，即用戶必須通過編寫復(fù)雜的程序才能進(jìn)行仿真，這限制了其在工程領(lǐng)域的普及應(yīng)用。

隨著ANSYS公司成功推出ANSYS Workbench這一新型號(hào)，局面發(fā)生了轉(zhuǎn)變。ANSYS Workbench以其創(chuàng)新的用戶界面和工作流程，簡(jiǎn)化了仿真過程，極大地提升了用戶體驗(yàn)，因此迅速被廣泛應(yīng)用，其普及程度甚至超越了傳統(tǒng)的ANSYS經(jīng)典版本。目前，ANSYS Workbench已經(jīng)發(fā)展到24.0版本，繼續(xù)引領(lǐng)著行業(yè)的進(jìn)步。

ANSYS Workbench作為一個(gè)先進(jìn)的仿真平臺(tái)，具備分析和模擬復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的能力。它涵蓋了結(jié)構(gòu)靜力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、剛體動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)熱力學(xué)、電磁場(chǎng)分析以及多物理場(chǎng)耦合分析等多個(gè)領(lǐng)域。這些功能使得工程師能夠?qū)C(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行全面的性能評(píng)估，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高產(chǎn)品的可靠性和性能。

在結(jié)構(gòu)靜力學(xué)方面，ANSYS Workbench能夠模擬材料在靜態(tài)載荷下的響應(yīng)，包括應(yīng)力、應(yīng)變和位移等參數(shù)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中，該平臺(tái)可以模擬結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的行為，如振動(dòng)和疲勞。剛體動(dòng)力學(xué)分析允許工程師研究物體在受到力和扭矩作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。

流體動(dòng)力學(xué)模塊使工程師能夠模擬液體或氣體在各種條件下的流動(dòng)行為，這對(duì)于設(shè)計(jì)高效的流體傳輸系統(tǒng)至關(guān)重要。結(jié)構(gòu)熱力學(xué)分析則關(guān)注材料在熱載荷下的行為，包括熱膨脹和熱應(yīng)力。

電磁場(chǎng)分析功能為電氣和電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了強(qiáng)大的工具，而耦合場(chǎng)分析能力則允許工程師研究多個(gè)物理場(chǎng)之間的相互作用，這對(duì)于解決實(shí)際工程問題尤為關(guān)鍵。

總之，ANSYS Workbench通過其強(qiáng)大的仿真功能和用戶友好的界面，已經(jīng)成為工程領(lǐng)域中不可或缺的工具，幫助工程師在設(shè)計(jì)、分析和優(yōu)化復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)時(shí)做出更加精確和有效的決策。

1.2.2 Ansys的具體運(yùn)行過程

ANSYS Workbench的仿真分析流程可以概括為以下四個(gè)主要步驟：

（1）前處理階段：

這一階段的核心任務(wù)是為仿真分析設(shè)定基礎(chǔ)。首先，需要確定分析類型，這可能包括靜力分析，用于評(píng)估結(jié)構(gòu)在恒定載荷下的行為，或模態(tài)分析，用于確定結(jié)構(gòu)的自然頻率和振型。接下來，選擇合適的單元類型是至關(guān)重要的，例如殼單元適用于薄壁結(jié)構(gòu)，而實(shí)體單元適用于三維實(shí)體。此外，模型類型的選擇也在此階段進(jìn)行，區(qū)分零件和組件有助于管理復(fù)雜的裝配體。

（2）建模與網(wǎng)格劃分階段：

在這個(gè)階段，將創(chuàng)建或?qū)霂缀文Ｐ停@是仿真的基礎(chǔ)。幾何模型的準(zhǔn)確性直接影響到分析結(jié)果的可靠性。隨后，定義材料屬性是確保仿真反映真實(shí)情況的關(guān)鍵一步。材料的性質(zhì)，如彈性模量、泊松比和熱膨脹系數(shù)等，需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行設(shè)置。最后，網(wǎng)格劃分是將連續(xù)的幾何模型離散化為有限元模型的過程，網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響到求解的精度和效率。

（3）荷載與約束施加以及求解階段：

在這個(gè)階段，工程師需要在模型上施加相應(yīng)的荷載和約束條件，這些條件模擬了實(shí)際工作環(huán)境中結(jié)構(gòu)所承受的外部影響。荷載可以是力的分布，約束可以是固定支撐或滑動(dòng)界面。施加完這些條件后，進(jìn)行求解運(yùn)算，軟件將使用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

