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<p>高斯勒讓德積分是有限元中最常見的數(shù)值積分方法之一，在有限元中有著廣泛的應(yīng)用。實際上，關(guān)于該積分方法的書籍和公眾號文章也已經(jīng)較多，本文主要是基于現(xiàn)有的教程，基本上把該方法的具體理論和使用重復(fù)了一遍，另外基于常用的數(shù)值計算庫PETSc描述下在PETSc中如何使用高斯勒讓德積分（本文后續(xù)都將高斯勒讓德積分簡稱為高斯積分）。

5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02 npt = 3 coords = -5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02 npt = 4 coords = 5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02 因此Abaqus中平面應(yīng)力單元高斯積分點的順序為

【公式推導(dǎo)篇】 https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ 本次分享的是：有限元計算過程中，單元積分點應(yīng)力如何外推至節(jié)點？有關(guān)積分點與節(jié)點的概念可點擊跳轉(zhuǎn)閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節(jié)點和積分點】，現(xiàn)科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數(shù)和高斯積分方案。

07-通過多重積分法求解點接觸彈性變形Fortran和MATLAB程序，程序請見下文附件及百度網(wǎng)盤鏈接

06-通過多重積分法求解線接觸彈性變形Fortran和MATLAB程序，程序請見下文附件及百度網(wǎng)盤鏈接

高斯積分的原理簡單來說是：對于f(x)在a-b區(qū)間的積分，我們可以取a到b之間的n個點，總的積分值等于這些點處的函數(shù)值的加權(quán)和。圖中的積分點坐標(biāo)是等參坐標(biāo)。等參變換可以理解為一種歸一化，等參變換不影響本文的討論，為理解上的直觀起見，本文仍采取自然坐標(biāo)xy描述。以一個平面應(yīng)力問題的四節(jié)點矩形單元為例。單元的坐標(biāo)系建立在中心。

總結(jié)inp中添加關(guān)鍵字輸出單元的積分點坐標(biāo)：*EL FILE COORD輸出節(jié)點坐標(biāo)：*NODE FILE COORD原貼出處：https://www.researchgate.net/post/How-to-find-integration-point-coordinates-in-Abaqus-CAE

對于這樣一種線性單元，在構(gòu)造剛度矩陣的時候，需要進行下式所示的積分。（四節(jié)點矩形單元應(yīng)該是8×8)其中B矩陣是單元形函數(shù)對空間坐標(biāo)的相關(guān)偏導(dǎo)，D矩陣是本構(gòu)矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數(shù)，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數(shù)。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數(shù)在積分域中心點的函數(shù)值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。

B-bar方法的核心思想是在低階單元的完全積分過程中進行選擇性減積分。它通過將高斯積分點處的體積應(yīng)變替換為單元的平均體積應(yīng)變，實現(xiàn)了對應(yīng)變的軟化處理，從而防止了體積鎖定的發(fā)生。這種選擇性減積分的策略可以在保證計算精度的同時，提高計算的收斂性和效率。 需要注意的是，B-bar方法并不能解決剪切鎖定問題，這是另一種常見的有限元分析問題。對于彎曲主導(dǎo)的問題，剪切鎖定可能導(dǎo)致結(jié)果的失真。

</strong></p><h2>2.5 高斯積分</h2><p>上述積分的計算需要使用數(shù)值積分，一維高斯積分點的坐標(biāo)以及權(quán)系數(shù)如下：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202403/e2b09e5be1a98ebfad3d72b9372ef67f.png"></p><p>采用2x2x2的高斯積分點。

，由于被積函數(shù)較為復(fù)雜，如果代數(shù)積分進行計算要消耗大量的計算資源，因此有限元理論中引入數(shù)值積分，即我們熟悉的高斯積分和hammer積分，對于直角坐標(biāo)系我們采用高斯積分，對于面積或者體積坐標(biāo)系我們采用hammer數(shù)值積分，具體這兩類積分的原理大家可以參考相關(guān)數(shù)值積分教材即可，這里我們只利用hammer數(shù)值積分的結(jié)論。

從上述剛度矩陣的表達式可以看出，自然坐標(biāo)和物理坐標(biāo)間要完成坐標(biāo)映射、偏導(dǎo)映射、面積隱射三個部分，具體映射公式已在上一節(jié)的等參單元講解中詳細(xì)給出。 (21)4、高斯積分公式（20）中的單元剛度矩陣通過數(shù)值積分求得，本案例中的四節(jié)點和八節(jié)點四邊形等參單元均采用2*2個積分點的高斯積分即可求得精確結(jié)果。

顯然，就未知極限 和 而言，這里的第一步是寫出提取熱量的積分： 我們需要包括的第二個條件是輸入和輸出溫度之間的關(guān)系，這是由我們現(xiàn)有的有限元模型計算得出的。現(xiàn)有模型在管道入口處使用一個固定的溫度邊界條件，并沿管道的整個長度計算溫度。

《雙積分辦法》同時對CAFC積分（企業(yè)平均燃料消耗量積分）和NEV積分（新能源汽車積分）進行管理。其中CAFC 正積分只能自行結(jié)轉(zhuǎn)或轉(zhuǎn)讓給關(guān)聯(lián)企業(yè)，不能用于NEV負(fù)積分的抵償，而NEV正積分則可以自由交易，可抵償NEV負(fù)積分和CAFC負(fù)積分。

線性與二次單元混合使用問題：當(dāng)在同一實體中混合使用線性和二次單元時，同樣會面臨類似應(yīng)力不連續(xù)和應(yīng)力增大的問題。因為線性單元和二次單元對結(jié)構(gòu)變形和應(yīng)力的描述能力不同，二者銜接處易產(chǎn)生計算差異。 節(jié)點應(yīng)力與積分點應(yīng)力：不同單元類型提供的應(yīng)力結(jié)果位置和精度不同。一般來說，積分點應(yīng)力（高斯點應(yīng)力）比節(jié)點應(yīng)力更準(zhǔn)確，但節(jié)點應(yīng)力更便于結(jié)果展示和比較。

<p><br></p><p>這次我們談?wù)劻黧w力學(xué)理論知識-高斯公式，對雷諾輸運定理及流體力學(xué)三大守恒方程比較熟悉的同學(xué)，會發(fā)現(xiàn)這些方程在推導(dǎo)的過程中經(jīng)常會出現(xiàn)高斯公式，當(dāng)然還會出現(xiàn)咱們文章十二中講到的散度和梯度，這些都是流體力學(xué)基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。