高斯積分
關注創(chuàng)建者：寒江雪_123 創(chuàng)建時間：2023-08-03
高斯積分的視頻教程
犀牛GH桁架建模導入Abaqus腳本計算(進階部分-數值積分(二))
三、 數值積分（第二部分）：高斯積分的降維打擊 在第一課基礎上，從代數基礎推演被積函數的嚴謹分解。詳細對比牛頓-科特斯固定采樣點的局限性，重點揭秘高斯法如何巧妙利用勒讓德多項式的根作為位置信息，通過正交消除大幅提升積分精度，并引申至二維、三維乃至多維積分的快速推演。 課程內設有找錯練習（涵蓋GH邏輯錯與Python代碼錯），實戰(zhàn)屬性極高。
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ABAQUS Python二次開發(fā)第三季(超級后處理篇)
Python計算單元體積力的等效節(jié)點荷載，其中詳解的計算步驟包括：自然局部坐標的高斯積分點、形函數及形函數對自然局部坐標的偏導、單元整體坐標與自然局部坐標的關系（雅克比矩陣）、單元節(jié)點拓撲組成、單元等效節(jié)點荷載。 7. Python計算單元體積力的等效節(jié)點荷載的驗證實例：簡單體積力加載模型和等效節(jié)點荷載加載模型對比驗證。 8.
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高斯積分的實例教程
當函數表達式比較復雜時，f(x)的原函數可能難以求出，而采用高斯積分，其省去了求f(x)原函數，只需要將數值代入f(x)的表達式即可求解。</p><p>到目前為止，高斯積分的公式已經介紹完成，那么有兩個最直接最現(xiàn)實的問題出現(xiàn)了：（1）f(x)的表達式是什么形式時適合采用高斯積分，精度怎么樣；（2）xi和wi的取值是多少。</p><p>關于（1），實踐表明，當f（x）的表達式為多項式時，高斯積分是合適的，并且，n點高斯積分可以準確積分2n-1次多項式。</p><p>關于（2），xi和wi的取值一般較多的有限元教科書中會給出數值，如果沒有給出數值，也可以用多項式手動算出具體值，另外，scipy庫，PETSc庫也直接給出了高斯積分的值和權重。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202308/f410d6e3bb89c8459660277304592181.png"></p><p>以下是高斯積分點積分多項式的一個例子：</p><div contenteditable="false" width="100%">
<img src="https://img.jishulink.com/upload/202308/865d98a129374c668e89080010b652c9.jpg" title="圖片4.jpg" alt="圖片4.jpg" style="max-width:760px;" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/202308/865d98a129374c668e89080010b652c9.jpg?
展開 可以輸出umat接口中的變量coords進行查看
write(*,"(A,I4)") "npt = ", npt
write(*,"(A,3ES16.8)") "coords = ", coords
結果為：
npt = 1
coords = -5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 2
coords = 5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 3
coords = -5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 4
coords = 5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
因此Abaqus中平面應力單元高斯積分點的順序為：
展開 本課從實際問題出發(fā)，帶著問題去講解有限元中的高斯點與數值積分。一開始拋出了以下3個關鍵問題：
1.對于一個任意函數怎么去得到它的積分？
2.數值積分的本質是什么？為什么簡單地取幾個點就可得到積分值？此種方法的立足點在哪？
3.很多資料上都說“有限元求解精度嚴重依賴于網格質量，過度扭曲的單元會導致結果不收斂或者精度極度惡化”，這只是為什么呢？扭曲單元到底影響的是有限元方法中的哪一步？
圍繞這3個問題，本課分別講了一下三個內容：
1. 數值積分基本方法。
2. 有限元單元積分。
3. 誤差分析。
本次課程分為上下兩課，第一課講了第一和第二個內容。關鍵詞是：數值積分的本質，有限元高斯積分（附件中包含1個小時的詳細課程視頻以及PPT）。
在第二課中，再繼續(xù)展開第三部分內容，誤差分析，解決問題“扭曲單元到底影響的是有限元方法中的哪一步”。
希望有興趣的同學多多支持下，你們的支持是我更新的動力
展開 注：由于技術鄰排版風格有限，故部分內容顯示不全，感興趣的小伙伴可點擊原文進行閱覽：
有限元計算過程中積分點應力如何外插至節(jié)點處？【公式推導篇】
https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ
本次分享的是：有限元計算過程中，單元積分點應力如何外推至節(jié)點？
有關積分點與節(jié)點的概念可點擊跳轉閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節(jié)點和積分點】，現(xiàn)科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數和高斯積分方案。
Q4單元
Q8/9單元
應力外插
核心理念：坐標系的轉換。
假設是母單元的自然坐標系，是由高斯積分點控制的坐標系（術語可能不專業(yè)），假設高斯積分方案為。坐標系轉換關系：
單元內任一點的應力，由4個高斯積分點應力進行插值時，可表示為
其中，是基于高斯積分點的形函數，第一個積分點的坐標在母單元坐標系下為（-1，-1），根據上述的坐標系轉換的方式，在高斯積分點的坐標系下，第一個單元節(jié)點在高斯積分點坐標系下坐標為，將此坐標值代入第一個形函數，得，相同的道理，可推導至四個節(jié)點在4個形函數下的外插矩陣：