（4）后處理與結(jié)果驗(yàn)證階段：

最后階段涉及對(duì)求解結(jié)果的分析和驗(yàn)證。工程師將檢查各種物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等，以評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能和安全性。結(jié)果的可視化呈現(xiàn)對(duì)于解釋數(shù)據(jù)至關(guān)重要。此外，結(jié)果的正確性需要通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或其他仿真工具的結(jié)果對(duì)比來驗(yàn)證，以確保仿真分析的可靠性。

2 齒輪靜力學(xué)分析

2.1 靜力學(xué)分析概述

有限元分析根據(jù)結(jié)構(gòu)受到的載荷是否隨時(shí)間變化分為靜力學(xué)分析和動(dòng)力學(xué)分析。靜力學(xué)分析主要用于分析結(jié)構(gòu)在不隨時(shí)間變化的載荷作用下的響應(yīng)，例如恒定的重力、壓力或其他持久作用力。這種分析假設(shè)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)是瞬間發(fā)生的，不考慮時(shí)間因素和慣性力的影響，即：

式中，為單元內(nèi)的位移向量；

為插值函數(shù)矩陣；

為單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移向量。

根據(jù)彈性力學(xué)的基本理論，單元內(nèi)的位移與應(yīng)變的關(guān)系如下：

式中，為單元內(nèi)的應(yīng)變；

為應(yīng)變矩陣。

根據(jù)彈性力學(xué)方程，單元內(nèi)應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系則為：

式中，為單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力；

為彈性矩陣；

根據(jù)虛位移原理，節(jié)點(diǎn)位移與其節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系為：

式中，為單元中的節(jié)點(diǎn)力；

為單元中的剛度矩陣。

在施加了相應(yīng)的邊界條件后，可以得到一個(gè)非奇異的剛度矩陣，進(jìn)而可以求解出單元節(jié)點(diǎn)的力和位移，并進(jìn)一步近似計(jì)算連續(xù)求解域的應(yīng)力。靜力學(xué)分析能夠深入理解結(jié)構(gòu)在已知靜力載荷下的響應(yīng)，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變等，通過靜力學(xué)分析，可以確定模型在外部影響下的應(yīng)力、應(yīng)變和形變的變化規(guī)律。在分析過程中，載荷的大小和方向是恒定的，因?yàn)樵陟o力學(xué)分析中，假設(shè)模型受到的作用力和輸出結(jié)果不會(huì)隨時(shí)間變化。在分析中，可以選擇多種不同的載荷，如溫度、位移、慣性力和壓力等。

2.2 齒輪強(qiáng)度分析

（1）材料參數(shù)：采用結(jié)構(gòu)鋼進(jìn)行仿真

（2）模型導(dǎo)入：將catia模型轉(zhuǎn)成xt格式導(dǎo)入到ansys中

（3）網(wǎng)格劃分：由于涉及到接觸，因此采用高階四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在齒輪處對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密，設(shè)置面網(wǎng)格尺寸為2mm。

（3）接觸設(shè)置：設(shè)置主動(dòng)輪和從動(dòng)輪，分別將幾何體接地回轉(zhuǎn)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)。

（4）設(shè)置齒輪摩擦：設(shè)置摩擦系數(shù)為0.15，法向剛度設(shè)置為因數(shù)，法向剛度因數(shù)為1，更新剛度設(shè)置為每次迭代，界面處理設(shè)置為調(diào)整接觸。

（5）載荷條件：選擇連接副載荷，施加旋轉(zhuǎn)角度為10°

（5）變形云圖

最大變形云圖如下所示，可以看到最大變形為8.2675mm，位移主動(dòng)輪的齒輪面上，而回轉(zhuǎn)約束處的變形最小，幾乎為0.

