推導(dǎo)
關(guān)注創(chuàng)建者：熱愛(ài)數(shù)學(xué)和編程的小伙（UP主） 創(chuàng)建時(shí)間：2020-12-20
推導(dǎo)的視頻教程
力學(xué)基本原理的公式推導(dǎo)
力學(xué)基本原理的公式推導(dǎo) 1、材料的基本本構(gòu)原理與假設(shè) 2、動(dòng)量守恒公式推導(dǎo) 3、熱力學(xué)第一定律公式推導(dǎo)（1） 4、熱力學(xué)第一定律公式推導(dǎo)（2） 5、熱力學(xué)第一定律公式推導(dǎo)（3） 6、熱力學(xué)第二定律 公式推導(dǎo) 7、基于內(nèi)變量的損耗描述 8、鎖定自由能與背應(yīng)力 （已購(gòu)買臨界狀態(tài)土力學(xué)土力學(xué)課程的請(qǐng)勿拍此課程）
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溫度及應(yīng)變率相關(guān)超黏彈性本構(gòu)的建立、推導(dǎo)、參數(shù)識(shí)別與有限元應(yīng)用
本課程包含基于Neo-hookean超黏彈性本構(gòu)的模型建立、公式推導(dǎo)、參數(shù)識(shí)別、時(shí)溫等效和有限元應(yīng)用五大章節(jié)。 在模型建立章節(jié)中，從認(rèn)識(shí)材料的力學(xué)行為、本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，到線性黏彈性的比例關(guān)系和疊加原理，推導(dǎo)了Maxwell模型和Kelvin模型、廣義Maxwell模型等的本構(gòu)方程，認(rèn)識(shí)超彈性模型并最終建立廣義Maxwell形式的基于Neo-Hookean的超黏彈性本構(gòu)。
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（未完結(jié)，謹(jǐn)慎下單）ABAQUS用戶單元子程序（UEL）理論推導(dǎo)及程序?qū)崿F(xiàn)
本視頻主要介紹了ABAQUS用戶單元子程序（UEL）的理論推導(dǎo)和程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程，具體內(nèi)容如下： （一）介紹了UEL學(xué)習(xí)的一些方法和參考資料； （二）結(jié)合自己學(xué)習(xí)UEL的理解和總結(jié)簡(jiǎn)述了什么叫做UEL以及UEL在ABAQUS中起到的作用，讓大家了解UEL實(shí)現(xiàn)的原理； （三）基于有限元理論對(duì)UEL實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的一些公式進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)的過(guò)程基于矩陣形式，簡(jiǎn)明易懂； （四）基于理論推導(dǎo)的結(jié)果，以平面應(yīng)力問(wèn)題的四邊形單元為例演示程序的實(shí)現(xiàn)
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推導(dǎo)的實(shí)例教程
上海重型設(shè)備吊裝公司總工前兩天和我通話，他們?cè)诰幹埔粋€(gè)技術(shù)規(guī)程，涉及一個(gè)結(jié)構(gòu)，需要求解析解，當(dāng)時(shí)我在想，要求那個(gè)結(jié)構(gòu)的受力難度也不大，有限元軟件簡(jiǎn)單計(jì)算一下就可以了，但朋友說(shuō)，為了增加理論的可信度，需要在技術(shù)規(guī)程里面增加理論推導(dǎo)，為此，我思索了下朋友那個(gè)結(jié)構(gòu)的理論推導(dǎo)，我先把朋友的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，然后得出的就是一個(gè)梁結(jié)構(gòu)的受力的變形計(jì)算，基于此，可以在網(wǎng)上查到多如牛毛的關(guān)于梁撓度的計(jì)算公式，因?yàn)槭墙馕鼋猓孕枰?em>推導(dǎo)一下，為此，我把近期梁撓度公式的推導(dǎo)的思路和大家一起探討一下，不足之處請(qǐng)大家批評(píng)指正。
這里我用一個(gè)對(duì)稱的簡(jiǎn)支梁的說(shuō)明一下，簡(jiǎn)圖如下：
