梯度的案例
【數值算法】共軛梯度法（二）-預處理共軛梯度法
在之前的文章【數值算法】共軛梯度法求解線性方程組中，我們指出，共軛梯度法是求解對稱正定系數的線性方程組的極為有效的方法，并且指出：對于n階線性方程組，通常最多n+1次迭代可以獲得收斂。在實際的有限元開發實踐中，需要求解的經常是非常大，極端大的線性方程組，此時，采用共軛梯度法，有時可能需要上萬次的迭代才能收斂，雖然每次收斂的計算量并不大，但是整體求解也會花費較多時間。
實際上，共軛梯度法能否快速收斂與系數矩陣A密切相關。文獻【1】指出，對于共軛梯度法存在以下定理：
如果A=I+B為nxn的對稱正定矩陣，且rank（B）=r，則共軛梯度法至多r+1步收斂。其中I指單位矩陣，rank是矩陣的秩。
從該定理可知，共軛梯度法能否快速收斂，主要取決于“A”是否“接近于”單位矩陣。特別地，當A就是單位矩陣時，rank(B)=0，此時一步即可收斂，當然這是很顯然的。
基于上述定理，多種基于共軛梯度法法衍生的預處理共軛梯度法（PCG）得以廣泛地應用。具體來說，實際過程如下：
假設要求解的方程是
預處理共軛梯度法的思想是求解
其中，
并且，C為對稱正定矩陣，且使得
是良態（即盡量“接近”于單位矩陣）。如果定義
結合原始的共軛梯度法，可以得到以下的預處理共軛梯度法（PCG）：
從上述算法中可以看出，其主要改動是需要首先求解
這一預處理方程，得到Zk的值后再代替原來的rk進行運算。采用不同的M，當然就會得到不同的Zk，最終影響共軛梯度法的收斂性。
展開 COMSOL FGM模型 功能梯度材料 梯度孔隙建模教程
FGM概念
FGM是功能梯度材料（Functionally graded materials）的英文簡稱，也被稱為梯度功能材料。功能梯度材料(FGM)是一種新型非均勻復合材料,是由性能不同的兩種或多種材料復合成組分和結構呈現連續梯度變化的材料。它要求功能、性能隨內部位置的變化而變化，以實現功能梯度的材料。
從本質上來講，FGM是一種比較特殊的復合材料。
在自然界也有許多功能梯度材料的例子，如竹子、貝殼、骨骼等。
FGM構建
本文采用COMSOL軟件進行FGM模型的構建，以下表現三種不同形式的功能梯度材料模型：
粒徑均勻變化
雙材料擴散
變粒徑分布
建模教程
在COMSOL內建立功能梯度材料可以采用AutoCAD模型導入的方式，這里用到了CAD建模插件。
插件下載：
CAD 功能梯度材料（FGM）2D插件
展開 梯度納米孿晶強化與硬化研究獲新突破
中國科學院金屬研究所研究員盧磊課題組和美國布朗大學教授高華健研究組合作，發現增加結構梯度可實現梯度納米孿晶結構材料強度——加工硬化的協同提高，甚至可超過梯度微觀結構中最強的部分。梯度納米孿晶強化的概念結合了多尺度結構梯度，進一步提高了材料的強度極限，并為發展新一代高強度/延性金屬材料提供了新思路。相關成果11月2日在線發表于《科學》。
自然界中梯度結構無處不在。近來，微觀結構梯度的概念被越來越多地應用于工程材料中。鑒于其獨特的變形機制，梯度結構材料普遍表現出較好的強度、硬度、加工硬化及抗疲勞性能等。但是，如何理解結構梯度對力學性能的影響規律長期以來面臨巨大挑戰。其原因之一是現有技術很難制備出結構梯度精確可調控的塊體材料，如表面加工或機械處理技術所獲樣品梯度層體積分數及結構梯度均有限，從而嚴重限制了人們對梯度結構金屬內在梯度與力學性能相關性以及其本征變形機制的理解。
盧磊和高華健課題組的科研人員利用直流電解沉積技術，通過調節電解液溫度，實現孿晶片層厚度和晶粒尺寸沿樣品厚度的梯度變化，獲得結構梯度定量可控的納米孿晶銅材料。隨結構梯度增加，梯度納米孿晶銅強度和加工硬化率同步提高；結構梯度足夠大時，梯度材料的強度甚至超過了梯度微觀結構中最強的部分。這種獨特的強化行為在其它均勻、非均勻微觀結構中均未觀察到。
