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變分原理之修正變分原理

向陽

2006年7月4日 12:26

瀏覽：408488 評(píng)論：1

　

修正（約束）變分原理

　　　　建立了自然變分原理后，問題的解為泛函II 取駐值。

　　　　但是未知函數(shù)

往往還需要服從一些附加條件，

　　　　

　　　　我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。可以將附加條件引入

　　　　泛函，重新構(gòu)造一個(gè)“修正泛函”，把問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問題。

　　　　常用方法：　

　　　　Lagrange 乘子法，罰函數(shù)法。

　

Lagrange 乘子法(l乘子法)

　　　　　　修正泛函II*：

　　　　　原泛函II的約束變分問題，轉(zhuǎn)化為修正泛函II*的無約束變分，代價(jià)是修正泛函

　　　　　增加了附加未知函數(shù)

。

　　　　　單變量泛函

雙變量修正泛函

　　　　　變分：

　　　　　近似解：

，

　　　　　　　　　　

線性

　　　　　　其中：

　　　　　　　

試函數(shù)矩陣

　　　　　　　　

　　　

　　

　　　　　　可得：

對(duì)線性問題，得線性方程組；

　　　　　　因?yàn)椋?img class="f" height="40" src="http://210.34.120.10/software/08/01/004/01/00001/web_chap/zsk/bfyl/gongshi/20.gif" width="76" align="absMiddle" alt='變分原理之修正變分原理的圖18' referrerpolicy='origin-when-cross-origin' />

　　　　　　所以

方程中不含

項(xiàng)，即

的系數(shù)陣為0。

　　　　　　整理得到

放松約束條件的代價(jià)：

　　　　

很明顯方程的階數(shù)增加了。

　　　　方程的系數(shù)矩陣主元（對(duì)角元素）出現(xiàn)零元素，對(duì)求解方程增加了困難。

　　　　　（不能用一般的消元法）

　　　　一般的物理問題中得到的自然變分問題是一極值問題。而對(duì)修正的泛函，由于附加項(xiàng)

　　　　　的積分性質(zhì)不清，一般為駐值問題。（不再有極值性質(zhì)）

　　　　

利用l乘子法，彈性力學(xué)各種變分原理的轉(zhuǎn)換。

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