假設(shè)梁的撓度的方程為y=f(x)，微單元的切線角度為y‘(y的一階導(dǎo)數(shù))，微單元的轉(zhuǎn)角為切線角度的變化率，也就是等于y’’(y的二階導(dǎo)數(shù))，根據(jù)材料力學(xué)得到：
根據(jù)邊界條件得到：
Y(0)=0; （2）
Y’(1/2L)=0; （3）
對(duì)（1）左右兩側(cè)進(jìn)行兩次積分可得y=F*x^3/12*E*I+a*x/(E*I)+b;
根據(jù)邊界條件，可以求得b=0，a=-F*L^2/(16*E*I)；
故y=F*x^3/(12*E*I)-F*L^2*x/(16*E*I)
帶入x=0.5L，y=-F*L^3/(48*E*I);
查網(wǎng)上資料，可知，和撓度計(jì)算公式一致。
當(dāng)然，大家也可以推導(dǎo)一下，集中力不在跨中或者不是集中力，是分布荷載的情況下的公式推導(dǎo)。
這是最近的一點(diǎn)小的感悟，也許在某本書(shū)上能找到，但這是自己按力學(xué)的理解自行推導(dǎo)出來(lái)的，不喜勿噴。
如有雷同，純屬虛構(gòu)。
展開(kāi) 二、 固體波動(dòng)方程
固體波動(dòng)方程的推導(dǎo)可以見(jiàn)吳家龍P233，我們?cè)谶@里對(duì)關(guān)鍵推導(dǎo) 如果彈性介質(zhì)的位移場(chǎng)是無(wú)旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見(jiàn)，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個(gè)拉梅常數(shù)都有關(guān)，而畸變波的波速只和拉梅常數(shù)中的剪切模量G有關(guān)。
三、流體的波動(dòng)方程
流體的波動(dòng)方程在好幾個(gè)著作中都有提到。比如汪志誠(chéng)的《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》（高教社第五版）P26，但只是推導(dǎo)了牛頓聲速公式，并未將擾動(dòng)過(guò)程看成等熵的。關(guān)于牛頓對(duì)聲速的測(cè)量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
另外，張海瀾《理論聲學(xué)》（高教社2007）P181也有相關(guān)推導(dǎo)，是先推導(dǎo)了壓強(qiáng)的波動(dòng)方程，再根據(jù)密度和速度與壓強(qiáng)的關(guān)系推導(dǎo)相關(guān)波動(dòng)方程。該書(shū)P179的式5.9式與5.10式：
我覺(jué)得其中的第一項(xiàng)應(yīng)該用偏導(dǎo)符號(hào)，因?yàn)檫@兩個(gè)方程是歐拉描述的，不能寫(xiě)成物質(zhì)導(dǎo)的形式（我不知道上面加一點(diǎn)是不是可以等同物質(zhì)導(dǎo)）。可參考吳望一P101。
個(gè)人覺(jué)得比較詳盡、清楚的還是吳望一P521的推導(dǎo)。該推導(dǎo)基于無(wú)黏可壓流體方程組，用方程的線性化表示小擾動(dòng)的過(guò)程很詳盡。
四、聲速和體積模量之間的關(guān)系
在很多地方，我們都可以看到聲速的公式為a=√(K/ρ)，其中K是體積模量。之前一直給我的印象是聲速完全可以通過(guò)體積模量計(jì)算出來(lái)，但從固體的聲速公式可以看出，固體中聲速與體積模量沒(méi)有單一的關(guān)系。我們?cè)? 數(shù)峰青，公眾號(hào)：數(shù)峰青
力學(xué)筆記#1：什么是體積模量？流體和固體的體積模量公式有什么區(qū)別？
這篇博文中給出了固體的體積模量公式，它也可以用拉梅常數(shù)表示為：
將其與本文上面給出的固體聲速公式對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，固體聲速并不等于體積模量除以密度的算術(shù)平方根。當(dāng)剪切模量為0的時(shí)候，就可以了，而且這也是流體聲速的情況。
展開(kāi) 發(fā)布 UMat J2流動(dòng)理論中consistent jacobian 推導(dǎo)（各向同性硬化），這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程發(fā)布于2010年于simwe上，鑒于jishulink不斷擴(kuò)大的用戶群和推廣力度，轉(zhuǎn)發(fā)至此。順便紀(jì)念下博士期間苦逼而又充實(shí)的日子！