3 齒輪模態(tài)分析

模態(tài)分析在機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析中扮演著關(guān)鍵角色。它能夠揭示機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有頻率、振動(dòng)模態(tài)，以及相應(yīng)的振幅和相位等核心數(shù)據(jù)。這些信息對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的設(shè)計(jì)和優(yōu)化至關(guān)重要。以高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)計(jì)為例，避免固有頻率與旋轉(zhuǎn)頻率共振是必要的，因?yàn)楣舱窨赡軐?dǎo)致機(jī)械結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定甚至損壞。通過計(jì)算機(jī)械結(jié)構(gòu)各個(gè)振動(dòng)模態(tài)的振幅和相位，我們能對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行評(píng)估，包括振幅分布、振動(dòng)模態(tài)之間的耦合情況等。模態(tài)分析不僅用于評(píng)估，還能預(yù)測(cè)特定激勵(lì)條件下，機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)，進(jìn)而為機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制和故障診斷提供指導(dǎo)。總而言之，模態(tài)分析為我們深入理解并處理機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性提供了重要支持，有助于機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化，以及故障的識(shí)別和診斷。

3.1 模態(tài)分析概述

無論簡(jiǎn)單或復(fù)雜，都可以是具有特定慣性和彈性特性的單一部件或由多個(gè)部件組成的裝配體。這些結(jié)構(gòu)涵蓋了廣泛的范疇，包括橋梁、建筑物、船舶、飛機(jī)、汽車以及其他各種設(shè)備。它們共同的特點(diǎn)是，每個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)都可視為由眾多組件構(gòu)成的整體，并具有影響其性能和行為的慣性和彈性屬性。

機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，即它們的振動(dòng)和響應(yīng)行為，是由這些慣性和彈性特性決定的。振動(dòng)對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的影響非常顯著，因?yàn)樗苯雨P(guān)聯(lián)到結(jié)構(gòu)的壽命、可靠性、安全性，以及工作精度和效率。過度的振動(dòng)不僅可能導(dǎo)致機(jī)械性能下降，還可能引發(fā)結(jié)構(gòu)損壞，從而影響整體安全。

因此，在設(shè)計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)時(shí)，設(shè)計(jì)師必須考慮外部因素對(duì)結(jié)構(gòu)可能造成的影響，并采取措施來控制由這些外界干擾引起的振動(dòng)幅度。這通常涉及應(yīng)用合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和采用有效的振動(dòng)控制策略，以確保機(jī)械結(jié)構(gòu)能夠在各種條件下正常運(yùn)行，并保持長(zhǎng)期的穩(wěn)定性和性能。通過這樣的設(shè)計(jì)和控制措施，可以優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)以抵御振動(dòng)相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，確保其持續(xù)可靠的性能。

模態(tài)分析在機(jī)械設(shè)備的設(shè)計(jì)、運(yùn)行以及故障診斷中起著至關(guān)重要的作用。它不僅可以確定機(jī)械設(shè)備的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)以避免共振現(xiàn)象，而且還可以提供振動(dòng)幅度等關(guān)鍵信息來指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

以下是對(duì)模態(tài)分析的一些具體應(yīng)用方面的總結(jié)：

1.評(píng)估和優(yōu)化設(shè)計(jì)：模態(tài)分析可以在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段預(yù)估結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，幫助設(shè)計(jì)師進(jìn)行振動(dòng)特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而提高產(chǎn)品的性能和可靠性。

2.故障診斷和預(yù)報(bào)：通過對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，可以識(shí)別出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷并診斷及預(yù)報(bào)潛在的結(jié)構(gòu)故障。

3.噪聲控制：利用模態(tài)分析可以有效地控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲，提高機(jī)械設(shè)備的工作環(huán)境質(zhì)量。

4.動(dòng)力學(xué)頻域分析：作為動(dòng)力學(xué)頻域分析的基礎(chǔ)，模態(tài)分析通過計(jì)算振動(dòng)頻率和振型，為深入理解結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

5.改善穩(wěn)定性：模態(tài)分析有助于發(fā)現(xiàn)機(jī)械設(shè)備存在的問題，如共振或應(yīng)力集中，從而在設(shè)計(jì)和制造過程中采取措施以提高設(shè)備的穩(wěn)定性。

