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什么是FDTD算法？原創(chuàng)

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2025年6月17日 17:26

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前言

我們最早接觸光學可能是通過小孔成像、透鏡成像和三棱鏡折射等光學現象，從中總結的光學規(guī)律已幫助我們解決了大量的實際問題。例如顯微鏡和望遠鏡等光學儀器的發(fā)明，為我們對世界規(guī)律的探究提供了不可或缺的工具。這對我們從光學研究中受益來說，僅僅是個開始。十七世紀，牛頓和惠更斯對幾何光學研究做出巨大貢獻，但是對“光是什么”的問題仍沒有一致的答案。直到1864年，麥克斯韋在法拉第等學者對電和磁的研究基礎上，總結并構造了麥克斯韋方程，同時提出光是一種電磁波。之后，1888年，經過赫茲實驗驗證，光就是一種電磁波。從此開啟了光學電磁理論的新紀元，帶動了波動光學、量子光學、傅里葉光學等學科的新興與發(fā)展。如今，激光、光伏、光通信、全息術等技術實現全民應用，均離不開人們對光的認知提升。其中，麥克斯韋對電磁學的理論研究，起到了關鍵作用。

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋認為電場和磁場是隨時空變化的，其提出的麥克斯韋方程組基本可以解釋和預測任意的電磁現象。本文將簡要介紹麥克斯韋方程組，并通過FDTD數值算法原理介紹麥克斯韋方程在光學現象預測和研究中的應用與求解。

麥克斯韋方程組

十九世紀前后，庫倫和高斯分別總結了電學和磁學中的基礎物理規(guī)律。緊接著，奧斯特、安培和法拉第等學者分別發(fā)現并深入研究了電生磁和磁生電的物理現象。這一切都表明電和磁之間的關系密不可分。以上理論與實驗研究為麥克斯韋提出方程組提供了堅實的理論依據。麥克斯韋使用數學方法，站在全新的角度，對電和磁的理論進行梳理論證。其提出的麥克斯韋方程組從最初的二十個方程，最終簡化為我們常見的四個方程。以此糾正了場是“超距作用”的錯誤認知，預言了光是一種電磁波。麥克斯韋方程組描述了電場和磁場之間的關系，統(tǒng)一了電學和磁學，本身是一組具有高度統(tǒng)一性和對稱性的方程。其為之后愛因斯坦等學者對光學和電磁學的研究指明方向，對整個科研界造成了深遠的影響，使得電磁學研究進程實現飛躍提升。作為物理界公認的人類歷史上最偉大的公式之一，麥克斯韋方程組當之無愧。麥克斯韋方程組四個方程對應不同的物理定律，我們分別來看一下每個方程的來源和意義，以及實際運用。

高斯定律

高斯定律描述電荷分布與隨之產生的電場之間的關系。電場線從正電荷開始，到負電荷終止（或延伸至無窮遠）。此定律表明穿過某一閉合曲面的電通量，可以理解為電場線數量，等于閉曲面內的總電荷 $Q$ 。如下為高斯定律公式的積分形式和微分形式，其中電位移矢量 $\mathbf {D} = \epsilon \mathbf {E}$ 。根據發(fā)散定理，可以證明方程的積分形式和微分形式在數學上是等價的。

$\oint_{S} \mathbf {D} \cdot d \mathbf {s} = Q \\$ $\nabla \cdot \mathbf {D} = \rho \\$ 什么是FDTD算法？的圖5

微分形式中， $\nabla \cdot$ 為散度算符。“散”字在此為由聚集至分離的意思，而“散度”，被用于表征空間任一點矢量場發(fā)散的強弱程度。

$\nabla \cdot \mathbf {D} = (\cfrac {\partial }{\partial x}, \cfrac {\partial }{\partial x}, \cfrac {\partial }{\partial x}) \cdot ({D_x},{D_y},{D_z}) = \cfrac {\partial D_x }{\partial x}+ \cfrac {\partial D_y }{\partial x}+ \cfrac {\partial D_z }{\partial x} \\$ 什么是FDTD算法？的圖8

如下為空間中矢量場求解散度后的結果示例，可以幫助理解散度的運算。

什么是FDTD算法？的圖9

高斯磁定律

高斯磁定律描述磁場和磁偶極子原理。說明磁場的散度等于0，磁的基本實體是磁偶極子。同時該定律表明，磁單極子實際上并不存在。即沒有孤立的磁荷，磁場線沒有起點和終點。磁場線終會形成閉合循環(huán)或延伸至無窮遠?？梢岳斫鉃橥ㄟ^任意閉曲面的磁通量等于零。