這是官方資料顯示的應(yīng)力更新的率形式，那么這個(gè)更新表達(dá)式是如何來(lái)的呢，我用張量的形式推導(dǎo)了一遍！希望對(duì)哪些奮戰(zhàn)在編程戰(zhàn)線的“苦行僧”們，有所幫助！
應(yīng)力更新公式推導(dǎo)（修正） (1).rar
期間simwe的pearqiqi 提供參考文獻(xiàn)
Consistent_tangent_operators_for_rate-independent_elastoplasticity.pdf
如下大佬提供了建設(shè)性的討論，順便再次感謝下！
敦程
zsq-w
cdstudio
展開(kāi) 【公式推導(dǎo)篇】
https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ
本次分享的是：有限元計(jì)算過(guò)程中，單元積分點(diǎn)應(yīng)力如何外推至節(jié)點(diǎn)？
有關(guān)積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的概念可點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)】，現(xiàn)科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數(shù)和高斯積分方案。
Q4單元
Q8/9單元
應(yīng)力外插
核心理念：坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。
假設(shè)是母單元的自然坐標(biāo)系，是由高斯積分點(diǎn)控制的坐標(biāo)系（術(shù)語(yǔ)可能不專業(yè)），假設(shè)高斯積分方案為。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系：
單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力，由4個(gè)高斯積分點(diǎn)應(yīng)力進(jìn)行插值時(shí)，可表示為
其中，是基于高斯積分點(diǎn)的形函數(shù)，第一個(gè)積分點(diǎn)的坐標(biāo)在母單元坐標(biāo)系下為（-1，-1），根據(jù)上述的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的方式，在高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)系下，第一個(gè)單元節(jié)點(diǎn)在高斯積分點(diǎn)坐標(biāo)系下坐標(biāo)為，將此坐標(biāo)值代入第一個(gè)形函數(shù)，得，相同的道理，可推導(dǎo)至四個(gè)節(jié)點(diǎn)在4個(gè)形函數(shù)下的外插矩陣：
對(duì)于Q8、Q9單元，依然可采用高斯積分方案（減縮積分）。
展開(kāi) 鑒于目前國(guó)內(nèi)外很多書(shū)上關(guān)于Chaboche運(yùn)動(dòng)硬化背應(yīng)力只是給出了一個(gè)表達(dá)式的具體形式而其具體推導(dǎo)過(guò)程并沒(méi)有給出，這造成很多小伙伴在科研的時(shí)候很疑惑，因此我把詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程給了出來(lái)，希望能幫助到大家。
推導(dǎo)的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
推導(dǎo)的最新內(nèi)容
所有案例均基于 HBK 測(cè)試設(shè)備完成，完整呈現(xiàn)了從測(cè)試方案設(shè)計(jì)、傳感器布置、數(shù)據(jù)采集解析，到理論推導(dǎo)、問(wèn)題整改驗(yàn)證的全流程。
無(wú)論您是從事電功率測(cè)試、應(yīng)力應(yīng)變測(cè)試，還是NVH測(cè)試的工程師，都能從中獲取行業(yè)標(biāo)桿實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，解決實(shí)際工程難題。
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結(jié)合作者的理論（尤其是分段線性化和應(yīng)力驅(qū)動(dòng)的求解思路）我們可以把獨(dú)立的vpsc子程序編寫(xiě)進(jìn)abaqus里面，為了避免復(fù)雜的雅可比推導(dǎo)，以及適用各種復(fù)雜的變形工況，推薦使用abaqus的顯式求解器，即vumat程序
