引言

在復雜函數(shù)的近似方法中，常見的有兩種策略：

• 全域展開：例如，采用傅里葉級數(shù)展開。這種方法使用復雜的基函數(shù)在整個定義域上進行展開，能夠高效地逼近復雜函數(shù)。然而，所采用的基函數(shù)通常較為復雜。

• 分段函數(shù)組合：例如，采用分段線性函數(shù)的連接。這種方法將定義域劃分為多個子域，在每個子域上使用簡單的基函數(shù)進行逼近。雖然基函數(shù)簡單，且在子域上定義，但為了獲得較好的逼近效果，可能需要使用大量的分段，導致計算工作量較大。 [圖片] 有限元方法正是基于第二種策略，即通過將復雜問題劃分為多個簡單的“單元”，在每個單元上使用簡單的基函數(shù)進行逼近，從而實現(xiàn)對復雜函數(shù)的有效近似。所以有限元分析的最主要內(nèi)容，就是研究單元。

有限元分析的基本流程

具體而言，有限元分析的基本步驟包括：

1. 選擇合適的單元類型

根據(jù)問題的維度（1D、2D或3D），選擇不同的單元類型。例如，1D問題可以使用桿單元或梁單元，2D問題常用三角形或矩形單元，3D問題可以使用四面體或六面體單元等。這也是網(wǎng)格劃分在有限元分析中比較重要的原因。

2. 建立單元的剛度矩陣

每個單元都有自己的剛度矩陣，它是基于單元的幾何特征、材料屬性和選擇的插值函數(shù)（例如，線性、二次等）來構造的。剛度矩陣通常是通過能量原理來推導的，常用的方法有虛功原理、最小勢能原理等。通過這些原理，可以導出單元內(nèi)的平衡方程，從而得到單元的剛度矩陣。

下面簡要介紹幾種常見單元的剛度矩陣推導方法:

2.1 1D 單元（如桿單元）

對于二維問題，常用的單元包三角形單元（如3節(jié)點三角形單元）和矩形單元。

對于1D問題，常用的單元是桿單元（桿、梁等），它的剛度矩陣推導可以通過虛功原理來實現(xiàn)。 假設桿單元是線性的，材料為均勻彈性材料。 步驟：

• 位移場：假設單元內(nèi)的位移場是線性的，可以表示為：

??(??)=??1(??)??1+??2(??)??2

其中 ??1(??)

 和 ??2

是形函數(shù)，??1

和??2

分別是單元兩端的節(jié)點位移。那什么是形函數(shù)呢？，可見最后面附錄說明。

• 應變能：通過應變能公式

??=12∫????(??)??(??)????

計算， 其中應變??(??)

和應力 ??

通過材料的楊氏模量 ??

和截面面積??

表示。

• 剛度矩陣：將上述應變能公式轉(zhuǎn)化為剛度矩陣形式，得到單元剛度矩陣：

??=??????(1?1?11)

其中，??

是楊氏模量, ??

是截面面積，??

是單元的長度。

2.2 2D 單元（如三角形單元）

三角形單元（線性單元）

假設一個簡單的三角形單元有三個節(jié)點，節(jié)點1、節(jié)點2和節(jié)點3。其剛度矩陣的推導過程也采用能量原理。 步驟： - 位移場：假設每個節(jié)點的位移是線性插值的。位移場可以寫作：??(??,??)=??1(??,??)??1+??2(??,??)??2+??3(??,??)??3

其中??1(??,??)

 ，??2(??,??)

 ，??3(??,??)

是形函數(shù)。 - 應變能：應變能是通過單元內(nèi)的應變能密度（與應力和應變的關系）計算的。由于三角形單元涉及到二維應變，通常通過應變-位移矩陣來計算。 - 剛度矩陣：經(jīng)過推導后，三角形單元的剛度矩陣為：??=∫??????????,????

其中，??

是應變-位移矩陣，??

是材料的剛度矩陣，??

是單元的面積。

三角形單元剛度矩陣（簡化版）

對于簡單的線性三角形單元，剛度矩陣一般可以通過以下積分公式推導：

??=??4(120?12012?12?12?1212)

其中??

是三角形單元的面積。

2.3 3D 單元（如四面體單元和六面體單元）

在三維問題中，常用的單元有四面體單元和六面體單元。

四面體單元 四面體單元的推導較為復雜，通常需要通過形函數(shù)和積分來獲得剛度矩陣。這里給出大致的推導思路。 步驟：

- 位移場：四面體單元的位移場是通過節(jié)點的位移進行插值，通常是多項式形式的。

- 應變能：通過應變-位移關系，計算應變能。應變-位移矩陣 ??

是由形函數(shù)的導數(shù)組成的。

- 剛度矩陣：同樣利用應變-位移矩陣和材料剛度矩陣 ??

，通過積分得到四面體單元的剛度矩陣。

四面體單元的剛度矩陣一般較為復雜，具體計算通常依賴數(shù)值積分（例如高斯積分）。

每種單元的剛度矩陣的推導方法都是基于能量原理（如虛功原理、最小勢能原理）或通過變分法進行的。1D單元的剛度矩陣推導較為簡單，2D和3D單元則需要根據(jù)單元的具體幾何形狀和物理特性（如材料性質(zhì)、形函數(shù)等）進行推導。

3. 單元剛度矩陣的組裝

在構造出各單元的剛度矩陣之后，需要將它們根據(jù)結(jié)構中單元之間的連接關系組裝成整體的剛度矩陣。組裝過程通常依據(jù)節(jié)點的連接情況，將每個單元的剛度矩陣“嵌入”到整體的剛度矩陣中。

4. 整體剛度方程

組裝完成后，得到的整體剛度方程為一個線性方程組，通常形式為

?????=??