$\oint_{S} \mathbf {B} \cdot d \mathbf {s} = 0 \\$ $\nabla \cdot \mathbf {B} = 0 \\$ 什么是FDTD算法？的圖12

法拉第電磁感應定律

法拉第電磁感應定律描述電場和磁場之間的相互作用。此定律表明了時變磁場怎樣感應出電場。為我們所熟知的是，此定律是多種發(fā)電機、電動機、電感元件及變壓器的基本工作原理。

$\oint_{L} \mathbf {E} \cdot d \mathbf {l} = -\cfrac {d \mathbf {\Phi_{B}} }{dt} \\$ $\nabla \times \mathbf {E} = -{\cfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}} \\$ 什么是FDTD算法？的圖15

微分形式中， $\nabla \times$ 為旋度算符，其運算公式如下所示。其中 $\mathbf {i}$ 、 $\mathbf {j}$ 、 $\mathbf {k}$ 為分別對應x、y和z軸的單位矢量。旋度表示向量場對某一點附近的微元造成的旋轉程度。旋度本身為矢量，空間中某點P的旋度矢量 $\mathbf {n}$ 如下圖所示，方向滿足右手定則。

$\nabla \times \mathbf {E} = \begin{vmatrix}{ { \hat {i} }}&{ { \hat {j} }}&{ { \hat {k} }}\\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\{E_x}&{E_y}&{E_z}\\\end{vmatrix} \\$ 什么是FDTD算法？的圖22

如下為空間中矢量場求解旋度后的結果示例，可以幫助理解旋度的運算。

什么是FDTD算法？的圖23

麥克斯韋-安培定律

麥克斯韋-安培定律描述電場和磁場與電流之間的關系。此定律表明磁場的生成方法包括傳導電流（安培定律）和時變電場（位移電流）兩種形式，如下示意圖所示。由于增加位移電流這一項，麥克斯韋才得以準確地預測光本身也是一種電磁波。

$\oint_{L} \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = I +\cfrac {d \mathbf {\Phi_{D}} }{dt} \\$ $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\cfrac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}} \\$ 什么是FDTD算法？的圖26

如今的光學研究或者電磁計算，經常通過數值方法來近似求解麥克斯韋方程組，以預測電磁波在介質空間內的電磁行為和光學現象。這些數值方法一般基于有限差分、有限元或其他數值技術。其中較為常用的麥克斯韋方程組求解方式，是通過時域有限差分算法。

FDTD 算法

1966年，得益于計算機技術的發(fā)展，K.S.Yee嘗試使用計算機模擬麥克斯韋方程組，并提出一種在交錯網格（Yee cell）上應用有限差分法來對麥克斯韋方程組進行求解的算法。1980年，Taflove在其基礎上正式提出FDTD（Finite-Difference Time-Domain）。至今，FDTD已成為研究人員和工程技術人員處理各種微納光電子問題的有力工具。

我們在麥克斯韋方程組中不難發(fā)現，無論是電場還是磁場隨時間變化，都是和另一種場值在空間中的變化相關。FDTD算法就是根據這一規(guī)律，確定空間某一位置未來時刻的電場值由當前時刻的電場值和周圍磁場在空間中的旋度；同樣地，空間某一位置未來時刻的磁場值由當前時刻的磁場值和周圍電場在空間中的旋度。電場和磁場在空間中相互交錯，隨固定時間間隔交替更新的過程展現出來。所以，FDTD算法需要規(guī)定固定的空間間隔和時間間隔。其中，空間中的分布被劃分為余氏網格（Yee's cell），通常被展現在笛卡爾直角坐標系內。電場與磁場縱橫交錯，互相嵌套，如下圖所示。

對于非磁性材料，FDTD求解的麥克斯韋方程可以化為如下形式：

$\tag{1} \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\cfrac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ $\tag{2} \nabla \times \mathbf {E} =-\mathbf {J}_m -{\mu_0}{\cfrac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$ $\mathbf{D(\omega)}={\varepsilon _0}{\varepsilon_r(\omega)}\mathbf{E(\omega)} \\$

橫向電波（TE）: $\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = \mu \frac{\partial H_y}{\partial t}$

橫向磁波（TM）: $\frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} = \epsilon \frac{\partial E_y}{\partial t}$