科研人員通過微觀結構分析與分子動力學計算模擬結合發現，梯度納米孿晶銅額外的強化和加工硬化歸因于梯度結構約束而產生的大量幾何必需位錯富集束。這些位錯富集束在變形初期形成，沿著梯度方向均勻分布在晶粒內部。這種均勻分布的位錯束結構，與均勻結構材料中隨機分布的統計儲存位錯結構截然不同，具有超高位錯密度的位錯富集束變形過程中通過阻礙位錯運動、有效抑制晶界應變局域化從而提高梯度納米孿晶結構的強度和加工硬化。
展開 梯度晶體塑性模型對應的umat子程序 ￥1200
文獻一：《Gradient plasticity in gradient nano-grained metals》
文獻二：《Grain rotations during uniaxial deformation of gradient nano-grained metals using crystal plasticity finite element simulations》
推薦理由：兩篇文章使用了類似的研究方法，通過構建具有梯度分布的晶粒模型，基于原始的唯象晶體塑性模型進行修改，將初始屈服，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性
文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：
流動方程：
硬化方程為：
通過假設：單晶水平上的所有抗滑移參數與局部晶粒尺寸D的平方根成反比
修正對應的參數為：
其中彈性參數對應Cu的參數
有限元模型為：
研究了平面應變條件下簡單拉伸不同區域的應力應變分布特征
CPFE結果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應力和梯度塑性應變。這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達到屈服點以及相應的梯度滑動阻力而產生的。
CPFE結果還揭示了梯度應力和梯度塑性應變的非均勻空間分布，這是隨機晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結果。
展開 
CFD理論|網格梯度求解
，而不是梯度的體積分。
CAD 二維梯度Voronoi插件 梯度泰森多邊形 ￥699
</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202207/367d0a17e5374d0694361867c71f6612.png" alt="GRQ5K{45BB]BDNNBW$ZA41V.png"></p><p>插件生成的功能梯度Voronoi圖可導入COMSOL、Abaqus、ANSYS等有限元分析軟件內，實現功能梯度材料、梯度泰森多邊形、變晶粒、非等晶材料的幾何建模等。
展開 基于開源軟件Neper建立梯度晶粒尺寸多晶模型
圖2 擾動對模型的影響
調整python代碼中x方向坐標分布梯度，即可建立具有不同梯度大小的多晶模型，如圖3所示。
圖3 不同分布梯度模型
三、結論
結合開源軟件neper，通過用戶自定義梯度分布函數，可以很方便地實現梯度組織模型的建立，除本文介紹的x方向單向梯度模型的建立之外，采用該方法，可以進一步實現多方向復雜梯度多晶組織模型的建立。
一類非局部GTN模型------考慮應變梯度效應GTN模型