以下展示一個(gè)使用vpsc-鎂合金本構(gòu)模型，模擬包含1個(gè)單元，單元包好100個(gè)晶粒在RD方向壓縮20%的模擬效果（原始模型參數(shù)取自vpsc官方案例,為了減少計(jì)算時(shí)間使用高應(yīng)變率進(jìn)行計(jì)算，
后續(xù)很多孿晶模型基于此進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，因此實(shí)現(xiàn)該文章的數(shù)值模型對(duì)于孿晶的研究非常有幫助：
使用文章的公式，講整體算法集成到abaqus的vumat子程序相對(duì)容易，因?yàn)椴恍枰?em>推導(dǎo)一致性雅可比。但是率無(wú)關(guān)模型通常數(shù)值穩(wěn)定性較差。
編寫(xiě)UMAT的核心挑戰(zhàn)并不在于屈服函數(shù)的編碼，而在于推導(dǎo)高度復(fù)雜的“一致切線剛度矩陣”（Consistent Tangent Modulus）。隱式非線性求解嚴(yán)重依賴該矩陣進(jìn)行牛頓迭代，如果切線剛度推導(dǎo)存在微小誤差，將導(dǎo)致模型在屈服點(diǎn)附近徹底喪失二次收斂性（Quadratic Convergence），陷入無(wú)盡的迭代發(fā)散死循環(huán)。
Hughes T J R
SUPG的核心思想
我們前面文章介紹的伽遼金法，在推導(dǎo)過(guò)程中，令權(quán)函數(shù)=插值函數(shù)。在對(duì)流主導(dǎo)情況下，這種對(duì)稱處理無(wú)法捕捉流動(dòng)的方向性特征，因此迭代過(guò)程中，速度場(chǎng)逐漸發(fā)散。
SUPG的核心思想，是修改權(quán)函數(shù)，引入迎風(fēng)效應(yīng)。增加的項(xiàng)一個(gè)只在流線方向上起作用的項(xiàng)。我的理解是人工給一個(gè)收斂的方向。
之后，我們推導(dǎo)CFD中使用的三個(gè)最重要的控制方程：
? 質(zhì)量守恒（連續(xù)性方程）
? 動(dòng)量守恒（納維-斯托克斯方程基礎(chǔ)）
? 能量守恒
每個(gè)推導(dǎo)都通過(guò)清晰的動(dòng)畫(huà)逐步解釋，使難以理解的概念變得更容易理解和記憶。
您還將建立對(duì)壓力力、粘性力、體積力、熱傳導(dǎo)、壓力功、粘性功和源項(xiàng)的直覺(jué)。
材料1和2的厚度??1和??2可由以下公式推導(dǎo)得出：
在這個(gè)例子中我們考慮：
和
步驟1. 對(duì)具有均勻?qū)拥姆瓷涫狡衿\(yùn)行仿真并導(dǎo)出計(jì)算結(jié)果
在此步驟中，通過(guò)掃描入射角（θ和φ）來(lái)評(píng)估反射偏振片的反射特性。結(jié)果將導(dǎo)出為JSON文件，以便在Speos中使用。
步驟2.
圖1 （a）傳統(tǒng)多子區(qū)域光柵；（b）隨機(jī)掩模光柵（RMG）
理論分析：解析解推導(dǎo)衍射效率分布
團(tuán)隊(duì)基于經(jīng)典L型光柵波導(dǎo)模型，對(duì)水平和垂直方向的出瞳擴(kuò)展過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，通過(guò)微分方程推導(dǎo)得出滿足照度均勻性條件的衍射效率分布解析解：
1.折疊光柵（水平EPE）：僅考慮零級(jí)和-1級(jí)反射衍射，推導(dǎo)得出-1級(jí)衍射效率的雙變量分布函數(shù)，實(shí)現(xiàn)水平方向眼動(dòng)范圍均勻性調(diào)控；
2.出耦合光柵（垂直
<p>本資源包含一份 PDF 文檔和可直接編譯運(yùn)行的 Fortran UMAT 代碼，具體內(nèi)容為：</p><p>Chaboche硬化本構(gòu)模型 + 隱式積分 + 徑向返回</p><p>完整公式推導(dǎo) + Fortran 源碼直接編譯</p><p>任意個(gè)數(shù)背應(yīng)力分量 + 解析一致切線模量</p><p>PDF 包含規(guī)范化的本構(gòu)方程、隱式積分、徑向返回與一致切線模量推導(dǎo)，可供初學(xué)者學(xué)習(xí)。
p class="ql-align-justify">完整的算法一致切線模量推導(dǎo)與實(shí)現(xiàn)</p><p class="ql-align-justify">PDF 包含規(guī)范化的本構(gòu)方程、隱式積分、徑向返回與一致切線模量推導(dǎo)，可供初學(xué)者學(xué)習(xí)。