其中 ??

是整體剛度矩陣，??

是節(jié)點位移向量， ??

 是外力向量。通過解這個方程，就可以得到結(jié)構的位移解。

5. 邊界條件的施加與解算

在整體剛度方程中，施加邊界條件（例如，固定、力等），并解這個方程，從而得到結(jié)構的位移解，再通過位移解反求應力等其它物理量。

6. 求解方程組（Solution of the Equations）

使用數(shù)值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解全局方程組，得到各節(jié)點的未知量（如位移、溫度等）。求解過程的目的是獲得系統(tǒng)的響應，進而分析其性能。

7. 后處理（Post-Processing）

對求解結(jié)果進行分析和可視化，如計算應力、應變等，評估結(jié)構或系統(tǒng)的性能。后處理的目的是從計算結(jié)果中提取有用信息，支持工程決策。

總結(jié)

通過以上步驟，有限元分析能夠?qū)碗s的物理問題轉(zhuǎn)化為一系列簡單的數(shù)學問題，從而實現(xiàn)對復雜工程問題的有效求解。

附錄：

形函數(shù)（Shape Function）是有限元分析中的一個非常重要的概念，廣泛應用于單元的剛度矩陣、應力、應變等計算中。形函數(shù)的作用是將每個單元的局部坐標系（如節(jié)點位移）映射到全局坐標系（整個結(jié)構的位移場），通過這種映射，能夠描述單元內(nèi)部任意位置的物理量（如位移、應力等）在有限元模型中的變化。

形函數(shù)的作用

1. 表示節(jié)點間的位移關系：
2. 形函數(shù)用來表示單元內(nèi)的任意點的位移、應變等物理量如何與單元節(jié)點的位移、應變等相關。形函數(shù)通過節(jié)點位移的線性或高次插值，表示單元內(nèi)部不同位置的位移、應變或應力。
3. 構建單元剛度矩陣：
4. 在有限元分析中，單元剛度矩陣的推導依賴于形函數(shù)。形函數(shù)決定了應變-位移矩陣的形式，進而影響單元的剛度矩陣。
5. 映射局部坐標到全局坐標：
6. 每個單元的位移是基于局部坐標系的，而形函數(shù)可以將這些局部坐標系的位移轉(zhuǎn)換到全局坐標系，使得整個結(jié)構的分析可以統(tǒng)一在全局坐標系中進行。

形函數(shù)的種類

形函數(shù)的形式和種類通常與單元的維度和類型相關。以下是一些常見的形函數(shù)類型：

1. 1D 單元的形函數(shù)
2. 對于1D單元（如桿單元或梁單元），形函數(shù)通常是線性的，即每個節(jié)點的位移對單元內(nèi)部的任意點的位移進行線性插值。

例如，對于一個線性2節(jié)點桿單元，其形函數(shù)??1

和 ??2

可寫為：

??1(??)=???????,??2(??)=????

其中L是單元長度，??

是單元內(nèi)部的任意位置。節(jié)點1和節(jié)點2的位移分別通過這兩個形函數(shù)來插值。

2D 單元的形函數(shù)

對于2D單元（如三角形單元或四邊形單元），形函數(shù)可以是線性的、二次的等。比如，線性三節(jié)點三角形單元的形函數(shù)可以表示為：

??1(??,??)=1??????,??2(??,??)=??,??3(??,??)=??

其中(??,??)

是局部坐標，??1,??2,??3

是對應節(jié)點的形函數(shù)。 對于更高次的單元（例如二次三角形單元或四邊形單元），形函數(shù)會包含更多的項，能更精確地插值單元內(nèi)部的位移場。

3D 單元的形函數(shù)

對于3D單元（如四面體單元或六面體單元），形函數(shù)通常是多項式的，表示每個節(jié)點的位移如何在單元內(nèi)部進行插值。例如，四面體單元的形函數(shù)形式通常為：

??1=16(1?????????),??2=16(1+??),??3=16(1+??),??4=16(1+??)

其中??,??,??

是局部坐標。

形函數(shù)的關鍵特性

形函數(shù)值在節(jié)點處為1：

在每個節(jié)點處，形函數(shù)的值為1，其他節(jié)點的形函數(shù)值為0。即對于一個三節(jié)點單元，節(jié)點1的形函數(shù)??1

在節(jié)點1處為1，在其他節(jié)點處為0。這樣，單元內(nèi)任意位置的物理量可以通過節(jié)點值進行插值。

形函數(shù)在單元內(nèi)的插值性質(zhì)：

形函數(shù)是單元內(nèi)部物理量變化的插值函數(shù)，能夠?qū)⒐?jié)點的物理量（例如位移）轉(zhuǎn)化為單元內(nèi)部的物理場（例如位移場）。

形函數(shù)的連續(xù)性：

形函數(shù)在單元內(nèi)通常是連續(xù)的，尤其是線性單元，其形函數(shù)在單元的邊界和內(nèi)部都是連續(xù)的。對于高階單元，形函數(shù)在節(jié)點間的變化更加平滑，能夠更好地描述非線性變形。 形函數(shù)是有限元分析中描述單元物理量分布的基礎工具，它決定了單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等的計算方式。通過形函數(shù)，可以將單元內(nèi)的物理量（如位移、應力、應變等）與節(jié)點的物理量（節(jié)點位移、節(jié)點力等）之間建立數(shù)學關系，從而解決整個結(jié)構的分析問題。