應變梯度模型（Strain Gradient Model）是一種材料模型，由 Gurtin 和 Sternberg 在 1962 年引入的，用于研究非局部效應對連續介質行為的影響。然而，這個模型直到近年來才開始在納米材料領域得到廣泛的應用和研究。材料被視為連續、均質的介質，其行為由宏觀應力和應變張量描述。然而，當材料的尺寸減小到與其微結構大小相同的數量級時，傳統模型就不再適用，因為微觀結構的影響變得更加顯著。
應變梯度模型引入了一個額外的應變梯度項來描述材料的非局部行為。這個梯度項捕捉了在微觀尺度上材料應變的變化率。
相對于傳統塑性模型，應變梯度塑性模型的主要優勢體現在
更準確地描述納米尺度下的材料行為。在納米尺度下，材料的微觀結構對其力學行為有著重要的影響。傳統的連續介質力學模型無法很好地描述這種非局部行為，而應變梯度模型通過引入應變梯度項，可以更準確地描述納米材料的力學行為。
提高了預測材料性質的能力。應變梯度模型可以更好地捕捉材料的微觀尺度下的非局部效應，從而提高了模型預測材料力學性質的能力。
可以揭示材料行為的新特性。應變梯度模型可以更好地描述納米材料的強度、韌性、斷裂行為等特性，從而有助于揭示材料行為的新特性和機制。
為納米加工和納米器件設計提供了指導。應變梯度模型可以幫助人們更好地理解納米材料的力學行為，從而為納米加工和納米器件設計提供指導。例如，在設計納米器件時，需要考慮材料的強度、韌性等特性，應變梯度模型可以幫助人們更準確地預測這些特性，從而指導器件的設計和優化。
在過去的幾十年中，應變梯度模型得到了不斷的發展和完善。其中一個重要的進展是基于變分原理的應變梯度模型，這種方法可以更好地處理材料的宏觀和微觀結構之間的相互作用。
展開 梯度納米晶材料的本構建模及微結構調控
近年來，能夠很好協調強度和韌性的梯度結構材料逐漸興起，并且成為研究熱點，具有很好的應用前景。
梯度結構材料在自然界中就普遍存在，例如：竹子和貝殼就是典型的梯度材料，人類和動物的骨骼也具有梯度結構的特征。根據不同的材料變形機理和制備工藝，梯度結構被越來越多地應用到工程材料中，比如通過在內部引入不同的梯度微結構（梯度晶粒結構、梯度孿晶結構、梯度位錯結構、梯度相變結構等），使材料具備更高的強度、硬度、加工硬化能力、延展性和抗疲勞性能。經過多年發展，目前制備梯度結構材料的方法已經十分豐富，比如表面研磨、表面碾磨、物理或化學沉積、激光沖擊等。
為了更好地發展和應用梯度結構材料，需要預測不同梯度結構材料的力學性能，從而進行優化調整。因此，深入理解梯度結構材料的強韌性機理、微結構演化與宏觀力學響應的關聯，進而建立描述梯度結構材料變形行為的本構模型，成為亟待解決的關鍵問題。
圖1 不同的梯度微結構示意圖。（來源：盧柯. 梯度納米結構材料，金屬學報 51（2015）1-10）
在國家自然科學基金項目《梯度納米晶粒/孿晶材料的本構建模及微結構設計》（項目編號：1167020206）的資助下，西南交通大學力學與工程學院張旭研究組與德國馬普鋼鐵所Dierk Raabe教授團隊合作開展研究，論文第一作者陸曉翀針對2011年中科院金屬所盧柯院士團隊在《Science》上報道的梯度納米晶粒材料，建立了基于復雜位錯演化機制的尺寸相關晶體塑性本構模型，并引入了晶粒長大機制和損傷演化模型。依托馬普鋼鐵所Franz Roters教授團隊開發的多尺度材料模擬平臺DAMASK，實現了本構模型的有限元移植。
梯度納米晶粒結構材料有龐大的晶粒數目，該研究采用均勻化方法簡化有限元模型，可有效地對宏觀尺寸試樣的力學響應進行計算模擬。
展開 CAD球體功能梯度材料3D插件 ￥1999
插件介紹
CAD球體功能梯度材料3D插件可在AutoCAD內建立大小呈現梯度分布的球體及長方體孔隙三維模型。
功能梯度材料（FGM）模型包含大小梯度變化的球體及與之適配的長方體部件，可用于球體材料的梯度分布或梯度多孔結構材料建模。
