推導的案例
關于梁變形的公式推導
上海重型設備吊裝公司總工前兩天和我通話，他們在編制一個技術規程，涉及一個結構，需要求解析解，當時我在想，要求那個結構的受力難度也不大，有限元軟件簡單計算一下就可以了，但朋友說，為了增加理論的可信度，需要在技術規程里面增加理論推導，為此，我思索了下朋友那個結構的理論推導，我先把朋友的結構進行簡化，然后得出的就是一個梁結構的受力的變形計算，基于此，可以在網上查到多如牛毛的關于梁撓度的計算公式，因為是解析解，所以需要推導一下，為此，我把近期梁撓度公式的推導的思路和大家一起探討一下，不足之處請大家批評指正。
這里我用一個對稱的簡支梁的說明一下，簡圖如下：
假設梁的撓度的方程為y=f(x)，微單元的切線角度為y‘(y的一階導數)，微單元的轉角為切線角度的變化率，也就是等于y’’(y的二階導數)，根據材料力學得到：
根據邊界條件得到：
Y(0)=0; （2）
Y’(1/2L)=0; （3）
對（1）左右兩側進行兩次積分可得y=F*x^3/12*E*I+a*x/(E*I)+b;
根據邊界條件，可以求得b=0，a=-F*L^2/(16*E*I)；
故y=F*x^3/(12*E*I)-F*L^2*x/(16*E*I)
帶入x=0.5L，y=-F*L^3/(48*E*I);
查網上資料，可知，和撓度計算公式一致。
當然，大家也可以推導一下，集中力不在跨中或者不是集中力，是分布荷載的情況下的公式推導。
這是最近的一點小的感悟，也許在某本書上能找到，但這是自己按力學的理解自行推導出來的，不喜勿噴。
如有雷同，純屬虛構。
展開 固體波動方程和流體波動方程推導的區別，聲速和體積模量的關系。
二、 固體波動方程
固體波動方程的推導可以見吳家龍P233，我們在這里對關鍵推導 如果彈性介質的位移場是無旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個拉梅常數都有關，而畸變波的波速只和拉梅常數中的剪切模量G有關。
三、流體的波動方程
流體的波動方程在好幾個著作中都有提到。比如汪志誠的《熱力學與統計物理》（高教社第五版）P26，但只是推導了牛頓聲速公式，并未將擾動過程看成等熵的。關于牛頓對聲速的測量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
另外，張海瀾《理論聲學》（高教社2007）P181也有相關推導，是先推導了壓強的波動方程，再根據密度和速度與壓強的關系推導相關波動方程。該書P179的式5.9式與5.10式：
我覺得其中的第一項應該用偏導符號，因為這兩個方程是歐拉描述的，不能寫成物質導的形式（我不知道上面加一點是不是可以等同物質導）。可參考吳望一P101。
個人覺得比較詳盡、清楚的還是吳望一P521的推導。該推導基于無黏可壓流體方程組，用方程的線性化表示小擾動的過程很詳盡。
四、聲速和體積模量之間的關系
在很多地方，我們都可以看到聲速的公式為a=√(K/ρ)，其中K是體積模量。之前一直給我的印象是聲速完全可以通過體積模量計算出來，但從固體的聲速公式可以看出，固體中聲速與體積模量沒有單一的關系。我們在
數峰青，公眾號：數峰青
力學筆記#1：什么是體積模量？流體和固體的體積模量公式有什么區別？
這篇博文中給出了固體的體積模量公式，它也可以用拉梅常數表示為：
將其與本文上面給出的固體聲速公式對比可以發現，固體聲速并不等于體積模量除以密度的算術平方根。當剪切模量為0的時候，就可以了，而且這也是流體聲速的情況。
展開 發布 UMat J2流動理論中consistent jacobian 推導（各向同性硬化）
發布 UMat J2流動理論中consistent jacobian 推導（各向同性硬化），這個推導過程發布于2010年于simwe上，鑒于jishulink不斷擴大的用戶群和推廣力度，轉發至此。順便紀念下博士期間苦逼而又充實的日子！
這是官方資料顯示的應力更新的率形式，那么這個更新表達式是如何來的呢，我用張量的形式推導了一遍！希望對哪些奮戰在編程戰線的“苦行僧”們，有所幫助！
應力更新公式推導（修正） (1).rar
期間simwe的pearqiqi 提供參考文獻
Consistent_tangent_operators_for_rate-independent_elastoplasticity.pdf
如下大佬提供了建設性的討論，順便再次感謝下！
敦程
zsq-w
cdstudio
展開 【公式推導篇】
【公式推導篇】
https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ
本次分享的是：有限元計算過程中，單元積分點應力如何外推至節點？
有關積分點與節點的概念可點擊跳轉閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節點和積分點】，現科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數和高斯積分方案。