對于Q8、Q9單元，依然可采用高斯積分方案（減縮積分）。
展開 節(jié)點和積分點是有限單元法（FEM）的兩個基本概念，初涉有限元計算的同志往往在這點上產生混淆，假設導師面試的時候，問單元應力是什么，若回答不慎，將貽笑大方，得不償失。本文試圖以簡略易懂的說法來闡述節(jié)點和積分點的區(qū)別。
1.節(jié)點位移是有限元法的基本未知量。節(jié)點構筑了問題域的幾何離散化形狀，節(jié)點是形函數的零點，通常形函數是以節(jié)點為依據進行假設的。形函數決定了單元內部各點運動的位移模式（常用帕斯卡三角形來選擇單元位移模式），這樣就形成了數學上所說的插值。
有限元法的原理就是將問題域分割成N多小單元，在每個單元內采用簡單的函數來近似表達單元的真實位移，將各單元再連接起來，就可以近似描述整個問題域的運動。因此，有限元法從根本上就是精確的，而不是準確的。
2.積分點是單元進行數值積分的已知量。有限元法中一般采用高斯積分，但是積分方法不限于高斯積分，如果有人用了Irons積分或者Hammer積分，請不要驚訝。在形成單元剛度矩陣和進行節(jié)點應力磨平的時候，需要高斯積分。
以等參單元為例，其剛度矩陣
，這個就需要數值積分來快速計算，高斯點坐標及權系數如表4.2[王勖成]所示。
老師授課時一般對常應力單元進行推導，而常應力單元只有一個積分點，被積函數是常數，因此體現(xiàn)不出高斯積分來。很多老師對高斯積分在單元剛度矩陣的應用不予細述，導致部分同學對單元積分點認識不足。
3.單元應力指的是高斯積分點的應力，而非節(jié)點上的應力。有了位移模式，再通過虛功原理得到單元剛度矩陣，然后聚合總剛，求解平衡方程，就會把基本未知量——節(jié)點位移求出來了。通過節(jié)點位移得到單元應變結果，利用物理方程求得單元應力結果。
在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點上的應變或應力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。
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高斯積分的相關專題、標簽、搜索
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積分方案：采用減縮積分（1×1 高斯積分），計算效率高，但需注意沙漏控制；通過 "增強應變" 技術緩解彎曲閉鎖。
自由度計算：SC8R 單元從節(jié)點坐標獲取厚度信息，與 S4R 單元不同，后者需通過截面定義厚度。
理論基礎：SC8R 單元基于經典殼理論，將三維問題簡化為二維中面問題，忽略厚度方向應力（σ?≈0），適用于分析以面內受力 / 彎曲為主的薄壁結構。
4.
)，無沙漏問題
完全積分 (2×2×2 高斯積分)
減縮積分 (1×1 高斯積分)
閉鎖敏感性
低 (通過 EAS/ANS 技術抑制彎曲、剪切、厚度閉鎖)
中等 (通過非協(xié)調模式緩解剪切閉鎖)
中 (主要抑制彎曲閉鎖，極薄結構可能出現(xiàn)剪切閉鎖)
通過足夠數量的高斯積分點精確積分單元剛度矩陣，能夠準確捕捉應力變化。
適用場景：二次完全積分單元適用于對精度要求高、變形復雜的結構分析，特別是存在應力集中的區(qū)域。它們能夠精確計算應力集中區(qū)域的應力分布，適用于裂紋擴展、缺口效應等需要高精度應力分析的場景。
平面應力脆性斷裂相場AT2模型10個月前
對高斯積分點進行循環(huán)
DO K1=1,NSVINT !對每個高斯積分點上的狀態(tài)變量進行循環(huán)
UVAR(JELEM,K1,KINTK) = SVARS(NSVINT*(KINTK-1)+K1)
END DO
ENDDO
!
什么是FDTD算法？11個月前
如下為高斯定律公式的積分形式和微分形式，其中電位移矢量 。根據發(fā)散定理，可以證明方程的積分形式和微分形式在數學上是等價的。
微分形式中， 為散度算符。“散”字在此為由聚集至分離的意思，而“散度”，被用于表征空間任一點矢量場發(fā)散的強弱程度。
如下為空間中矢量場求解散度后的結果示例，可以幫助理解散度的運算。
5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 3
coords = -5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 4
coords = 5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
因此Abaqus中平面應力單元高斯積分點的順序為
四面體單元的剛度矩陣一般較為復雜，具體計算通常依賴數值積分（例如高斯積分）。
每種單元的剛度矩陣的推導方法都是基于能量原理（如虛功原理、最小勢能原理）或通過變分法進行的。1D單元的剛度矩陣推導較為簡單，2D和3D單元則需要根據單元的具體幾何形狀和物理特性（如材料性質、形函數等）進行推導。
3.
如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數在積分域中心點的函數值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。
在ABAQUS這個軟件中，所采取的是高斯積分公式。高斯積分的原理簡單來說是：對于f(x)在a-b區(qū)間的積分，我們可以取a到b之間的n個點，總的積分值等于這些點處的函數值的加權和。
圖中的積分點坐標是等參坐標。等參變換可以理解為一種歸一化，等參變換不影響本文的討論，為理解上的直觀起見，本文仍采取自然坐標xy描述。以一個平面應力問題的四節(jié)點矩形單元為例。
單元的坐標系建立在中心。
例如，對于abaqus的B33單元，在長度方向上有3個高斯積分點。其具體位置為：(0.1127016L，0.5L，0.887298L)；對于B31，在長度方向上僅一個高斯積分點，位置為中點處。
以下圖的B33為例：
長度為1m，截面為0.1m*0.1m的梁采用1個B33單元，左端約束，右端施加豎向荷載Fz=1N.