插件支持設置上小下大、上大下小兩種球體的梯度分布模式，及隨機排布的非梯度模式。插件內置的動力學堆積算法可模擬實際工程中不同粒徑顆粒投放順序下的堆積效果。
插件可設置三組球體粒徑范圍，并可指定球體間的最小間距參數，可用于生成多種不同形態的梯度孔隙結構模型。
使用須知
1、插件使用需注冊，售價為單機許可價格；
2、插件兼容Windows系統，運行需要安裝AutoCAD（2010~2025及以上版本均可使用）。
3、售后及技術支持請聯系微信：AbyssFish_LJR，或QQ：1135122921。
樣圖實例
可下載插件生成的模型樣圖，并進行其他軟件的導入測試及模擬。（CAD2010文件）
球體功能梯度材料3D樣圖.rar
展開 探索垂直和水平壓力梯度力的影響
作者Cadence CFD 解決方案
關鍵要點
垂直和水平壓力梯度力是沿這些方向的壓力差異的結果。
這些力影響飛機的穩定性和控制。
氣動設計的CFD優化應包括壓力梯度和氣動力的計算。
壓力梯度力負責維持飛機在飛行過程中的穩定性
當您給高壓氣球放氣時，高壓區的空氣會流到低壓環境。同樣的現象也是風在大氣中流動的原因。來自高壓區中心的空氣被推向低壓區以產生風流。由于這種壓力差而受到的力是壓力梯度力。沿垂直和水平方向分析此力對于理解空氣動力學系統分析至關重要。
讓我們探討垂直和水平壓力梯度力的影響，以及它們在不同方向上的作用如何影響飛機穩定性。
不同的壓力梯度力
當一個區域內存在壓力差時，力（壓力梯度力）會向低壓區域的方向施加。在飛機空氣動力學中，可以沿水平和垂直方向分析壓力梯度力，以更好地了解阻力、升力和穩定性。這些力可以區分為垂直和水平壓力梯度力。
垂直壓力梯度力
垂直壓力梯度力是由于壓力沿垂直方向的變化而產生的。該力負責影響飛機的升力和高度性能。例如，飛機在低壓高空飛行時，垂直氣壓梯度力使空氣向上推，飛機出現逆風。這種對飛行不利的逆風會造成飛機性能和穩定性問題。因此，這會產生更多關于維持飛機俯仰角和足夠升力的問題。
水平壓力梯度力
水平壓力梯度力是水平方向壓力差的結果。該力垂直于壓力梯度的方向作用，并且負責幾乎所有類型的大氣運動，盡管其幅度小于垂直壓力梯度力。
在空氣動力學設計中，水平壓力梯度的分析對于理解側風的發展非常重要。側風垂直于飛行方向作用，導致飛機搖擺，這在起飛和著陸期間尤其具有挑戰性。這是因為當側風從一個方向吹向另一個方向時，與背風側相比，迎風側的氣壓變得更高。
展開 
十二、梯度和散度--流體力學理論知識
這次我們通過介紹梯度和散度，來掌握一些公式化簡的技巧。</p><p><br></p><p><strong>1. 梯度算子</strong></p><p> <strong> 什么叫梯度算子？ 這個表達式看似是一個整體，實際上卻是由兩個物理符號組成。 其中 是一個物理量，可以是密度、壓力、溫度等， 就是梯度算子。</strong></p><p> 梯度算子是高等數學的一個概念，表示空間各方向上的全微分，表達式為：</p><p><br></p><p> （</p><p> ）</p><p> </p><p> 從表達式我們能夠看出，實際上梯度算子是一個向量，只不過這個向量的各個分量是微分形式。如果有其他的物理量與其結合，就能夠組成一些表達式。</p><p><br></p><p><strong>2. 梯度</strong></p><p> 了解了什么是梯度算子之后，我們能夠很容易的得到梯度公式。
展開 COMSOL三維梯度多孔結構滲流模擬
三維梯度多孔結構（FGM）是一種孔隙率、孔徑等參數在三維空間內呈梯度分布的多孔材料。梯度孔隙結構的研究可優化傳熱傳質效率，調控流動路徑，提升能源存儲與材料性能，為復雜系統設計提供關鍵理論支持。本案例介紹在COMSOL內建立三維球體梯度孔隙結構模型，并進行滲流仿真模擬。