3.2 模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可以準(zhǔn)確地通過模態(tài)參數(shù)來詳盡地刻畫，這些模態(tài)參數(shù)包括固有頻率、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度以及模態(tài)形狀，他們共同構(gòu)成了系統(tǒng)動(dòng)力特性的基礎(chǔ)。當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)受到外部激勵(lì)，并以其某一階次的固有頻率進(jìn)行振動(dòng)時(shí)，該結(jié)構(gòu)上的每一點(diǎn)將圍繞其靜力平衡位置產(chǎn)生位移。這些位移并非隨機(jī)分布，而是以一種特定的比例關(guān)系出現(xiàn)。換言之，結(jié)構(gòu)上的每個(gè)點(diǎn)會(huì)以一定的振型（即模態(tài)）進(jìn)行同步振動(dòng)，這種振型可以通過模態(tài)向量來數(shù)學(xué)表達(dá)。模態(tài)向量不僅提供了結(jié)構(gòu)在特定模態(tài)下各點(diǎn)的相對(duì)位移信息，而且還反映了整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)。

模態(tài)能夠描述結(jié)構(gòu)的固有屬性，模態(tài)振型描述了結(jié)構(gòu)在特定模態(tài)下的振動(dòng)形態(tài)，而固有頻率是結(jié)構(gòu)在沒有外部激勵(lì)時(shí)的自然振動(dòng)頻率。阻尼比則量化了結(jié)構(gòu)振動(dòng)衰減的速度，與系統(tǒng)的能量耗散機(jī)制有關(guān)。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，這些模態(tài)參數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試或數(shù)值計(jì)算方法來確定，這一過程統(tǒng)稱為模態(tài)分析。

模態(tài)分析的核心在于利用坐標(biāo)變換將復(fù)雜的多自由度振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)換為一系列簡(jiǎn)單的單自由度問題。這種轉(zhuǎn)換通過模態(tài)矩陣實(shí)現(xiàn)，其列向量即代表模態(tài)振型。模態(tài)矩陣不僅簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)處理過程，而且提供了對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)行為的直觀理解。

通過模態(tài)分析，能夠識(shí)別出結(jié)構(gòu)在各個(gè)階次下的關(guān)鍵模態(tài)特性，包括模態(tài)振型、阻尼比和固有頻率。這些信息對(duì)于預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在受到外部激勵(lì)時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)至關(guān)重要。此外，模態(tài)分析還可以幫助工程師評(píng)估結(jié)構(gòu)是否可能因共振而遭受破壞，從而在設(shè)計(jì)階段就避免潛在的風(fēng)險(xiǎn)，確保結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。

如某線性系統(tǒng)屬于有阻尼的、自由度為N維，那么在物理坐標(biāo)系下的 微分運(yùn)動(dòng)方程可以表示成：

式中：是方程的質(zhì)量矩陣；

為方程中各點(diǎn)的位移響應(yīng)向量；

為方程中的阻尼矩陣；

為方程中各點(diǎn)的速度響應(yīng)向量；

為方程中的剛度矩陣；

多數(shù)情況下剛度矩陣和質(zhì)量矩陣屬于實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣，而阻尼矩陣不是實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣，因此方程屬于耦合方程。

當(dāng)為0時(shí)，如果不考慮阻尼的作用，那么能夠獲得不存在阻尼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程，如式所示。

當(dāng)阻尼矩陣，帶入式即可求解結(jié)構(gòu)特征方程，得：

把式帶入到，通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程：

利用模態(tài)坐標(biāo)帶入對(duì)其解耦，即可得到：

利用振型矩陣將質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行對(duì)角化：

將式前乘以則可以得到：

經(jīng)過結(jié)構(gòu)的方程則可寫為：

任意坐標(biāo)系下為：

根據(jù)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中質(zhì)量矩陣、剛度矩陣對(duì)整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性求解，經(jīng)過歸一化處理則可以得到振型、固有頻率以及阻尼比。

質(zhì)量矩陣為：

剛度矩陣為：

運(yùn)動(dòng)方程則寫為：

其中：

3.3 齒輪模態(tài)分析結(jié)果

除了邊界條件有所改變，其余不變，設(shè)置求解階數(shù)6.