Q4單元
Q8/9單元
應力外插
核心理念：坐標系的轉換。
假設是母單元的自然坐標系，是由高斯積分點控制的坐標系（術語可能不專業），假設高斯積分方案為。坐標系轉換關系：
單元內任一點的應力，由4個高斯積分點應力進行插值時，可表示為
其中，是基于高斯積分點的形函數，第一個積分點的坐標在母單元坐標系下為（-1，-1），根據上述的坐標系轉換的方式，在高斯積分點的坐標系下，第一個單元節點在高斯積分點坐標系下坐標為，將此坐標值代入第一個形函數，得，相同的道理，可推導至四個節點在4個形函數下的外插矩陣：
對于Q8、Q9單元，依然可采用高斯積分方案（減縮積分）。
展開 
Mises屈服的Chaboche運動硬化背應力詳細推導過程 ￥15
鑒于目前國內外很多書上關于Chaboche運動硬化背應力只是給出了一個表達式的具體形式而其具體推導過程并沒有給出，這造成很多小伙伴在科研的時候很疑惑，因此我把詳細的推導過程給了出來，希望能幫助到大家。
【03】黏滯阻尼器不同安裝方式的適用性及位移放大系數推導（第1篇）
03不同安裝方式的黏滯阻尼器位移放大系數推導？
斜向形、人字形、剪刀型黏滯阻尼位移放大系數推導如下所示：
肘節型位移放大系數參：黏滯阻尼器不同安裝方式的適用性及位移放大系數推導（第2篇）
參考文獻
陳永祁，馬良喆等. 建筑結構液體黏滯阻尼器的設計與應用. 中國鐵道出版社
劉莎等. 關于粘滯阻尼器在結構的布置位置及安裝方式. 四川建筑材料
Ani Natali Sigaher, et. Scissor-Jack-Damper Energy Dissipation System. MichaelC.Constantinou
往期內容
【01 黏滯阻尼器減震設計篇】建筑消能減震技術規程 JGJ 297-2013應該注意的那些點
【劃重點與簡析】建筑隔震設計標準（GB/T 51408-2021）
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展開 基于故障樹的自動駕駛安全需求推導（以AVP為例）
結合案例演示，本文闡述了根據自動駕駛功能并基于故障樹的演繹法推導出符合 ISO 26262 的功能安全需求的過程。此種方法可以系統地導出功能安全需求，并能針對完整性問題定性提出安全需求。該技術應用于自動代客泊車AVP的詳細安全目標。功能安全需求是針對所有詳細的安全目標得出的。可以為 AVP 指定最小所需的傳感器感知區域，其中需要知道目標的參數，例如位姿、尺寸、速度、存在和類別。可以識別測定尺寸和目標定位的最大可接受總誤差。在未來的工作中，需將功能安全要求分配給代客泊車系統架構的功能塊。因此，將有針對性地分配自動車輛和停車區管理系統PAM之間的功能，并針對功能安全需求推導出額外的測試用例，以驗證自動代客泊車的安全概念。
展開 粘彈性邊界等效節點力公式的推導(黏彈性邊界)
筆者在前不久發表的論文中對其進行了細致的推導，現在正式版（印刷版）已經刊出，正式版參考文獻鏈接如下，直接點擊文章標題即可：
黏彈性人工邊界在ABAQUS中的實現及地震動輸入方法的比較研究
DOI: 10.13722/j.cnki.jrme.2019.1068
這里將正式版文獻中，正確完整的粘彈性邊界等效節點力公式推導放在下面以供大家參考（公式5-24），希望能及時地給大家帶來一些幫助，相信大家能成功實現粘彈性邊界的地震動輸入。
展開 CFD學習：推導沉降速度的斯托克斯定律
斯托克斯定律
斯托克斯定律是根據流體中的組分或粒子在重力作用下穿過流體時所受的力推導出來的。斯托克斯定律表示阻止顆粒（主要是球形）在流體中下落的阻力或摩擦力。
斯托克斯沉降速度定律
為了量化沉降速度，流體的阻力與懸浮在其中的顆粒的重量相平衡。沉降速度的精確確定需要了解流體的阻力。斯托克斯定律描述了流體阻力并給出了計算阻力的數學表達式。根據斯托克定律，作用在半徑為 r 的球形粒子上的流體阻力可表示為：
是流體的粘度，v 是自由流速度。
流體中的懸浮顆粒加速，直到合力為零。作用在穿過粘性流體的粒子上的力是拖曳力、重力和浮力。
是粒子的密度，g 是重力加速度。
σ 是流體的密度。
當達到平衡條件時：
將方程1、2、3代入方程4重新整理，得到沉降速度：
方程式 5 描述了斯托克沉降速度定律。當粒子的密度大于流體密度時，它下落；否則，它會上升。由斯托克斯定律推導出的沉降速度與顆粒半徑的平方成正比，與流體的粘度成反比。
斯托克斯沉降速度定律對于從淡水中分離沉積物、油氣分離以及測量流體粘度等應用至關重要。然而，斯托克沉降速度定律在湍流存在時受到限制。要確定湍流影響下的沉降速度，您應該依賴其他方程和方法。
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文章來源：cadence博客
展開 有限元素法理論推導
要寫有限元素法分析程序,必先要把公式推導好.有限元的理論跟邊編程是一體的，因為有限元本就是一種計算器方法
這也是在臺灣交大上課的講義,給大家作參考。