什么是FDTD算法？的圖32 FDTD從時域麥克斯韋旋度方程出發(fā)，在一定體積內和一段時間上對連續(xù)電磁場的數據抽樣，它直觀地再現了在離散數值時空中電磁現象的物理過程。因此，FDTD是對電磁問題的最本質、最完備的數值模擬，具有廣泛的適用性。FDTD求解的是麥克斯韋方程組的時域解，借助傅里葉變換，通過一次仿真即可得到器件在寬頻中的頻域響應。

根據上述方程, 在Yee cell網格上進行差分離散，使用中心差分近似麥克斯韋微分方程：

$\cfrac {\partial f(x, y, z, t) } {\partial x} |_{x=i\Delta x } \approx \cfrac {f^n(i+1/2, j, k) - f^n(i-1/2, j, k)}{\Delta x} \\$ $\cfrac {\partial f(x, y, z, t) } {\partial t} |_{t=n\Delta t } \approx \cfrac {f^{n+1/2}(i, j, k) - f^{n-1/2}(i, j, k)}{\Delta t} \\$

FDTD中的電磁場基于Yee cell網格在空間中交錯分布（下圖左）。電場分布在網格棱線中心，磁場分布在網格面中心。每一個電場分量和與它相鄰的并且垂直于該電場分量的4個磁場分量，滿足麥克斯韋旋度方程(磁場同理)。FDTD中離散化的電磁場在時間上是交錯迭代，采用蛙跳法逐步遞推求解（下圖右）。

什么是FDTD算法？的圖35

因此，數值化后的電磁場三維遞推方程如下：

${E}_x|_{i,j,k}^{n+1/2} = CA \cdot {E}_x|_{i,j,k}^{n-1/2} + CB \cdot \bigg[\frac{{H} _z|_{i, j, k}^{n} - {H} _z|_{i,j-1,k}^{n} }{\Delta y} - \frac{{H} _y|_{i,j,k}^{n} - {H} _y|_{i, j, k-1}^{n} }{\Delta z} \bigg] \\$ $CA=\frac{1- \frac{\sigma*dt}{2\epsilon}}{1+\frac{\sigma*dt}{2\epsilon}}|_{i,j,k}, CB=\frac{1}{1+\frac{\sigma*dt}{2\epsilon}}|_{i,j,k} \\$ ${H}_x|_{i,j,k}^{n+1} = {H}_x|_{i, j k}^{n} + \frac{dt}{\mu_0} \cdot \bigg[\frac{{E} _z|_{i,j+1,k}^{n+1/2} - {E} _z|_{i,j,k}^{n+1/2} }{\Delta y} - \frac{{E} _y|_{i,j,k+1}^{n+1/2} - {E} _y|_{i,j,k}^{n+1/2} }{\Delta z} \bigg] \\$

三維的其它方向與上面公式類似，詳見參考[2,3]。

更多內容請見如下鏈接：

https://www.emsimworks.com/zh-CN/solver/FDTD

數據可視化

根據以上原理，我們可以自行構建仿真空間，并構造空間中的介質分布，通過計算軟件模擬光學現象或設計光學器件。

Y分束器是集成光子器件中一種非常重要的單元器件，它有非常廣泛的應用，如波導干涉儀、調制器、光開光、光分束器等。我們可以在仿真軟件中進行建模仿真，如下圖所示。根據麥克斯韋方程組及FDTD求解算法，仿真空間具有邊界條件，介質分布將在網格中呈現，添加的光源可以位于空間內的任意位置。

什么是FDTD算法？的圖39

什么是FDTD算法？的圖40

運行仿真后，可以實現對光學現象的可視化，觀測光波的傳輸進程，并記錄仿真空間內的電磁場分布。

什么是FDTD算法？的圖41

更多內容請見如下鏈接：

https://www.emsimworks.com/zh-CN/case-detail/y-branch

總而言之，根據麥克斯韋方程，我們可以預測光在任意復雜介質空間內的電磁現象。在解決實際問題的科學研究中，通過FDTD算法，可以將光的電磁進行實現數據可視化。計算電磁學提供我們大量可信賴的仿真模擬數據，大大提高了人們的研發(fā)效率，加快了人類科技發(fā)展進程。

參考

[1] Yee K S .Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1966, 14(5):302-307.DOI:10.1109/TAP.1966.1138693.

[2] Allen Taflove, "Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Time-Domain Method", Boston:Artech House, (2005).

[3] John B. Schneider, "Understanding the Finite-Difference Time-Domain Method", www.eecs.wsu.edu/~schneidj/ufdtd, (2010).

[4]"FDTD Solver Physics", www.emsimworks.com/zh-CN/solver/FDTD.

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