（1）邊界條件：設(shè)置主動(dòng)輪齒輪內(nèi)環(huán)固定支撐。

（2）模態(tài)振型

一階模態(tài)振型：一階模態(tài)振型如下圖所示，振型為扭轉(zhuǎn)振型，一階固有頻率為18117Hz。

二階模態(tài)振型：一階模態(tài)振型如下圖所示，振型為彎曲振型，一階固有頻率為21438Hz。

三階模態(tài)振型：三階模態(tài)振型如下圖所示，振型為彎曲振型，一階固有頻率為、21443Hz。

四階模態(tài)振型：四階模態(tài)振型如下圖所示，振型為扭轉(zhuǎn)振型，一階固有頻率為22426Hz。

五階模態(tài)振型：五階模態(tài)振型如下圖所示，振型為彎曲振型，一階固有頻率為21438Hz。

六階模態(tài)振型：六階模態(tài)振型如下圖所示，振型為彎曲振型，一階固有頻率為21438Hz。

4 齒輪瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

4.1 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析基本理論

瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析是一種用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的方法。在Ansys中，這種技術(shù)可以用來計(jì)算結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)載荷、瞬態(tài)載荷和簡(jiǎn)諧載荷下的位移、應(yīng)變和應(yīng)力隨時(shí)間的變化。在進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，需要考慮慣性力和阻尼的影響，這些因素與載荷和時(shí)間的相關(guān)性有關(guān)。如果不考慮慣性力和阻尼，則可以使用靜力學(xué)分析來代替瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)，它的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)平衡方程如下：

在Ansys有限元分析軟件中，式共有三種求解方法分別為：完全法、模態(tài)疊加法和縮減法。完全法和縮減法采用直接積分求解瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)平衡方程。而模態(tài)疊加法則使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦后開始求解。

4.2 模態(tài)疊加法

針對(duì)模態(tài)疊加法，式中的可寫為：

式中：

為節(jié)點(diǎn)力隨時(shí)間變化量；

為關(guān)于矢量載荷的比例因子；

是在模態(tài)分析中的矢量載荷。

利用模態(tài)坐標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)位移可通過下式得到：

式中，是第階模態(tài)振型；

是所要提取的模態(tài)數(shù)量。

根據(jù)式可得利用模態(tài)疊加法計(jì)算瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題首先需要進(jìn)行模態(tài)分析，因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)位移中包含了模態(tài)振型。

將式帶入可得：

在式左乘模態(tài)振型可得：

模態(tài)的正交條件如下：

將正交條件帶到式則為：

利用質(zhì)量矩陣進(jìn)行歸一化處理，得到系數(shù)為：

的系數(shù)為：

的系數(shù)為：

同樣可以將其寫為：

利用式、、、帶到式中，得到：

縮減法用于模態(tài)分析時(shí)，涉及到主自由度的選取。因?yàn)榭s減法通過減少模型的自由度數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算，如果選用QR方法進(jìn)行模態(tài)分析，模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程寫為：

4.3 直接積分法

在ANSYS中，隱式方法Newmark和HHT用于求解瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題。這兩種方法都基于有限差分法，在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)位移、速度和加速度進(jìn)行積分：

式和式中，和是Newmark積分參數(shù)。

利用時(shí)刻的控制方成，計(jì)算下一時(shí)刻的位移為：

將式和式重新組合，可得：

其中：、、、、、、。

將式帶到，根據(jù)式、、得到的表達(dá)式：

求出，速度和加速度可用式和式所求，對(duì)于初始施加的節(jié)點(diǎn)的速度或者加速度可以用位移約束并根據(jù)式計(jì)算所得。

根據(jù)Ziekiewicz的理論，利用Newmark方法求解瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，要實(shí)現(xiàn)無條件穩(wěn)定，需要滿足特定的條件。這些條件通常涉及到時(shí)間步長(zhǎng)（stepT）和Newmark積分參數(shù)。

輸入的Newmark參數(shù)根據(jù)下式：

其中為振幅衰減因子。

根據(jù)式和式發(fā)現(xiàn)無條件穩(wěn)定可以表達(dá)為：

只要，求解即是穩(wěn)定的。

而HTT方法則是下式方程：

式中：、、、。

在HTT方法中，共有四個(gè)參數(shù)，分別為：

這四個(gè)參數(shù)可直接輸入，但考慮到二階系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定以及時(shí)間積分的準(zhǔn)確性，四個(gè)參數(shù)應(yīng)該符合如下關(guān)系。

將式和帶入得到：

通過對(duì)比式和式，可以發(fā)現(xiàn)HTT方法是將兩個(gè)連續(xù)步長(zhǎng)的線性組合實(shí)現(xiàn)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的方程平衡。

