節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)是有限單元法（FEM）的兩個(gè)基本概念，初涉有限元計(jì)算的同志往往在這點(diǎn)上產(chǎn)生混淆，假設(shè)導(dǎo)師面試的時(shí)候，問單元應(yīng)力是什么，若回答不慎，將貽笑大方，得不償失。本文試圖以簡(jiǎn)略易懂的說法來闡述節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)的區(qū)別。

1.節(jié)點(diǎn)位移是有限元法的基本未知量。節(jié)點(diǎn)構(gòu)筑了問題域的幾何離散化形狀，節(jié)點(diǎn)是形函數(shù)的零點(diǎn)，通常形函數(shù)是以節(jié)點(diǎn)為依據(jù)進(jìn)行假設(shè)的。形函數(shù)決定了單元內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移模式（常用帕斯卡三角形來選擇單元位移模式），這樣就形成了數(shù)學(xué)上所說的插值。

有限元法的原理就是將問題域分割成N多小單元，在每個(gè)單元內(nèi)采用簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表達(dá)單元的真實(shí)位移，將各單元再連接起來，就可以近似描述整個(gè)問題域的運(yùn)動(dòng)。因此，有限元法從根本上就是精確的，而不是準(zhǔn)確的。

2.積分點(diǎn)是單元進(jìn)行數(shù)值積分的已知量。有限元法中一般采用高斯積分，但是積分方法不限于高斯積分，如果有人用了Irons積分或者Hammer積分，請(qǐng)不要驚訝。在形成單元?jiǎng)偠染仃嚭瓦M(jìn)行節(jié)點(diǎn)應(yīng)力磨平的時(shí)候，需要高斯積分。

以等參單元為例，其剛度矩陣

，這個(gè)就需要數(shù)值積分來快速計(jì)算，高斯點(diǎn)坐標(biāo)及權(quán)系數(shù)如表4.2[王勖成]所示。

老師授課時(shí)一般對(duì)常應(yīng)力單元進(jìn)行推導(dǎo)，而常應(yīng)力單元只有一個(gè)積分點(diǎn)，被積函數(shù)是常數(shù)，因此體現(xiàn)不出高斯積分來。很多老師對(duì)高斯積分在單元?jiǎng)偠染仃嚨膽?yīng)用不予細(xì)述，導(dǎo)致部分同學(xué)對(duì)單元積分點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足。

3.單元應(yīng)力指的是高斯積分點(diǎn)的應(yīng)力，而非節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力。有了位移模式，再通過虛功原理得到單元?jiǎng)偠染仃嚕缓缶酆峡倓偅蠼馄胶夥匠蹋蜁?huì)把基本未知量——節(jié)點(diǎn)位移求出來了。通過節(jié)點(diǎn)位移得到單元應(yīng)變結(jié)果，利用物理方程求得單元應(yīng)力結(jié)果。

在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點(diǎn)上的應(yīng)變或應(yīng)力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點(diǎn)是等參元中的最佳應(yīng)力點(diǎn)。因此有限元法中是以通過節(jié)點(diǎn)位移根據(jù)位移模式推出高斯點(diǎn)位移，然后求得應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)果（苦逼的常應(yīng)力單元，單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變、應(yīng)力是一樣的，so，你懂的）。

4.高斯點(diǎn)是等參單元內(nèi)最佳應(yīng)力點(diǎn)。高斯積分點(diǎn)雖然是單元內(nèi)最佳應(yīng)力點(diǎn)，但在節(jié)點(diǎn)上并非最佳，節(jié)點(diǎn)應(yīng)力有一種Newton-cotes積分方法。因此，有的FEM程序會(huì)采用其他積分方法以獲得單元邊界或者節(jié)點(diǎn)上的精確應(yīng)力。

5.節(jié)點(diǎn)力是高斯點(diǎn)應(yīng)力在單元內(nèi)積分，再累加其他單元的相同節(jié)點(diǎn)結(jié)果得到節(jié)點(diǎn)力;而節(jié)點(diǎn)應(yīng)力是通過高斯點(diǎn)應(yīng)力外推通過平均各單元外推應(yīng)力而得（應(yīng)力磨平）。

6.常見單元的高斯積分點(diǎn)位置示意。

附本文word文檔：

應(yīng)力磨平.jpg