• 個人筆記，錯誤難免，懇請指出，共同進步。
• 參考資料見文后，文中的引用以“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等方式呈現。

引言：

莊茁P64對剪切自鎖的描述如下圖：

線性單元的邊怎么就不能彎曲了呢？什么叫做不能彎曲？通過圖中第二段文字，可以看出其實是這種完全積分線性單元在彎曲載荷下產生了剪切應變（平面應力問題下非零剪切應力就一定有非零剪切應變），這顯然不是實際中純彎曲模型的結果。那為什么在完全積分的情形下它就一定會產生剪切應變呢？所以就想一探究竟。

一、完全積分

對于有限元的基本計算流程，曾攀08P101有非常詳盡、簡單的描述，我們不再贅述。通俗概括就是：將一個連續體劃分成若干單元，對于任意一個單元，我們假設其上的節點的位移值已知。一個單元有若干個節點，這些節點的位移值可以形成一個節點位移向量，相當于我們假設了一個未知的節點位移向量（類似于小學數學假設了一個未知數）。然后假設單元內的位移場可以通過形函數插值表示出來，但形函數中并不含有未知數，是以節點的空間坐標為系數的一些多項式。這樣我們就得到了一個假設的位移場。基于這個假設的位移場，代入幾何方程中就得到了節點位移矢量和形函數一起表示的應變場，進一步代入本構方程就得到了應力場。基于這些場，結合虛功原理就可以列出一個剛度方程，該方程以剛度矩陣為系數（積分就發生在這里，剛度矩陣需要積分得到），以上面設的節點位移向量為未知數，方程右邊是通過邊界條件給出的節點載荷。解這個剛度方程就得到了節點位移向量。

單元的剛度矩陣由下式積分得到：

（四節點矩形單元應該是8×8)

該式中的omiga表示單元的空間域，B是形函數對空間坐標的偏導，D是本構矩陣，這些矩陣中都不含節點位移矢量，各種矩陣相乘后得到的8×8矩陣中每一個元素都是一個三元函數。

然而我們在程序中沒法對BT*D*B矩陣每一個元素進行解析積分，只能依靠數值積分手段。在ABAQUS這個軟件中，所采取的是高斯積分公式。高斯積分的原理簡單來說是：對于f(x)在a-b區間的積分，我們可以取a到b之間的n個點，總的積分值等于這些點處的函數值的加權和。

圖中的積分點坐標是等參坐標。等參變換可以理解為一種歸一化，等參變換不影響本文的討論，為理解上的直觀起見，本文仍采取自然坐標xy描述。以一個平面應力問題的四節點矩形單元為例。

單元的坐標系建立在中心。對于這樣一種單元，完全積分（表示所選取的數值積分方案及系數精確等于解析積分值，我是這么理解的哈）就是取積分表中第二行系數；在可接受的數值精度下，減縮積分就是取第一行系數。當然也可以取第三四行系數，但是這樣數值計算成本急劇增大的同時結果和第二行一樣都是完全的，所以沒必要。在此例中，完全積分的積分點選取如下圖所示：

這樣得到的積分點坐標分別為（1/√3=0.57735）：

最后剛度矩陣每一個元素的值就等于BT*D*B矩陣中對應元素在這四個積分點上的值按照x和y的先后順序分步求和，具體公式可見曾攀04P180。總之，我們最后得到了一個剛度矩陣（可見曾攀04P158）。

不過剛度矩陣并不是我們關心的。我們關心的是，在純彎曲變形加載模式下，該剛度矩陣得出的節點位移向量解具有一定的特征，莊茁P64的圖示（本文圖1）也表示了這種特征：四個節點在2方向的位移相等，1、3節點在1方向上的位移相等，2、4節點在1方向上的位移相等，且它們互為相反數，也即我們可以得到如下形式的一個節點位移向量：

但是需注意，只有在純彎曲加載模式下，才會得到這樣形式的位移向量。

二、剪切自鎖

在小變形線彈性分析中，在求出節點位移向量的解后，需要進一步算出應變場；非線性分析中，在一個增量步迭代得到位移向量解后，也需要算出相關應變值，再代入本構數據中查詢本構點，進而構造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。然而，與我們通常的印象不同，這里計算應力應變值，是在積分點上計算的，也就是是將積分點的坐標值代入應力應變的公式，而不是直接求節點的應力應變。

針對上面的線性矩形單元，其應變矩陣如下圖所示：

在完全積分模式下，例如針對第四個積分點(a/√3,b/√3)，并將得到的節點位移代入，可以得到該積分點下的應變值為：

如圖中所見，該點的剪切應變不為0，這顯然不是純彎曲加載模式所要求的結果。然而需要注意，該現象是在純彎曲加載得到的節點位移和完全積分所對應的B矩陣的共同作用下得到的，如果不是純彎曲加載，那么節點位移不會有相關特征，完全積分線性單元得到的結果和相關加載模式也是符合的（莊茁P64倒數第二段）；如果純彎曲加載下的線性單元實行減縮積分，也不會出現剪切自鎖問題，但是會帶來沙漏現象，我們將在下一篇筆記中對該現象一探究竟。

結語：本文算不得什么，只是從公式上加深了商業軟件使用者對剪切自鎖這一現象的了解，稍微知其所以然罷了。如果要進一步探究如何防止剪切自鎖，要構造怎樣的位移模式，需要更多功夫，可見如下博文：

易木木響叮當，公眾號：易木木響叮當 有限元編程中如何避免剪切自鎖？（非協調單元詳解）

參考資料：

《有限元分析基礎教程》曾攀，清華大學出版社，2008.

《有限元分析及應用》曾攀，清華大學出版社，2004.

《基于ABAQUS的有限元分析和應用》莊茁等，清華大學出版社2008.

《數值分析》歐陽潔等，高教社2009.