當(dāng)給定幅值衰減因子后，其余的四個(gè)參數(shù)隨之而定，分別是：

或者可寫為：

4.4 齒輪瞬態(tài)分析結(jié)果

相比靜力學(xué)分析，加熱條件溫度，看瞬態(tài)分析結(jié)果，施加旋轉(zhuǎn)角度30°，設(shè)置分析步為10步，開啟自動(dòng)時(shí)步功能。

4.4.1 22℃下瞬態(tài)分析結(jié)果

（1）材料參數(shù)：采用結(jié)構(gòu)鋼進(jìn)行仿真

（2）模型導(dǎo)入：將catia模型轉(zhuǎn)成xt格式導(dǎo)入到ansys中

（3）網(wǎng)格劃分：由于涉及到接觸，因此采用高階四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在齒輪處對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密，設(shè)置面網(wǎng)格尺寸為2mm。

（3）接觸設(shè)置：設(shè)置主動(dòng)輪和從動(dòng)輪，分別將幾何體接地回轉(zhuǎn)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)。

（4）設(shè)置齒輪摩擦：設(shè)置摩擦系數(shù)為0.15，法向剛度設(shè)置為因數(shù)，法向剛度因數(shù)為1，更新剛度設(shè)置為每次迭代，界面處理設(shè)置為調(diào)整接觸。

（5）施加旋轉(zhuǎn)角度30°，設(shè)置齒輪溫度為22攝氏度，參見下圖所示。

（6）載荷步設(shè)置，設(shè)置為子步，求解步數(shù)為10步。

（7）計(jì)算結(jié)果

最大變形云圖如下圖所示，可以看到主動(dòng)輪最大變形為21.648mm，位于主動(dòng)輪的齒輪面處，從動(dòng)輪的最大變形為21.648mm，位于從動(dòng)輪的齒輪面處，而設(shè)置回轉(zhuǎn)的齒輪內(nèi)環(huán)處的變形幾乎為0，最大變形從齒輪面向內(nèi)齒輪逐漸遞減。

最大應(yīng)力云圖如下圖所示，可以看到主動(dòng)輪最大應(yīng)力為277.22Mpa，位于齒輪面的嚙合處，而未嚙合處齒輪應(yīng)力為0。

4.4.2 100℃下瞬態(tài)分析結(jié)果

（1）材料參數(shù)：采用結(jié)構(gòu)鋼進(jìn)行仿真

（2）模型導(dǎo)入：將catia模型轉(zhuǎn)成xt格式導(dǎo)入到ansys中

（3）網(wǎng)格劃分：由于涉及到接觸，因此采用高階四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在齒輪處對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密，設(shè)置面網(wǎng)格尺寸為2mm。

（3）接觸設(shè)置：設(shè)置主動(dòng)輪和從動(dòng)輪，分別將幾何體接地回轉(zhuǎn)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)。

（4）設(shè)置齒輪摩擦：設(shè)置摩擦系數(shù)為0.15，法向剛度設(shè)置為因數(shù)，法向剛度因數(shù)為1，更新剛度設(shè)置為每次迭代，界面處理設(shè)置為調(diào)整接觸。

（5）施加旋轉(zhuǎn)角度30°，設(shè)置齒輪溫度為22攝氏度，參見下圖所示。

（6）載荷步設(shè)置，設(shè)置為子步，求解步數(shù)為10步。

（7）分析結(jié)果

最大變形云圖如下圖所示，可以看到主動(dòng)輪最大變形為21.658mm，位于主動(dòng)輪的齒輪面處，從動(dòng)輪的最大變形為21.658mm，位于從動(dòng)輪的齒輪面處，而設(shè)置回轉(zhuǎn)的齒輪內(nèi)環(huán)處的變形幾乎為0，最大變形從齒輪面向內(nèi)齒輪逐漸遞減，由于溫度的影響，導(dǎo)致熱膨脹，進(jìn)而使得齒輪面變形增加。

最大應(yīng)力云圖如下圖所示，可以看到主動(dòng)輪最大應(yīng)力為948.58Mpa，位于齒輪面的嚙合處，而齒輪內(nèi)環(huán)的應(yīng)力為210.85Mpa，由于熱膨脹的影響，導(dǎo)致應(yīng)力有所增加，因此齒輪正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意齒輪的工作溫度。