注：由于技術(shù)鄰排版風(fēng)格有限，故部分內(nèi)容顯示不全，感興趣的小伙伴可點(diǎn)擊原文進(jìn)行閱覽：

本次分享的是：有限元計(jì)算過(guò)程中，單元積分點(diǎn)應(yīng)力如何外推至節(jié)點(diǎn)？

有關(guān)積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的概念可點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)】，現(xiàn)科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數(shù)和高斯積分方案。

Q4單元

Q8/9單元

應(yīng)力外插

核心理念：坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

假設(shè)是母單元的自然坐標(biāo)系，是由高斯積分點(diǎn)控制的坐標(biāo)系（術(shù)語(yǔ)可能不專業(yè)），假設(shè)高斯積分方案為。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系：

單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力，由4個(gè)高斯積分點(diǎn)應(yīng)力進(jìn)行插值時(shí)，可表示為

其中，是基于高斯積分點(diǎn)的形函數(shù)，第一個(gè)積分點(diǎn)的坐標(biāo)在母單元坐標(biāo)系下為（-1，-1），根據(jù)上述的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的方式，在高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)系下，第一個(gè)單元節(jié)點(diǎn)在高斯積分點(diǎn)坐標(biāo)系下坐標(biāo)為，將此坐標(biāo)值代入第一個(gè)形函數(shù)，得，相同的道理，可推導(dǎo)至四個(gè)節(jié)點(diǎn)在4個(gè)形函數(shù)下的外插矩陣：

對(duì)于Q8、Q9單元，依然可采用高斯積分方案（減縮積分）。

相應(yīng)形函數(shù)外插矩陣：

公式推導(dǎo)

為了便于公式的推導(dǎo)，可借助Mathematica符號(hào)計(jì)算軟件，編寫如下代碼：

(*應(yīng)用2*2高斯積分方案*)
(*定義形函數(shù)（Q4）*)
l1[\[Xi]_] := (1 - \[Xi])/2
l2[\[Xi]_] := (1 + \[Xi])/2
N1[\[Xi]_, \[Eta]_] := l1[\[Xi]]*l1[\[Eta]]
N2[\[Xi]_, \[Eta]_] := l2[\[Xi]]*l1[\[Eta]]
N3[\[Xi]_, \[Eta]_] := l2[\[Xi]]*l2[\[Eta]]
N4[\[Xi]_, \[Eta]_] := l1[\[Xi]]*l2[\[Eta]]

(*將單元坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至高斯積分點(diǎn)坐標(biāo)系*)
nodeQ4 = Sqrt[3] {{-1, -1}, {1, -1}, {1, 1}, {-1, 1}};
nodeQ8 = Sqrt[3] {
            {-1, -1}, {1, -1}, {1, 1}, {-1, 1},(*corner nodes*)
                 {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}     (*mid-
    side nodes*)
                 };
nodeQ9 = Sqrt[3] {
            {-1, -1}, {1, -1}, {1, 1}, {-1, 1},(*corner nodes*)
            {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}, {-1, 0},(*mid-side nodes*)
            {0, 0}                               (*center node*)
            };
(*計(jì)算高斯積分點(diǎn)參考坐標(biāo)系下的形函數(shù)外插矩陣*)
extrapolationMatrix = 
  Table[{N1[\[Xi], \[Eta]], N2[\[Xi], \[Eta]], N3[\[Xi], \[Eta]], 
      N4[\[Xi], \[Eta]]} /. {\[Xi] -> p[[1]], \[Eta] -> p[[2]]}, {p, 
     nodeQ4}] // Expand;
(*矩陣形式展現(xiàn)*)
MatrixForm[extrapolationMatrix]

以上是有關(guān)應(yīng)力外插的理論知識(shí)，如何將之添加到我們的有限元代碼中，我會(huì)在后續(xù)的推文中一步一步數(shù)值實(shí)現(xiàn)，感謝你的閱讀！

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