Part01 : 勁度矩陣法 : truss and frame
Part02 : 有限元素法:彈性力學
CHAPTER 0
STRESS-STRAIN RELATIONSHIP FOR LINEAR ELASTIC MATERIAL
CHAPTER 1
BASIC RELATIONSHIP AND EQUATION FOR ISOTROPIC MATERIAL
CHAPTER 3
EQULIBRIUM EQUATION & STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 4
EQUIVALENT NODAL FORCE
CHAPTER 5
SHAPE FUNCTION
CHAPTER 6
TRANSFORMATION OF COORDINATE
CHAPTER 7
TRANSFOMATION OF STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 8
NUMERICAL INTEGRATION
CHAPTER 9
SPECIAL ELEMENT FORMULATION
CHAPTER 10
PROGRAMMING PSUEDO CODE AND OTHER SOLUTION PROCEDURE
Part02_03.pdf
Part01_01.pdf
Part01_02.pdf
Part02_01.pdf
Part02_02.pdf
展開 彈塑性本構關系的部分推導【樣版】
彈塑性本構關系的部分推導【樣版】
有限元素法理論推導
要寫有限元素法分析程序,必先要把公式推導好.有限元的理論跟邊編程是一體的，因為有限元本就是一種計算器方法。
這也是在臺灣交大上課的講義,給大家作參考。
Part01 : 勁度矩陣法 : truss and frame
Part02 : 有限元素法:彈性力學
CHAPTER 0
STRESS-STRAIN RELATIONSHIP FOR LINEAR ELASTIC MATERIAL
CHAPTER 1
BASIC RELATIONSHIP AND EQUATION FOR ISOTROPIC MATERIA
CHAPTER 3
EQULIBRIUM EQUATION & STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 4
EQUIVALENT NODAL FORCE
CHAPTER 5
SHAPE FUNCTION
CHAPTER 6
TRANSFORMATION OF COORDINATE
CHAPTER 7
TRANSFOMATION OF STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 8
NUMERICAL INTEGRATION
CHAPTER 9
SPECIAL ELEMENT FORMULATION
CHAPTER 10
PROGRAMMING PSUEDO CODE AND OTHER SOLUTION PROCEDURE
有限元素法理論1.rar
有限元素法理論2.rar
展開 二維粘彈性邊界等效節點力公式推導 ￥30
根據何建濤老師的方法推導二維粘彈性邊界等效節點力公式。
平面四邊形單元的剛度矩陣的推導 ￥2
==》本博客是對于四節點四邊形單元的剛度矩陣的推導，沒有編程的實現。
有限元素法理論推導
要寫有限元素法分析程序,必先要把公式推導好.有限元的理論跟邊編程是一體的，因為有限元本就是一種計算器方法。
這也是在臺灣交大上課的講義,給大家作參考。
Part01 : 勁度矩陣法 : truss and frame
Part02 : 有限元素法:彈性力學
CHAPTER 0
STRESS-STRAIN RELATIONSHIP FOR LINEAR ELASTIC MATERIAL
CHAPTER 1
BASIC RELATIONSHIP AND EQUATION FOR ISOTROPIC MATERIAL
CHAPTER 3
EQULIBRIUM EQUATION & STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 4
EQUIVALENT NODAL FORCE
CHAPTER 5
SHAPE FUNCTION
CHAPTER 6
TRANSFORMATION OF COORDINATE
CHAPTER 7
TRANSFOMATION OF STIFFNESS MATRIX
CHAPTER 8
NUMERICAL INTEGRATION
CHAPTER 9
SPECIAL ELEMENT FORMULATION
CHAPTER 10
PROGRAMMING PSUEDO CODE AND OTHER SOLUTION PROCEDURE
Part02_03.pdf
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