梯度多孔介質FGM模型采用CAD球體功能梯度材料3D插件建立，模型在AutoCAD內建立完成后導出為sat格式文件。通過插件可靈活控制孔隙率、梯度、孔徑分布及最小間距約束，生成符合實際工程需求的梯度孔隙結構。
將建立的三維梯度孔隙模型導入到COMSOL軟件，在COMSOL內定義流體屬性物理域后，需明確流體物性參數（如動力黏度、密度），為后續仿真提供基礎條件。
對模型添加滲流研究，設置邊界條件并劃分網格。網格劃分需兼顧計算效率與精度，并確保流動細節的捕捉能力。
提交計算查看流體在梯度多孔介質中的壓力及流速模擬結果。
展開 隆源成型將攜梯度金屬3D打印設備AFS-M120X亮相Formnext
在國內，三帝科技旗下隆源成型在其推出的專利設備AFS-M120X中實現了水平方向上的梯度粉層穩定鋪放，并結合與之配套的AFSwin-X梯度工藝軟件，能夠滿足分區變速、變功率的梯度材料打印需求，從而實現高精度、可控梯度的FGM零件制造。目前，該機型投入使用2年多，已面向多家科研用戶完成了CoCrMo-316L、梯度高熵合金、Inconel718-316L等梯度功能材料的工藝開發，制備FGM零件20余件、材料表征樣品300余件。
▲隆源成型梯度金屬3D打印設備AFS-M120X
▲梯度材料制備示意
▲梯度粉層鋪放
目前，通過增材制造技術制備的梯度合金均是以垂直制造方向作為梯度變化方向，主要是以層間換粉的方式實現，依然存在組分比例精確控制的問題，無法形成連續梯度。而AFS-M120X設備的出現徹底解決了這一問題，通過該設備制備的梯度合金零件不再是粗糙的小型棒狀試樣，而是具有極高外形精度，結構復雜的連續梯度材料制件。“這是增材制造技術的一次飛躍”，隆源成型合作單位北京科技大學新材料技術研究院的張百成副教授指出，“另外我們也成功解決了混合粉末分離重復利用的問題，從材料成本角度解決了梯度材料/多材料增材制造的瓶頸”。
展開 每日一品：200萬元的梯度金屬3D打印機AFS-M120X ，隆源成型新材料研發利器
小通知：國內外3D打印實時快訊微信小程序上線了哦，請點擊進入全球3D打印實時快訊
在全球3D打印產品庫product.nanjixiong.com里，南極熊注意到隆源成型的梯度金屬3D打印機AFS-M120X。
梯度材料，也稱梯度功能復合材料（Functionally Gradient Materials），是新材料領域的重要發展方向，也是熱點技術“材料基因計劃”的重要研究手段和產物。梯度材料的常規制備方法有化學氣相沉積法、等離子噴涂法、顆粒梯度排列法等，但存在制造效率較低、工藝復雜的問題。因此，利用空間自由度更高的增材制造（3D打印）技術進行梯度材料的制備成為新的趨勢且備受關注。
三帝科技旗下隆源成型自主研發的選區激光熔化設備AFS-M120X能夠在水平方向上實現材料成分的連續變化，實現梯度合金的增材制造，并已取得相關專利。
△隆源成型梯度金屬3D打印設備AFS-M120X
設備特點
供粉系統可實現兩種不同金屬材料的連續梯度精確供粉；
可實現兩種材料在水平方向的梯度連續變化；
特別適用于復合材料的性能研究與開發。
設備參數
△圖：（左）AFS-M120X打印的梯度金屬樣件 ；（右）梯度材料制備示意
隆源成型梯度金屬3D打印設備AFS-M120X采用水平方向梯度供料裝置，實現了二元及二元以上多材料的有效混合，解決了激光送粉（LMD）打印成型精度差、多料缸鋪粉（SLM）打印層與層之間難以形成穩定可控的化學梯度等難題。成型材料的梯度曲線連續可控，可以滿足不同客戶的多種需求。
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