變分原理之變分的一些基本概念
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| 函數的定義和泛函的定義 |
 函數的定義： |
| 若對于自變量x域中的每一個值，y有一值與之對應，或數y對應于數x的關系成立。 則稱變量y是變量x的函數，即： y=y(x)。 泛函的定義：若對于某一類函數{y(x)}中的每一函數y(x)，II 有一值與之對應，或數II對應 于函數y(x)的關系成立。則稱變量II 是函數y(x)的泛函，即：II=II(y(x))。 微分和變分 微分: x 的增量△x是指某兩值之差△x=x-x1。如果x的微分用dx表示 ，則dx也是增量的一種，即當這種增量很小很小時，dx=△x。 變分: y(x)的增量在它很小時稱為變分，用dy(x)或dy表示，dy(x)是指y(x)和與它相接近的y1(x)之差，即dy(x)=y(x)-y1(x)；這里：dy(x)也是x的函數，只是dy(x) 在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一類函數中是任意改變的）。 函數的微分和泛函的變分 函數的微分1: 函數的增量 △y=y(x+△x)-y(x)可以展開為線性項和非線性項△y=A(x)△x+f(x,△x)△x，其中A(x)和△x無關，f(x,△x)則和△x有關，而且 △x  0時,f(x,△x)0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。 A(x)= y’(x)是函數的導數，而且  函數的微分2:設e為一小參數，并將y(x+e△x)對e求導數，即得： 當趨近于零時  證明y(x+e△x) 在e=0處對e的導數就等于y(x）在x處的微分。這個定義與拉格朗 日處理變分的定義是相似的。 泛函的變分1: 與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。 dII=II[y(x)+dy(x)]-II[y(x)]=L[y(x)，dy(x)] 上式中 L[y(x)，dy(x)]就叫做泛函的變分，用 dII 表示。 |